李 棚，金宗安，劉明明

六安職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，安徽 六安 237100

1987年，E. Yablonovitch 與S. John根據(jù)半導(dǎo)體材料中形成電子能隙的物理機(jī)理，提出了在介電材料周期性排列的光子系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)光子能隙[1] [2]。將介電材料在三維空間進(jìn)行周期性排列，固定波段的電磁波會(huì)因?yàn)楦缮娉尸F(xiàn)衰減性傳輸，色散關(guān)系呈現(xiàn)帶狀，此種現(xiàn)象稱為光子晶體帶隙[3] [4]。相對(duì)于三維、二維的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，兩種介電材料周期性堆疊在一起形成的一維光子晶體，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，便于制作的優(yōu)勢(shì)，受到眾多科研工作者的重視[4] [5]。通過(guò)理論分析發(fā)現(xiàn)，一維光子晶體結(jié)構(gòu)滿足一定的條件，能夠?qū)崿F(xiàn)全向反射光子禁帶。

1 一維光子晶體理論模型

雖然光子與電子之間存在諸多相似之處[6]，但是，由于光子之間不存在庫(kù)侖作用，兩者之間的理論分析還有不可忽視的差異?，F(xiàn)階段主要采用平面波展開法[7](PWM)，傳輸矩陣法[8] [9](TMM)，時(shí)域差分法[10](FDTD)等方法分析一維光子晶體。其中平面波展開法是光子晶體計(jì)算方法中應(yīng)用最早，最為廣泛的一種方法。它綜合使用了薄膜光學(xué)的傳輸矩陣?yán)碚摵凸腆w物理的Bloch定理，解釋了光子帶隙的形成機(jī)理，相對(duì)于其他研究方法，物理意義更清晰、更深刻。本文將利用平面波展開法，計(jì)算一維光子晶體的色散曲線，找出其能隙位置，分析能隙特點(diǎn)，判斷全向帶隙的充分必要條件。

(1)

(2)

(3)

2 光子帶隙數(shù)值分析

設(shè)一維光子晶體由A、B兩種薄膜沿著x方向交替組成。如圖1(a)所示，A、B膜層的表面平行于y-z平面。A、B的折射率分別為nA和nB,厚度分別為dA和dB。光波在xy平面內(nèi)傳播，如圖1(b)所示，從空氣介質(zhì)中入射λ0光波，在第α(α=A,B)種材料中的波長(zhǎng)計(jì)算為λa=λ0/na，波矢的切向分量為β=kay=kasinθα/λ0，由折射定律可知，nasinθa保持不變，故ky是一個(gè)常數(shù)。當(dāng)電磁波以角度θ0入射并在該光子晶體中傳輸時(shí)滿足Bloch定理，電場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

EK(x,y)=EK(x)eiKxeiKy

(4)

圖1 周期性一維光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖

考慮光子晶體的一個(gè)晶格常數(shù)中光的相位關(guān)系，如圖1(c)，其中入射角為θA，折射角為θB的光在相同y坐標(biāo)的A與B兩點(diǎn)的位相差δ。C點(diǎn)超前于A點(diǎn)的位相為2πdtgθBsinθA/λA，B點(diǎn)滯后于C點(diǎn)的位相為2πd/(λAcosθB)，所以A點(diǎn)超前于B的相位

δ=2πd/(λBcosθB)-2πdtgθBsinθA/λA=2πd(1-nAsinθB/nB)2πdcosθB/λB=k2xd

其中k2x表示材料B中波矢的垂直分量，后續(xù)公式中的k1x表示材料A中波矢的垂直分量?？紤]分界面上的電磁場(chǎng)的切向分量，An-1表示從A1介質(zhì)入射的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量，Bn-1表示從B1介質(zhì)反射的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量；Cn表示從B1介質(zhì)入射的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量，Dn表示從A2介質(zhì)反射的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量；An從A2介質(zhì)入射波電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，Bn表示從B2介質(zhì)反射的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量。

E和H切向分量在1界面兩側(cè)連續(xù)：

An-1+Bn-1=exp(ik2xdA)CN+exp(-ik2xdB)Dn
k1z(An-1-Bn-1)=k2z[exp(ik2xdB)Cn-exp(-ik2xdB)Dn]

(5)

同比的，在界面2左右兩側(cè)有

Cn+Dn=exp(ik1xdA)An+exp(-ik1xdA)Bn
k1z(Cn-Dn)=k1z[exp(ik1xdA)An-exp(-ik1xdA)Bn]

(6)

由上面四式，可推得

(7)

其中，

(8)

由于一維光子晶體結(jié)構(gòu)滿足周期性結(jié)構(gòu)，因此光波在系統(tǒng)中滿足Bloch條件：

(9)

將式(9)與式(7)聯(lián)立求方程可以得到：

(10)

