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        分?jǐn)?shù)傅立葉變換核函數(shù)的分析與重構(gòu)*

        2014-03-13 10:26:52張靜
        關(guān)鍵詞:傅立葉重構(gòu)公式

        張靜

        (黑龍江建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

        0 引言

        經(jīng)典傅立葉變換的發(fā)展使一類分?jǐn)?shù)傅立葉變換應(yīng)用得到廣泛的推廣,當(dāng)然這是由于分?jǐn)?shù)傅立葉變換具有自己特殊的優(yōu)勢,它具有時頻分析的性質(zhì),這種分?jǐn)?shù)傅立葉變換具有的性質(zhì),能很好的促使這種變換得到越來越多的應(yīng)用[1-2]. 2003~2006年,冉啟文研究了分?jǐn)?shù)傅立葉變換的多樣性,通過他的努力,使他得到重大的理論突破,那就是以算子周期性為主要特色和著眼點的分?jǐn)?shù)傅立葉變換多樣性的結(jié)論,這個結(jié)論對于傅立葉變換是個很優(yōu)美的結(jié)論[3].該文從采樣出發(fā)研究分?jǐn)?shù)傅立葉變換多樣性.

        1 對采樣的分析

        研究中,對采樣可以選定一個由特征函數(shù)可以構(gòu)成的基,如{φn(t)|n∈N}和一個GS,如gn,n∈N,這樣就可以構(gòu)造出如下相應(yīng)的FRFT核函數(shù)

        簡化(1)式中的核函數(shù)有

        在式(2)中,可以看到:其中Bn=φn(f)φ*n(t),而且f和t是固定不會改變的.為了表述得更清楚,可以用Tp來表示u(α)一般周期的形式,而在這里F表示一般的頻率,請注意式中的Tp=4和F=1/4.同時,對于周期“信號”公式(2)也可以用傅立葉級數(shù)的形式表示,如下式

        Nm是空集時,Um=0,即m?G.注意:系數(shù)Bn獨立于GS gn,否則,傅立葉系數(shù)Um依賴于gn.

        定理1.1 對于信號u(α)來說,如果它是周期為Tp的周期信號,那么它就會具有有限諧波的支撐σ(u),C是一個大小為N的單位元,它會包含著σ(u),可以用C?σ(u)表示,那么,對于這個信號就可以利用N個采樣u(nT)來表示,T=Tp/N,可以根據(jù)下述公式進行完美的重構(gòu)

        對于核函數(shù)的采樣重構(gòu)的進行,實際上是求解線性方程組的推導(dǎo)演算過程.它的核函數(shù)可以用下式表示

        設(shè)在一個周期內(nèi)的采樣點分別為:α1,α2,…,αn,則得到以下矩陣

        將Um表示為u(α)的某些點上的值,可以與一定的插值函數(shù)得到組合形式來進行表示,在這個表示式中,其中m1,m2,…,mN∈σ(u)的表示形式,就是采樣重構(gòu).

        傳統(tǒng)采樣的點是利用函數(shù)u(α)來表示,這是在一個周期內(nèi)的等間隔采樣方式,在這種表示形式中,對于σ(u)是利用它的最小單位元C所代替,對于這個單位元C,它是由N個模,而且對于N是由互不同余的數(shù)組成,所以得到的變換矩陣,就可以利用如下的形式表示:

        其中W=e-j2π/N,T=Tp/N.N=|C|.

        事實上,當(dāng)諧波支撐剛好是單位元,這時的N點采樣是最有效率的.

        2 核函數(shù)的重構(gòu)

        通常情況下,用最小單位元C代替支撐集σ(u),則有核函數(shù)

        設(shè)采樣點分別為α1,α2,…,αn,C是一個大小為N的包含σ(u)的最小單位元,則得到如下形式

        其中m1,m2,…,mN∈C.

        對任意T1,滿足0<T1≤Tp,設(shè)T1/Tp=l,0<l≤1,在[0,T1]上進行N個等間隔采樣,T=T1/N為采樣間隔,則核函數(shù)采樣有如下形式

        其中m1,m2,…,mN∈C,W=e-j2π/N

        令Wl×m1=ti,i=1,2,…,N,則(6)中的矩陣記為M,則有

        因為t1,t2,…,tN互不相同,所以矩陣|M|≠0,矩陣M可逆.

        設(shè)f(x)=c0+c1x+…+cN-1xN-1,將t1,t2,…,tN分別代入并整理得

        即(c0,c1,…,cN-1)T是如下方程組

        的解向量.此線性方程組的系數(shù)矩陣是N階Vandermonde矩陣[4],記為A

        因為矩陣|A|≠0的原因,所以對于矩陣A來說是可逆的,從而對于線性方程組(7)來說,只有唯一的解.

        令C=(c0,c1,…,cN-1)T,

        則向量C是線性方程組AX=B的唯一解,所以C=A-1B,而

        在上式中,設(shè)

        記矩陣A的伴隨矩陣為A*=[Ai,j]1≤i,j≤N,則

        A-1=,于是有

        對于(9)式,可以將矩陣A的第j行改寫成如下形式,既(1,x,…,xN-1),而對于其余的元素,都保持著不變的形式,此時,對于所得的矩陣,可以記為Aj.這樣就可以根據(jù)行列式,得到展開的Laplace定理,矩陣Aj的行列式,可以用下式表示,既為

        則(9)式可寫成如下形式

        整理得

        利用(8)式可以求得Vandermonde矩陣A的逆矩陣A-1[5].

