鮑芳 程雪芳

武漢大學 湖北武漢 430079

合作博弈中的夏普利值應用

鮑芳 程雪芳

武漢大學 湖北武漢 430079

合作博弈亦稱為正和博弈，是指博弈雙方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受損害，因而整個社會的利益有所增加。

合作博弈；夏普利值

博弈根據(jù)是否可以達成具有約束力的協(xié)議分為合作博弈和非合作博弈。合作博弈研究人們達成合作時如何分配合作得到的收益，即收益分配問題。合作博弈存在的兩個基本條件是：

(1)對聯(lián)盟來說，整體收益大于其每個成員單獨經(jīng)營時的收益之和。

(2)對聯(lián)盟內(nèi)部而言，應存在具有帕累托改進性質(zhì)的分配規(guī)則，即每個成員都能獲得比不加入聯(lián)盟時多一些的收益。

一、提出背景

Shapley在1953年提出了夏普利值（shapley值）這一概念，為如何決策一個在n人討價還價的博弈，也就是合作博弈中，每個人參與的所得分配比例提供了一種很好的方法。Shapley從有效性公理、對稱性公理和可加性公理出發(fā)，提出了合作對策的解的概念，并證明了它存在的唯一性，這種解也就是后來人們所稱為的夏普利值。由于夏普利值是建立在幾個公理之上，所以在這里需要先介紹一些定義。在夏普利的設定中，存在著一個包含所有博弈者的宇集U，而每個博弈中的所有博弈者集合N，都是宇集的子集，并稱為一個載形，何謂載形：

定義1 在一個支付可轉(zhuǎn)移的聯(lián)盟型博弈，聯(lián)盟N?U稱為一個載形，當且僅當對于任何一個聯(lián)盟S?U，都存在著以下的關系：

根據(jù)定義1，一個載形包含了所有會對至少一個聯(lián)盟作出貢獻的博弈者，也就是說，任何不屬于載形的博弈者都不會對任何聯(lián)盟作出貢獻。

定義2 博弈者i和j在博弈中是可互換的，當對于所有包括博弈者i但不包含博弈者j的聯(lián)盟S，都存在著以下的關系：

根據(jù)定義2，博弈者i和j對于聯(lián)盟S的用處和貢獻都是完全一樣的。

此公理又稱為效率公理，要求的是整體理性。

此公理又稱對稱公理，要求的是博弈者的名稱并不會對影響博弈起任何作用。

公理3 如果和是兩個博弈，那么

此公理又稱集成定律，要求的是任何兩個獨立的博弈聯(lián)合在一起，那么所組成的新博弈的值是原來的兩個博弈的值的直接相加。

根據(jù)上述的定理和公理，可以得到一個能滿足夏普利公理的函數(shù)：

定理1（夏普利定理）函數(shù)?是唯一能夠滿足以上三個公理的函數(shù)，這函數(shù)可以表達為：

二、應用舉例

現(xiàn)有三家工廠，分別為：汽車制造商（1）、汽車分銷商（2）和汽車零售商（3），為了適應現(xiàn)在管理的要求，提升企業(yè)的競爭力，三家工廠擬構(gòu)成供應鏈系統(tǒng)，組建合作聯(lián)盟，則局中人的集合為{1，2，3}，根據(jù)市場狀況和實際資料顯示，在不同的聯(lián)盟情況下的預期收益v如表1所示：

表1 各種供應鏈聯(lián)盟形式及其收益

根據(jù)夏普利值法，含有制造商（1）的子集有：{1}、{1，2}、{1，3}、{1，2，3}，制造商（1）利潤分配結(jié)果如表2所示：

表2 制造商（1）利潤分配表

由此可得，制造商（1）的分配利潤為：

同理可得出后面兩個值，因此，夏普利值為（18，16.5，19.5）

三、結(jié)論

通過夏普利值的運用，我們可以看到整體利益和集合中個體的利益都得到了提升，產(chǎn)生了效用的最大化。因此，在平時的經(jīng)濟生產(chǎn)和合作中，充分應用夏普利來提高生產(chǎn)效益是十分必要的。但是由于它需要假設條件的嚴格性，會使得結(jié)果和真實產(chǎn)出有一定的出入，這也是夏普利值在經(jīng)濟活動中的局限性所在，只有將假設和生產(chǎn)環(huán)境及條件充分聯(lián)系起來，才能使其發(fā)揮最大的作用。