齊新

1. 根據(jù)題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形

例1 如圖1，一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60°方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東45°的方向，已知以小島C為中心，周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，若這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能？

【解析】本題的關(guān)鍵在“如何判斷這艘漁船是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能”，通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)：這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群的過程中，和小島C有一個最近距離，通過計算最近距離與10海里危險區(qū)進(jìn)行比較，進(jìn)而得到判斷：如果最近距離大于10海里，說明沒有危險，反之，則有危險. 因此只需考慮小島C到漁船航線的最近距離，進(jìn)而添加輔助線，作CD⊥AB，此時CD就是最近距離. 只要算出CD的大小，問題就解決了. CD被同時放在兩個直角三角形中，利用AB=AD-BD列方程求解.

解：設(shè)CD=x，則可得BD=x.

在Rt△ACD中，可得AD=x.

∵AD-BD=AB，而AB=20，

∴x-x=20，解得x=10+10.

∵10+10>10， ∴漁船繼續(xù)向東追趕魚群，沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能.

同類問題：（2009·山東青島）如圖2，一艘輪船自西向東航行，在A處測得北偏東68.7°的方向上有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處，測得小島C此時在輪船的北偏東26.5°方向上. 之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數(shù)據(jù)：cos68.7°=， tan68.7°=，cos26.5°=，tan26.5°=）

【解析】本題的關(guān)鍵在“如何理解距離小島C最近”，通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)：這艘船繼續(xù)向東航行的過程中，和小島C有一個最近距離，作CD⊥AB于D，此時CD就是最近距離. 但是本題的問題是：“輪船繼續(xù)向東航行多少海里？”一些同學(xué)會誤以為本題是求CD的大小而出錯.

解答提示：利用直角三角形解決此類實際問題時，仔細(xì)審題很重要. 根據(jù)題意，通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而解決問題.

2. 積累基本圖形

例2 如圖3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2，求△ABC的面積.

【解析】在這個問題的解決過程中，同學(xué)們一看到題中有AB=2，就通常以AB為底，但高求不出來. 其實，本題中的圖形是一基本圖形，解決此類問題的前提是：一般情況下不破壞特殊角. 因此通常不經(jīng)過B點或C點作高，而是經(jīng)過A點作高，以BC為底.

解：AB=2，則可得BD=AD=. 在Rt△ACD中，可得CD=.

變式：如圖3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=2，求△ABC的面積.

【解析】方法類似上文，關(guān)鍵在于求高AD. 這個圖形在有關(guān)銳角三角函數(shù)應(yīng)用的題目中較為常見，很多的中考題都以這張圖為原型，設(shè)計了很多新穎的題目.

同類問題：（2011·江蘇蘇州）如圖4所示，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于______. （結(jié)果保留根號）

【解析】這道題的失分率較高，主要原因在于同學(xué)們對這道題不知如何分析，很多同學(xué)沒有認(rèn)清這道題的本質(zhì). 其實，本題就是源于例2的基本圖形，解決問題的方法類似于以上變式的解題方法. 如果同學(xué)們能夠積累這些基本圖形，對提高解決問題的能力有很大幫助.

【解答提示】積累并熟練掌握一類問題的基本圖形，并形成解決此類問題的基本方法，對解決此類問題起到事半功倍的作用.

3. 注意計算的合理性和簡便性

例3 （2009·貴州黔東南州）如圖5，在某廣場上空飄著一只氣球P，A、B是地面上相距90米的兩點，它們分別在氣球的正西和正東，測得仰角∠PAB=45°，仰角∠PBA=30°，求氣球P的高度. （精確到0.1米，=1.732）

【解析】本題的結(jié)果要求精確到0.1米，很多同學(xué)在結(jié)果的處理上失分明顯，主要是計算出錯，一部分同學(xué)因為沒有達(dá)到精確要求而失分.

解：設(shè)PH=x，則可得AH=x.

在Rt△PBH中，可得HB=x.

∴x+x=90，解得x=.

對于接下來的計算，大部分同學(xué)主要用以下3種計算方式：

（1） 把=1.732直接代入計算.

（2） x===45（-1）=45-45，再把=1.732代入.

（3） x=45（-1）≈45×（1.732-1）=45×0.732=32.94≈32.9.

顯然，第1種計算方式較復(fù)雜，增加了計算的難度，容易出錯，應(yīng)該先分母有理化，然后再代入計算；第2種和第3種計算比較，第3種計算方式較為簡便：先計算-1≈0.732，再計算45×0.732，結(jié)果較為簡單. 在計算中注意計算的合理性和簡便性，可以減少計算出錯.