        若用σr(x1,x2,…,xm)=表示字母x1,x2,…,xm的r次初等對稱多項式,r=1,2,…,m,σ0(x1,x2,…,xm)=1,利用初等對稱多項式和式(10)則有(j=1,2,…,N)

        記矩陣A的逆矩陣為A-1=[ai,j]1≤i,j≤N,由(8)式可知

        從而A-1的第i行第j列的元素ai,j是

        很明顯,矩陣M=AT,從而可知M-1=(A-1)T.由(6)式可得

        將Umi代入(5)式有

        此公式即是核函數(shù)的重構(gòu)公式.其系數(shù)為

        其中ti=Wl×m1,i=1,2,…N,W=e-j2π/N,m1,m2,…,mN∈C.

        當(dāng)l=1時,利用上述方法得到核函數(shù)重構(gòu)公式的表示式實際上就是定理1.1中的重構(gòu)公式.利用這種方法與定理1.1中的方法相比,就可以發(fā)現(xiàn)更具有一般性,顯然,這對于分?jǐn)?shù)傅立葉變換多樣性研究的應(yīng)用范圍,提供了一種更為有效的工具,有利于科學(xué)的發(fā)展.

        對于重構(gòu)系數(shù)之間,它們是存在一定相關(guān)性的.當(dāng)N=4,C={0,1,2,3},l=1/2時,就可以直接計算得到下式:p(α)=p0(α)+p1(α)+ p2(α)+p3(α)=1.

        除此之外,系數(shù)之間呈現(xiàn)“共軛對”關(guān)系,即p0(α)=(α),p1(α)=(α).

        為了加深對這些系數(shù)的理解,圖1給出了系數(shù)仿真的圖像,其中l(wèi)=1/2.

        從圖1可以看出,系數(shù)曲線完成的圈數(shù)與單位元中的最大值,從仿真的圖像可以看到,它們具有一定的相關(guān)性的,這種相關(guān)性可以描述為,單位元中的最大值越大,圖像轉(zhuǎn)的圈數(shù)就越多,對于仿真的圖像的理論證明有待于進一步的研究結(jié)果.

        事實上,當(dāng)N=4n,n=1,2,3,…,C={0,1,2,…,N-1},對任意(0,1]區(qū)間上的實數(shù)l,下式都成立:

        圖1 單位元大小為4的系數(shù)p0(α)、p1(α)、p2(α)、p3(α)的圖像

        p(α)=p0(α)+p1(α)+…+pN-1(α)=1且系數(shù)之間仍然有“共軛對”關(guān)系 pi(α)=),i=0,1,…,4n-1.

        并且圖像轉(zhuǎn)的圈數(shù)與單位元中的最大值也有上述的關(guān)系.

        3 結(jié)束語

        通過利用特殊Vandermonde矩陣的逆矩陣的探討,可以證明對任意有限帶寬的周期信號的處理,它們都可在[0,T1],0<T1≤Tp上進行等間隔的采樣,并且可以得到重構(gòu),這樣就可以得到核函數(shù)的重構(gòu)公式.然后通過分析重構(gòu)公式中系數(shù)的關(guān)系,得到經(jīng)典的結(jié)果.該文的研究方法,為分?jǐn)?shù)傅立葉變換多樣性之間關(guān)系研究,開辟了一種有利的工具,利用這種研究途徑,可以研究在任意區(qū)間[0,T1]上的非等間隔采樣的模式,這樣就可以將信號得到重構(gòu),具體的應(yīng)用方法,將在以后的工作中繼續(xù)研究.關(guān)于核函數(shù)的采樣,這是基于對信號在分?jǐn)?shù)傅立葉變換下,可以得到的進行各種性質(zhì)研究的基礎(chǔ)和前提,如果再考慮分?jǐn)?shù)傅立葉變換多樣性的影響,可以相信,一定會具有重大的理論發(fā)展前景和實際的指導(dǎo)意義.

        [1] Pei SC,Yeh M H,Luo T L.Fractional Fourier Series Expansion for Finite Signaland Dual Extension to Discrete-time Fractional Fourier Transform.IEEE Trans Signal Processing,1999,47(10):2883-2888.

        [2] Pei SC,Ding J J.Closed-form Discrete Fractional and Affine Fourier Transforms.IEEE Trans Signal Processing,2000,48(5):1338-1353.

        [3] Ran QW,Yeung D S,Tsang C C,et al.General Multifractional Fourier Transform Method Based on the Generalized Permutation Matrix Group.IEEE Trans Signal Processing,2005,53(1):83-98.

        [4] 楊勝良,喬占科.Vandermonde矩陣的逆矩陣的一種顯示算法[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報,2004,30(6):131-133.

        [5] 譚暢,季春玉,龔俊松,等.基于Canny算子的有效塊匹配運動估計算法[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012(1):92-94.

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