陳士龍

(安徽廣播影視職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230011)

0 引言

先簡單回顧n維Euler不等式研究的大致過程。

在二維平面上，對于任意三角形，其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑間存在如下的不等式關(guān)系:

R≥2r

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時，式(1)等號成立。

文獻[1]中將式(1)推廣到n維歐氏空間，建立了n維Euler不等式：

R≥nr

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時，式(2)等號成立。

1985年，M.S.Klamkin[2]推廣了式(2)，得到下面的不等式：

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時，式(3)等號成立。

關(guān)于n維Euler不等式，文獻[3]給出了2種情況的推廣：

(4)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時，式(4)、式(5)等號成立。

設(shè)θ為單形σn的所有對棱所成角的算術(shù)平均值，冷崗松[4]對n維Euler不等式作了新的加強：

R2≥cscθ·n2r2

(6)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時，式(6)等號成立。

文獻[5]對式(2)作了進一步的推廣，得到下面的一些結(jié)果：

(7)

(8)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時，式(7)、(8)、(9)中等號成立。

本文將n維Euler不等式作了新的加強，得到了下面新的幾何不等式。

定理1 記F=max{Fi},f=min{Fi}(i=1,2,…,n+1 )，即F與f分別表示單形σn的各側(cè)面面積的最大值和最小值，對En中n維單形σn，下列不等式成立：

(10)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時,式(10)等號成立。

1 引理

引理1[6]對En中n維單形σn，下列等式成立：

(11)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時,式(11)等號成立。

引理2[7]對n維歐氏空間En中n維單形Ωn，頂點為A1，A2，…，An+1，體積為V，任取k+1個頂點所支撐的k維單形的k維體積為Vi0i1…ik(0≤i0

(12)

引理3[8]對En中n維單形σn，下列不等式成立：

(13)

當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時,式(13)等號成立。

2 定理的證明：

由冪平均不等式得：

(14)

由算術(shù)-幾何平均不等式得：

(15)

由式(12)和式(15)得：

(16)

結(jié)合式(16)和式(13)，可得：

(17)

由式(17)和式(11)得：

(18)

(18)式即為定理1。由證明過程可知，當(dāng)且僅當(dāng)單形σn為正則單形時，定理1中等號成立。

參考文獻

[1] Klamkin M S,Tsintsifas G A.The circumradius-inradius inequality for a simplex[J].Math Magazine,1979,52(1)：20-22.

[2] K lamkin M S.Inequality for a simlex[J].SIAM Rev.,1986,28(4)：579-580.

[3] Shiguo Y,Jia W.Improvements of n-dimensional Euler inequality[J].Jornal of Gomry,1994,51(1-2):190-195.

[4] 冷崗松.En中Euler不等式的一個加強[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，1995(2)：94-96.

[5] 楊世國.關(guān)于n維Euler不等式的一些推廣[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003,40(5):802-805.

[6] 沈文選.單形論導(dǎo)引[M].長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2000：111-112.

[7] 王文，楊世國.歐氏空間En中Pedoe不等式的推廣[J].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2012，42(11)：913-919.

[8] 陳士龍，楊世國.En中Gerber不等式的加強與應(yīng)用[J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007,28(1)：6-9.