陳穎

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式，是對一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的反映。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識中最基本的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的重要組成部分，它還是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)的精髓和靈魂。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位。APOS理論作為一種建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論，是依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點而建立起來的數(shù)學(xué)理論.強調(diào)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念中首先處理的數(shù)學(xué)問題要具有社會現(xiàn)實背景，并要求學(xué)生開展各種各樣的數(shù)學(xué)活動，活動中學(xué)生在已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)上通過思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的。因此，APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有重要的意義。

一、APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)策略

“操作”階段是學(xué)生通過操作來感知事物，感受所學(xué)的數(shù)學(xué)概念的知識的發(fā)生、發(fā)展過程和背景，加深學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和抽象概括能力，操作階段只是感性認識階段。

在“操作”階段，教師應(yīng)該提供典型的、適度的感性素材，設(shè)計合理的數(shù)學(xué)活動，為觀察、聯(lián)想、歸納、概括等活動提供固著點。指導(dǎo)學(xué)生親自參與到活動中去，體驗感受知識產(chǎn)生的過程，同時還要考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，找準(zhǔn)知識的“生長點”提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

“過程”階段是學(xué)生對操作活動進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化壓縮過程。學(xué)生能夠在頭腦中對數(shù)學(xué)活動進行描述和反思，抽象出概念的特有性質(zhì)?！斑^程”階段是學(xué)生對感性認識的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關(guān)鍵，通常也是概念學(xué)習(xí)的難點與關(guān)鍵。

在“過程”階段，教師的引導(dǎo)很關(guān)鍵，需要啟發(fā)學(xué)生對“操作”階段進行反思。需要教師提出有針對性的，符合學(xué)生思維特點的問題驅(qū)使學(xué)生思考，設(shè)計遞進性的問題，使學(xué)生的思考不斷深入，并對素材進行歸納和概括。同時，教師要給學(xué)生反思“操作”的時間，保證真正意義上的參與，因為“過程”的感悟更為重要，是對素材的升華。

“對象”階段是對“過程”階段的提升，歸納抽象得到了事物的本質(zhì)屬性，并用恰當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表述出定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象。是概括的結(jié)束，也是新的概括的開始。

在“對象”階段，要教師及時總結(jié)、提煉、歸納出屬性。學(xué)生對概念的掌握只是初步的階段，或許某些特征還不清晰，教學(xué)中需要用對“操作”階段和“過程”階段進行反復(fù)的實施，達到有意義教學(xué)，促使學(xué)生的認識從“對象”上升到“概型”階段。

“概型”階段是對概念有關(guān)的所有操作、過程和對象以及與這個概念有關(guān)的所有知識形成的認知結(jié)構(gòu)或認知框架，其作用和特點就是決定某些刺激是否屬于這個圖式。

在“概型”階段，教師可以利用變式教學(xué)把概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性分離。并且用例題的教學(xué)、學(xué)生自我總結(jié)等多種方式豐富學(xué)生對“對象”的理解，幫助學(xué)生的認識上升到“概型”的層次。同時，不僅要形成本概念的圖式，還要前后知識的連貫，注重概念在整個體系中的位置和重要性，促使學(xué)生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。

二、基于APOS理論的指數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)計

指數(shù)函數(shù)是超越函數(shù)，學(xué)生第一次遇到，學(xué)習(xí)面臨著挑戰(zhàn)。其學(xué)習(xí)過程充滿著觀察、分析、抽象、概括等方法，蘊含著從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)的思想。因此，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)是學(xué)生認識函數(shù)的又一次飛躍。《普通高中數(shù)學(xué)課標(biāo)》指出“通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景”。下面是基于APOS理論指數(shù)函數(shù)教學(xué)過程的設(shè)計。

1.“操作”階段——創(chuàng)設(shè)問題情境 感知指數(shù)函數(shù)

問題情境1 折紙問題，讓學(xué)生動手折紙，觀察：①對折的次數(shù)x與所得的層數(shù)y之間的關(guān)系；②對折的次數(shù)x與折后面積y之間的關(guān)系（記折前紙張面積為1）。

問題情境2 一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量約是原來的84%。求出這種物質(zhì)的剩留量隨時間（單位：年）變化的函數(shù)關(guān)系。設(shè)最初的質(zhì)量為1，時間變量用x表示，剩留量用y表示。

結(jié)合學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，選取生活中熟悉的場景讓學(xué)生通過動手操作，歸納概括兩個變量之間的關(guān)系，感悟到生活中指數(shù)函數(shù)，形成感性認識，認識到指數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實意義，同時激發(fā)學(xué)習(xí)的求知欲。例如通過折紙活動產(chǎn)生2，22，23，…，最后抽象出y=2x，整個過程由學(xué)生自主完成。

2.“過程”階段——展示探究過程 內(nèi)化指數(shù)概念

學(xué)生活動 學(xué)生自主分析問題情境，探究得到兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式是y=2x，y=（）x，y=0.84x。

觀察前面得到的函數(shù)解析式在形式上與函數(shù)y=x2有什么區(qū)別。引導(dǎo)學(xué)生從自變量位置的角度考慮。學(xué)生觀察可以發(fā)現(xiàn)前面函數(shù)的自變量都在指數(shù)的位置上，而y=x2的自變量在底上。除此之外，這些個函數(shù)還有什么共同特征。發(fā)現(xiàn)底數(shù)都是常數(shù)，自變量都在指數(shù)的位置。

通過反思比較，歸納出對象的共同特征，通過同化和順應(yīng)納入原有的認知結(jié)構(gòu)中。這個過程需要學(xué)生積極主動探究，因此要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。在學(xué)生無從下手的時候可以借助函數(shù)y=x2來提示學(xué)生。通過有意義的接受學(xué)習(xí)和“操作”“過程”反復(fù)的實行，形成新的認知結(jié)構(gòu)，這是對象操作內(nèi)化的過程，也是思維壓縮與提取的過程。

3.“對象”階段——建構(gòu)對象實體 把握運算性質(zhì)

若用a來表示常數(shù)，可以抽象出一個數(shù)學(xué)模型y=ax。板書指數(shù)函數(shù)的概念，一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R。

思考：為什么要限制a>0且a≠1？當(dāng)時a<0時，不妨取a=-3，這時y=（-3）x，當(dāng)x=，…時，函數(shù)沒意義；當(dāng)a=0時，這時y=0x，當(dāng)x≤0時，函數(shù)沒意義；當(dāng)a=1時，這時y=1x=1是常量，沒有研究的價值。

指數(shù)函數(shù)是形式定義，指研究滿足這樣形式的定義ax的系數(shù)為1；指數(shù)上只有唯一的自變量x；底是一個常數(shù)且必須滿足a>0且a≠1。

提問：當(dāng)我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學(xué)生選擇討論的內(nèi)容，提高課堂的參與程度，體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。根據(jù)學(xué)生的回答，先研究圖像再研究性質(zhì)。通過描點法展現(xiàn)函數(shù)的圖像，并探討函數(shù)的性質(zhì)。

探究活動 選取函數(shù)y=2x，首先畫出函數(shù)的圖像，類比第二章函數(shù)，數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的定義域，值域，圖像以及性質(zhì)。借助幾何畫板歸納a>1的函數(shù)特征。這里函數(shù)的嚴(yán)格的證明過程不做統(tǒng)一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學(xué)生獨立探究0

最終教師和學(xué)生共同總結(jié)兩種情況。

本階段的設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)，加深學(xué)生的理性認識。同時，幫助學(xué)生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學(xué)作用，增強學(xué)生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎(chǔ)上，我們通過例題，練習(xí)達到對知識進一步深化認識，形成指數(shù)函數(shù)的整體認識，構(gòu)建心理圖式。

例1判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結(jié)指數(shù)函數(shù)，作出總結(jié)表格。

一方面鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，另一方面再與單調(diào)性等知識相結(jié)合，通過應(yīng)用建立聯(lián)系，在反復(fù)比較基礎(chǔ)上形成了一個新的認識，建構(gòu)一個新的圖式。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課基于APOS理論設(shè)計了四個具體的教學(xué)流程對指數(shù)函數(shù)作出了分析。APOS理論強調(diào)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生主動構(gòu)建的，所以首先考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計合理的問題情境，一方面引導(dǎo)學(xué)生進入指數(shù)函數(shù)的情景中，感受學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的重要性，另一方面激發(fā)學(xué)生的探索欲，調(diào)動原有的認知結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，概念學(xué)習(xí)不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學(xué)生得到特殊的指數(shù)函數(shù)，抽象得到一般的指數(shù)函數(shù)，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。從“過程”到“對象”是反復(fù)，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學(xué)生理解本質(zhì)和非本質(zhì)屬性，并在此基礎(chǔ)上靈活運用概念，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計把數(shù)學(xué)問題與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)問題的能力。同時調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者?？梢夾POS理論可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）

提問：當(dāng)我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學(xué)生選擇討論的內(nèi)容，提高課堂的參與程度，體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。根據(jù)學(xué)生的回答，先研究圖像再研究性質(zhì)。通過描點法展現(xiàn)函數(shù)的圖像，并探討函數(shù)的性質(zhì)。

