淺談如何利用線段的垂直平分線解題
2014-03-03 04:59:12張俊芝
教育界·上旬 2014年2期
張俊芝
【摘 要】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個(gè)特征在處理有關(guān)線段或角的問題運(yùn)用十分廣泛，本文特舉例說(shuō)明。
【關(guān)鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離
例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求△BCD的周長(zhǎng)。
分析：要求△BCD的周長(zhǎng)，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。
解：因?yàn)镸N是垂直平分線，點(diǎn)D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+AC=13。
說(shuō)明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學(xué)們不妨從中體會(huì)求解的技巧。
例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，垂足為E，試說(shuō)明線段BD=CD=AC理由。
分析：要說(shuō)明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計(jì)算出∠DCB=∠B= 36°，進(jìn)而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識(shí)即可說(shuō)明。
解：因?yàn)锳B=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。
又因?yàn)锽C的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。
說(shuō)明：本題的說(shuō)明過程，實(shí)際上就是運(yùn)用等腰三角形的知識(shí)和三角形內(nèi)角和的知識(shí)求出有關(guān)角的大小。
例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求∠FAC的大小。
分析：避開∠B= 45°，我們可以設(shè)法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識(shí)來(lái)說(shuō)明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。
解：EF垂直平分AD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。
又因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，
因?yàn)椤螰AD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。
說(shuō)明：綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是處理本題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)一定要靈活運(yùn)用條件，認(rèn)真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點(diǎn)。
例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點(diǎn)，試說(shuō)明線段BE與DE相等的理由。
分析：要說(shuō)明線段BE與DE相等，只要能說(shuō)明點(diǎn)E在以點(diǎn)B、D為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。
解：連接BD，因?yàn)锳B=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因?yàn)辄c(diǎn)E在AC上，所以BE=DE。
說(shuō)明：線段垂直平分線的這兩個(gè)特征被廣泛運(yùn)用于說(shuō)明線段的相等關(guān)系上，學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意深刻領(lǐng)會(huì)，并要靈活運(yùn)用。
例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。
分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應(yīng)分兩種情況討論。
解：分兩種情況：（1）如圖5，當(dāng)交點(diǎn)在腰AC上時(shí)，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。
此時(shí)可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當(dāng)交點(diǎn)在腰CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時(shí)，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個(gè)等腰三角形的底角為70°或20°。
說(shuō)明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時(shí)一定要認(rèn)真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint
【摘 要】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個(gè)特征在處理有關(guān)線段或角的問題運(yùn)用十分廣泛，本文特舉例說(shuō)明。
【關(guān)鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離
例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求△BCD的周長(zhǎng)。
分析：要求△BCD的周長(zhǎng)，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。
解：因?yàn)镸N是垂直平分線，點(diǎn)D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+AC=13。
說(shuō)明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學(xué)們不妨從中體會(huì)求解的技巧。
例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，垂足為E，試說(shuō)明線段BD=CD=AC理由。
分析：要說(shuō)明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計(jì)算出∠DCB=∠B= 36°，進(jìn)而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識(shí)即可說(shuō)明。
解：因?yàn)锳B=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。
又因?yàn)锽C的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。
說(shuō)明：本題的說(shuō)明過程，實(shí)際上就是運(yùn)用等腰三角形的知識(shí)和三角形內(nèi)角和的知識(shí)求出有關(guān)角的大小。
例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求∠FAC的大小。
分析：避開∠B= 45°，我們可以設(shè)法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識(shí)來(lái)說(shuō)明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。
解：EF垂直平分AD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。
又因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，
因?yàn)椤螰AD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。
說(shuō)明：綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是處理本題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)一定要靈活運(yùn)用條件，認(rèn)真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點(diǎn)。
例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點(diǎn)，試說(shuō)明線段BE與DE相等的理由。
分析：要說(shuō)明線段BE與DE相等，只要能說(shuō)明點(diǎn)E在以點(diǎn)B、D為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。
解：連接BD，因?yàn)锳B=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因?yàn)辄c(diǎn)E在AC上，所以BE=DE。
說(shuō)明：線段垂直平分線的這兩個(gè)特征被廣泛運(yùn)用于說(shuō)明線段的相等關(guān)系上，學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意深刻領(lǐng)會(huì)，并要靈活運(yùn)用。
例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。
分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應(yīng)分兩種情況討論。
解：分兩種情況：（1）如圖5，當(dāng)交點(diǎn)在腰AC上時(shí)，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。
此時(shí)可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當(dāng)交點(diǎn)在腰CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時(shí)，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個(gè)等腰三角形的底角為70°或20°。
說(shuō)明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時(shí)一定要認(rèn)真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint
【摘 要】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個(gè)特征在處理有關(guān)線段或角的問題運(yùn)用十分廣泛，本文特舉例說(shuō)明。
【關(guān)鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離
例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求△BCD的周長(zhǎng)。
分析：要求△BCD的周長(zhǎng)，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。
解：因?yàn)镸N是垂直平分線，點(diǎn)D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+AC=13。
說(shuō)明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學(xué)們不妨從中體會(huì)求解的技巧。
例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，垂足為E，試說(shuō)明線段BD=CD=AC理由。
分析：要說(shuō)明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計(jì)算出∠DCB=∠B= 36°，進(jìn)而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識(shí)即可說(shuō)明。
解：因?yàn)锳B=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。
又因?yàn)锽C的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。
說(shuō)明：本題的說(shuō)明過程，實(shí)際上就是運(yùn)用等腰三角形的知識(shí)和三角形內(nèi)角和的知識(shí)求出有關(guān)角的大小。
例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求∠FAC的大小。
分析：避開∠B= 45°，我們可以設(shè)法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識(shí)來(lái)說(shuō)明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。
解：EF垂直平分AD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。
又因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，
因?yàn)椤螰AD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。
說(shuō)明：綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是處理本題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)一定要靈活運(yùn)用條件，認(rèn)真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點(diǎn)。
例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點(diǎn)，試說(shuō)明線段BE與DE相等的理由。
分析：要說(shuō)明線段BE與DE相等，只要能說(shuō)明點(diǎn)E在以點(diǎn)B、D為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。
解：連接BD，因?yàn)锳B=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因?yàn)辄c(diǎn)E在AC上，所以BE=DE。
說(shuō)明：線段垂直平分線的這兩個(gè)特征被廣泛運(yùn)用于說(shuō)明線段的相等關(guān)系上，學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意深刻領(lǐng)會(huì)，并要靈活運(yùn)用。
例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。
分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應(yīng)分兩種情況討論。
解：分兩種情況：（1）如圖5，當(dāng)交點(diǎn)在腰AC上時(shí)，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。
此時(shí)可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當(dāng)交點(diǎn)在腰CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時(shí)，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個(gè)等腰三角形的底角為70°或20°。
說(shuō)明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時(shí)一定要認(rèn)真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint
