蘇文旭

【摘 要】一元二次方程應(yīng)用歸納 解法 舉例 總結(jié)

【關(guān)鍵詞】一元二次方程應(yīng)用 題型歸類

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)用題的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn)，一元二次方程的應(yīng)用也不例外是一個(gè)，在近幾年的中考中時(shí)時(shí)刻刻困擾著學(xué)生，下面我就一元二次方程的應(yīng)用做一個(gè)歸納。僅供參考：

應(yīng)用一元二次解決實(shí)際問題有下面常見的幾種類型：

增長率或降低率問題：

關(guān)于一元二次方程應(yīng)用題中的增長（降低）率問題，根據(jù)相等關(guān)系，多渠道籌措會得出基本關(guān)系式為： a（1±x）2=b，

套用公式a（1±x）2=b，注：（1）a是初始量，b是連續(xù)增長兩次或連續(xù)降低兩次的量，x為百分率，“+”為增長，“-”為降低；（2）解的過程用直接開平方法，無論是增長的百分率還是降低的百分率都是正值，把負(fù)值舍去。

青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2003年平均每公頃產(chǎn)8712kg，求水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率。

解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為x，于是有

7200（1+x）2=8712

解方程，得

x1=0.1=10%， x2=-2.1（舍去）

根據(jù)問題的實(shí)際意義，水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為10%。

這類問題在現(xiàn)實(shí)世界中有許多原形，它可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型，設(shè)平均變化率為x，則有下列關(guān)系

變化前數(shù)量×（1+x）2=變化后數(shù)量

營銷問題：

問題背景是商品買賣中的定價(jià)、銷量、利潤的關(guān)系，其中定價(jià)的高低直接影響到銷量的變化，價(jià)格降低，銷量增加；價(jià)格升高，銷量減少，進(jìn)而會引起利潤和管理成本的變化，主要數(shù)量關(guān)系由售價(jià)、成本、銷量、利潤四部分組成。

百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了迎 “六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取降價(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售2件，要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？

解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，于是有：

（40-x）（20+2x）=1200 即 x2-30x+200=0

解方程，得 x1=20， x2=10

根據(jù)題意，因?yàn)橐獢U(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存，所以x=20。

方程的兩個(gè)根都是正數(shù)，但它們并不都適合問題的解，必須根據(jù)它們的值來確定哪個(gè)合乎實(shí)際，這種取舍選擇要考慮問題的實(shí)際意義，教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題結(jié)合的能力。

幾何問題：

與幾何問題有關(guān)的一元二次方程應(yīng)用題主要有兩類：（1）幾何圖形的面積問題：這類問題的面積公式的等量關(guān)系，如果圖形不規(guī)則，應(yīng)分割或組合成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式找出等量關(guān)系列出方程。（2）勾股定理問題：直角三角形的兩直角邊的平方等于斜邊的平方是這類問題的等量關(guān)系。

下面是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問題：“直天積（矩形面積），八百六十四步，（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步，（寬比長少一十二步，問闊及長各幾步？

解：設(shè)闊（寬）x步，則長為（x+12）步，

根據(jù)題意，列出方程：

x（x+12）=864

即 x2+12x-864=0

解方程，得 x1=24， x2=-36（舍去）

答：矩形的闊（寬）為24步，長為36步。

與幾何圖形有關(guān)的一元二次方程的應(yīng)用題主要是將數(shù)字及數(shù)字間的關(guān)系隱蔽在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有三角形、四邊形，涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、面積的計(jì)算、體積的計(jì)算、勾股定理等。解決這類問題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題數(shù)字化，這就要求我們認(rèn)真分析題意，先把實(shí)際問題中的已知條件與未知條件歸結(jié)到某一個(gè)幾何圖形中，然后用幾何定理來尋找它們之間的關(guān)系，列出一個(gè)相關(guān)的一元二次方程，從而問題得以解決。

數(shù)字問題：利用一元二次方程解決數(shù)字問題的關(guān)鍵是正確而巧妙地設(shè)未知數(shù)，一般采用直接設(shè)未知數(shù)的方法。

一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)。

解：設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為x+3，于是有：

（x+3）2=10x+x+3

解方程，得 x1=2， x2=3

根據(jù)題意，x1， x2都是方程的解

所以這個(gè)兩位數(shù)是52或63

方法技巧：從文字語言中找出存在的相等關(guān)系

注意：做一元二次方程的應(yīng)用這些題目時(shí)，首先要正確地設(shè)未知數(shù)并列出方程，然后正確地解方程，所以要對這類問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納，但不要搞成偏重死記硬背題型的教學(xué)方式，要教會學(xué)生分析問題的能力。

本內(nèi)容的背景和表達(dá)都比較貼近實(shí)際，其中的有些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以在探究過程中正確地建立一元二次方程是主要難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是弄清問題背景，把有關(guān)數(shù)量關(guān)系分析透徹，特別是找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關(guān)系。

經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對之進(jìn)行描述。

通過對一元二次方程解決身邊問題，體會數(shù)學(xué)知識的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用；學(xué)會將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用能力。

本內(nèi)容是以列一元二次方程解應(yīng)用題為中心，深入探究數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)生應(yīng)用方程分析解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)解題應(yīng)用，使學(xué)生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，并增強(qiáng)擇優(yōu)能力，讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。endprint