在運用銳角三角函數(shù)解決問題的過程中，對基本概念的認(rèn)識一定要清晰，對基本圖形的掌握一定要深刻，對計算過程中的數(shù)據(jù)處理一定要體現(xiàn)計算的合理性和簡便性，再加上同學(xué)們細(xì)心審題，相信一定能夠突破“難點”，收獲成功！

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

1. 根據(jù)題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形

例1 如圖1，一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60°方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東45°的方向，已知以小島C為中心，周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，若這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能？

【解析】本題的關(guān)鍵在“如何判斷這艘漁船是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能”，通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)：這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群的過程中，和小島C有一個最近距離，通過計算最近距離與10海里危險區(qū)進(jìn)行比較，進(jìn)而得到判斷：如果最近距離大于10海里，說明沒有危險，反之，則有危險. 因此只需考慮小島C到漁船航線的最近距離，進(jìn)而添加輔助線，作CD⊥AB，此時CD就是最近距離. 只要算出CD的大小，問題就解決了. CD被同時放在兩個直角三角形中，利用AB=AD-BD列方程求解.

解：設(shè)CD=x，則可得BD=x.

在Rt△ACD中，可得AD=x.

∵AD-BD=AB，而AB=20，

∴x-x=20，解得x=10+10.

∵10+10>10， ∴漁船繼續(xù)向東追趕魚群，沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能.

同類問題：（2009·山東青島）如圖2，一艘輪船自西向東航行，在A處測得北偏東68.7°的方向上有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處，測得小島C此時在輪船的北偏東26.5°方向上. 之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數(shù)據(jù)：cos68.7°=， tan68.7°=，cos26.5°=，tan26.5°=）

【解析】本題的關(guān)鍵在“如何理解距離小島C最近”，通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)：這艘船繼續(xù)向東航行的過程中，和小島C有一個最近距離，作CD⊥AB于D，此時CD就是最近距離. 但是本題的問題是：“輪船繼續(xù)向東航行多少海里？”一些同學(xué)會誤以為本題是求CD的大小而出錯.

解答提示：利用直角三角形解決此類實際問題時，仔細(xì)審題很重要. 根據(jù)題意，通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而解決問題.

2. 積累基本圖形

例2 如圖3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2，求△ABC的面積.

【解析】在這個問題的解決過程中，同學(xué)們一看到題中有AB=2，就通常以AB為底，但高求不出來. 其實，本題中的圖形是一基本圖形，解決此類問題的前提是：一般情況下不破壞特殊角. 因此通常不經(jīng)過B點或C點作高，而是經(jīng)過A點作高，以BC為底.

解：AB=2，則可得BD=AD=. 在Rt△ACD中，可得CD=.

變式：如圖3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=2，求△ABC的面積.

【解析】方法類似上文，關(guān)鍵在于求高AD. 這個圖形在有關(guān)銳角三角函數(shù)應(yīng)用的題目中較為常見，很多的中考題都以這張圖為原型，設(shè)計了很多新穎的題目.

同類問題：（2011·江蘇蘇州）如圖4所示，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于______. （結(jié)果保留根號）

【解析】這道題的失分率較高，主要原因在于同學(xué)們對這道題不知如何分析，很多同學(xué)沒有認(rèn)清這道題的本質(zhì). 其實，本題就是源于例2的基本圖形，解決問題的方法類似于以上變式的解題方法. 如果同學(xué)們能夠積累這些基本圖形，對提高解決問題的能力有很大幫助.

【解答提示】積累并熟練掌握一類問題的基本圖形，并形成解決此類問題的基本方法，對解決此類問題起到事半功倍的作用.

3. 注意計算的合理性和簡便性

例3 （2009·貴州黔東南州）如圖5，在某廣場上空飄著一只氣球P，A、B是地面上相距90米的兩點，它們分別在氣球的正西和正東，測得仰角∠PAB=45°，仰角∠PBA=30°，求氣球P的高度. （精確到0.1米，=1.732）

【解析】本題的結(jié)果要求精確到0.1米，很多同學(xué)在結(jié)果的處理上失分明顯，主要是計算出錯，一部分同學(xué)因為沒有達(dá)到精確要求而失分.

解：設(shè)PH=x，則可得AH=x.

在Rt△PBH中，可得HB=x.

∴x+x=90，解得x=.

對于接下來的計算，大部分同學(xué)主要用以下3種計算方式：

（1） 把=1.732直接代入計算.

（2） x===45（-1）=45-45，再把=1.732代入.

（3） x=45（-1）≈45×（1.732-1）=45×0.732=32.94≈32.9.

顯然，第1種計算方式較復(fù)雜，增加了計算的難度，容易出錯，應(yīng)該先分母有理化，然后再代入計算；第2種和第3種計算比較，第3種計算方式較為簡便：先計算-1≈0.732，再計算45×0.732，結(jié)果較為簡單. 在計算中注意計算的合理性和簡便性，可以減少計算出錯.