通過(guò)(10)式可以判斷光子晶體帶隙的位置，以及傳輸狀態(tài)。對(duì)于導(dǎo)帶具體細(xì)節(jié)可以在另一篇論文中介紹。因此，滿足(1/2)(A+D)>1條件， Bloch波矢是復(fù)數(shù)，Bloch波矢衰減的，這些區(qū)域稱為禁帶或光子帶隙；滿足(1/2)(A+D)<1條件，Bloch波矢是實(shí)數(shù)，光允許在系統(tǒng)中傳播，對(duì)應(yīng)的區(qū)域稱為允帶；滿足(1/2)(A+D)=1條件為能帶邊緣，為了獲得光子晶體能帶特性，只需求得能帶邊緣位置就可以了。

對(duì)于TM偏振，將上述計(jì)算流程中將電場(chǎng)換成磁場(chǎng)便可以獲得TM偏振。即將(8)式中的系數(shù)改為如下內(nèi)容，最終的判斷條件不變。

(11)

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

取一維光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)一為nA=4.6,nB=1.6,dA=0.33d,dB=0.67d，繪制如圖(2)的光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)。取一維光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)二為nA=2.2nB=1.7，dA=0.33d，dB=0.67d，繪制如圖(3)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)，彩色區(qū)域?yàn)楣庾泳w中傳輸態(tài)，藍(lán)色區(qū)域?yàn)楣庾泳w的消逝態(tài)。

圖2 高折射率差光子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖

圖2(a)為結(jié)構(gòu)參數(shù)一的TE模式能帶圖，圖2(b)為結(jié)構(gòu)參數(shù)一的TM模式能帶圖，通過(guò)兩圖的能帶比較可以發(fā)現(xiàn)，在歸一化頻率范圍內(nèi)的光子帶隙數(shù)量相同，擁有5個(gè)帶隙，其中頻率最低的帶隙(第一帶隙)最寬。其中，隨著切向波矢分量的增大(入射角度的增大)TE模擬和TM模式的帶隙都在向高頻方向移動(dòng)。同時(shí)，TE模式的帶寬展寬，TM模式的帶寬收縮。

圖3 較低折射率差光子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖

圖3(a)為結(jié)構(gòu)參數(shù)二的TE模式能帶圖，圖3(b)為結(jié)構(gòu)參數(shù)二的TM模式能帶圖，通過(guò)兩圖的能帶比較發(fā)現(xiàn)，在歸一化頻率范圍內(nèi)的光子帶隙數(shù)量也是相同的，擁有3個(gè)帶隙，其中頻率最低的帶隙(第一帶隙)最寬。隨著切向波矢分量的增大(入射角度的增大)TE模式和TM模式的帶隙都在向高頻方向移動(dòng)。同時(shí)，TE模式的帶寬展寬，TM模式的帶寬收縮。相比較圖2與圖3，可以發(fā)現(xiàn)，在增大兩種介質(zhì)折射率差值時(shí)，會(huì)增加光子帶隙數(shù)量，帶隙中心頻率向低頻方向移動(dòng)，同時(shí)增大帶隙寬度。

一維光子晶體的全向反射是指一維光子晶體能夠?qū)拇怪比肷涞铰尤肷淙嵌确秶鷥?nèi)的某頻率范圍的TE模式和TM模式都具有很高的反射率，該頻率范圍為全向反射帶。下面，通過(guò)分析結(jié)構(gòu)參數(shù)一能帶結(jié)構(gòu)中的第一帶隙，介紹一維光子晶體實(shí)現(xiàn)全向反射的充分和必要條件。TE模式的第一帶隙如圖4，TM模式的第一帶隙如圖5。

圖4 TE模式全向反射帶隙條件判定

不同入射角θα的光具有不同的切向波矢分量β=kay=kasinθα/λ0，由圖4可知，紅色線為90°掠入射光線，光線只有在掠入射光線以上區(qū)域方可傳輸?shù)焦庾泳w內(nèi)部。兩根藍(lán)色的線分別為30°入射角和60°入射角線，縱坐標(biāo)為垂直入射光線，即入射角為0°。要實(shí)現(xiàn)TE模的0°到60°的反射，必須是在白色實(shí)線之間的頻率方可。

圖5 TM模式全向反射帶隙條件判定

4 小結(jié)

在眾多的一維光子晶體分析方法中，平面波展開法是在不考慮復(fù)雜情況下，能夠較準(zhǔn)確的分析一維光子晶體帶隙的一種方法。在歸一化頻率范圍內(nèi)能夠出現(xiàn)多個(gè)帶隙，其中，介質(zhì)折射率之差影響帶隙數(shù)量，帶隙寬度，帶隙中心頻率。另外，布儒斯特角的大小直接關(guān)系到全向反射的可能性。對(duì)于光子晶體介質(zhì)參數(shù)對(duì)帶隙的影響，以及入射光線的透射率和反射率以及色散問(wèn)題，將采用傳輸矩陣法進(jìn)行分析，另文研究[11]。

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