探究活動 選取函數(shù)y=2x，首先畫出函數(shù)的圖像，類比第二章函數(shù)，數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的定義域，值域，圖像以及性質(zhì)。借助幾何畫板歸納a>1的函數(shù)特征。這里函數(shù)的嚴(yán)格的證明過程不做統(tǒng)一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學(xué)生獨立探究0

最終教師和學(xué)生共同總結(jié)兩種情況。

本階段的設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)，加深學(xué)生的理性認識。同時，幫助學(xué)生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學(xué)作用，增強學(xué)生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎(chǔ)上，我們通過例題，練習(xí)達到對知識進一步深化認識，形成指數(shù)函數(shù)的整體認識，構(gòu)建心理圖式。

例1判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結(jié)指數(shù)函數(shù)，作出總結(jié)表格。

一方面鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，另一方面再與單調(diào)性等知識相結(jié)合，通過應(yīng)用建立聯(lián)系，在反復(fù)比較基礎(chǔ)上形成了一個新的認識，建構(gòu)一個新的圖式。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課基于APOS理論設(shè)計了四個具體的教學(xué)流程對指數(shù)函數(shù)作出了分析。APOS理論強調(diào)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生主動構(gòu)建的，所以首先考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計合理的問題情境，一方面引導(dǎo)學(xué)生進入指數(shù)函數(shù)的情景中，感受學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的重要性，另一方面激發(fā)學(xué)生的探索欲，調(diào)動原有的認知結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，概念學(xué)習(xí)不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學(xué)生得到特殊的指數(shù)函數(shù)，抽象得到一般的指數(shù)函數(shù)，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。從“過程”到“對象”是反復(fù)，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學(xué)生理解本質(zhì)和非本質(zhì)屬性，并在此基礎(chǔ)上靈活運用概念，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計把數(shù)學(xué)問題與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)問題的能力。同時調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者?？梢夾POS理論可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）

提問：當(dāng)我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？

讓學(xué)生選擇討論的內(nèi)容，提高課堂的參與程度，體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。根據(jù)學(xué)生的回答，先研究圖像再研究性質(zhì)。通過描點法展現(xiàn)函數(shù)的圖像，并探討函數(shù)的性質(zhì)。

探究活動 選取函數(shù)y=2x，首先畫出函數(shù)的圖像，類比第二章函數(shù)，數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的定義域，值域，圖像以及性質(zhì)。借助幾何畫板歸納a>1的函數(shù)特征。這里函數(shù)的嚴(yán)格的證明過程不做統(tǒng)一要求。

類比y=2x，選取y=（）x，學(xué)生獨立探究0

最終教師和學(xué)生共同總結(jié)兩種情況。

本階段的設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用從特殊到一般的方法探究指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)，加深學(xué)生的理性認識。同時，幫助學(xué)生確定探究的問題、步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學(xué)作用，增強學(xué)生的直觀感受。

4.“概型”階段——建立深層圖式 形成概念體系

在形成對象基礎(chǔ)上，我們通過例題，練習(xí)達到對知識進一步深化認識，形成指數(shù)函數(shù)的整體認識，構(gòu)建心理圖式。

例1判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

（1）y=（0.2）x，（2）y=（-2）x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=2。

例2 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）1.52.5，1.53.2 （2）0.5-1.2，0.5-1.5 （3）a，a（a>0，且a≠1） （4）1.50.3，0.81.2。

小結(jié)指數(shù)函數(shù)，作出總結(jié)表格。

一方面鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，另一方面再與單調(diào)性等知識相結(jié)合，通過應(yīng)用建立聯(lián)系，在反復(fù)比較基礎(chǔ)上形成了一個新的認識，建構(gòu)一個新的圖式。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課基于APOS理論設(shè)計了四個具體的教學(xué)流程對指數(shù)函數(shù)作出了分析。APOS理論強調(diào)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生主動構(gòu)建的，所以首先考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計合理的問題情境，一方面引導(dǎo)學(xué)生進入指數(shù)函數(shù)的情景中，感受學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的重要性，另一方面激發(fā)學(xué)生的探索欲，調(diào)動原有的認知結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，概念學(xué)習(xí)不能停留在“操作”階段，也要重視“過程”階段，學(xué)生得到特殊的指數(shù)函數(shù)，抽象得到一般的指數(shù)函數(shù)，層層遞進，由感性認識上升到理性認識。對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。從“過程”到“對象”是反復(fù)，螺旋上升的，階段之間沒有清晰的界限。最后通過辨析，幫助學(xué)生理解本質(zhì)和非本質(zhì)屬性，并在此基礎(chǔ)上靈活運用概念，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，形成完整的圖式。

基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計把數(shù)學(xué)問題與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)問題的能力。同時調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生自主探索，增強了課堂開放性，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者?？梢夾POS理論可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個有效的范式參照。

（作者單位：南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院）