在運用銳角三角函數(shù)解決問題的過程中，對基本概念的認(rèn)識一定要清晰，對基本圖形的掌握一定要深刻，對計算過程中的數(shù)據(jù)處理一定要體現(xiàn)計算的合理性和簡便性，再加上同學(xué)們細(xì)心審題，相信一定能夠突破“難點”，收獲成功！

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

1. 根據(jù)題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形

例1 如圖1，一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60°方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東45°的方向，已知以小島C為中心，周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，若這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能？

【解析】本題的關(guān)鍵在“如何判斷這艘漁船是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能”，通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)：這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群的過程中，和小島C有一個最近距離，通過計算最近距離與10海里危險區(qū)進(jìn)行比較，進(jìn)而得到判斷：如果最近距離大于10海里，說明沒有危險，反之，則有危險. 因此只需考慮小島C到漁船航線的最近距離，進(jìn)而添加輔助線，作CD⊥AB，此時CD就是最近距離. 只要算出CD的大小，問題就解決了. CD被同時放在兩個直角三角形中，利用AB=AD-BD列方程求解.

解：設(shè)CD=x，則可得BD=x.

在Rt△ACD中，可得AD=x.

∵AD-BD=AB，而AB=20，

∴x-x=20，解得x=10+10.

∵10+10>10， ∴漁船繼續(xù)向東追趕魚群，沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能.

同類問題：（2009·山東青島）如圖2，一艘輪船自西向東航行，在A處測得北偏東68.7°的方向上有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達(dá)B處，測得小島C此時在輪船的北偏東26.5°方向上. 之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數(shù)據(jù)：cos68.7°=， tan68.7°=，cos26.5°=，tan26.5°=）

【解析】本題的關(guān)鍵在“如何理解距離小島C最近”，通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)：這艘船繼續(xù)向東航行的過程中，和小島C有一個最近距離，作CD⊥AB于D，此時CD就是最近距離. 但是本題的問題是：“輪船繼續(xù)向東航行多少海里？”一些同學(xué)會誤以為本題是求CD的大小而出錯.

解答提示：利用直角三角形解決此類實際問題時，仔細(xì)審題很重要. 根據(jù)題意，通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而解決問題.

2. 積累基本圖形

例2 如圖3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2，求△ABC的面積.

【解析】在這個問題的解決過程中，同學(xué)們一看到題中有AB=2，就通常以AB為底，但高求不出來. 其實，本題中的圖形是一基本圖形，解決此類問題的前提是：一般情況下不破壞特殊角. 因此通常不經(jīng)過B點或C點作高，而是經(jīng)過A點作高，以BC為底.

解：AB=2，則可得BD=AD=. 在Rt△ACD中，可得CD=.

變式：如圖3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=2，求△ABC的面積.

【解析】方法類似上文，關(guān)鍵在于求高AD. 這個圖形在有關(guān)銳角三角函數(shù)應(yīng)用的題目中較為常見，很多的中考題都以這張圖為原型，設(shè)計了很多新穎的題目.

同類問題：（2011·江蘇蘇州）如圖4所示，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于______. （結(jié)果保留根號）

【解析】這道題的失分率較高，主要原因在于同學(xué)們對這道題不知如何分析，很多同學(xué)沒有認(rèn)清這道題的本質(zhì). 其實，本題就是源于例2的基本圖形，解決問題的方法類似于以上變式的解題方法. 如果同學(xué)們能夠積累這些基本圖形，對提高解決問題的能力有很大幫助.

【解答提示】積累并熟練掌握一類問題的基本圖形，并形成解決此類問題的基本方法，對解決此類問題起到事半功倍的作用.

3. 注意計算的合理性和簡便性

例3 （2009·貴州黔東南州）如圖5，在某廣場上空飄著一只氣球P，A、B是地面上相距90米的兩點，它們分別在氣球的正西和正東，測得仰角∠PAB=45°，仰角∠PBA=30°，求氣球P的高度. （精確到0.1米，=1.732）

【解析】本題的結(jié)果要求精確到0.1米，很多同學(xué)在結(jié)果的處理上失分明顯，主要是計算出錯，一部分同學(xué)因為沒有達(dá)到精確要求而失分.

解：設(shè)PH=x，則可得AH=x.

在Rt△PBH中，可得HB=x.

∴x+x=90，解得x=.

對于接下來的計算，大部分同學(xué)主要用以下3種計算方式：

（1） 把=1.732直接代入計算.

（2） x===45（-1）=45-45，再把=1.732代入.

（3） x=45（-1）≈45×（1.732-1）=45×0.732=32.94≈32.9.

顯然，第1種計算方式較復(fù)雜，增加了計算的難度，容易出錯，應(yīng)該先分母有理化，然后再代入計算；第2種和第3種計算比較，第3種計算方式較為簡便：先計算-1≈0.732，再計算45×0.732，結(jié)果較為簡單. 在計算中注意計算的合理性和簡便性，可以減少計算出錯.

在運用銳角三角函數(shù)解決問題的過程中，對基本概念的認(rèn)識一定要清晰，對基本圖形的掌握一定要深刻，對計算過程中的數(shù)據(jù)處理一定要體現(xiàn)計算的合理性和簡便性，再加上同學(xué)們細(xì)心審題，相信一定能夠突破“難點”，收獲成功！

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）