劉佳

摘要：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中地位卓著，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須將導(dǎo)數(shù)掌握好并且融會(huì)在高中數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中。導(dǎo)數(shù)作為重要的解題工具讓大家在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，思想得到極大的開(kāi)放，往往能夠靈活地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的解析能夠讓我們清楚的認(rèn)識(shí)他們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的地位，讓我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中受益匪淺。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)；交匯；命題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）01-0166-02

數(shù)學(xué)是一門(mén)具有獨(dú)特魅力的學(xué)科。在高中數(shù)學(xué)里我們會(huì)學(xué)到很多有趣的數(shù)學(xué)符號(hào)以及復(fù)雜的函數(shù)，當(dāng)然還有很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)包括函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、證體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)，這些主干知識(shí)足以支撐高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主要內(nèi)容，構(gòu)成了高考數(shù)學(xué)試卷的主體。在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一重點(diǎn)模塊當(dāng)中便有許多值得探究的問(wèn)題，為了認(rèn)清這一模塊，我們將從導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的思想概念、地位以及它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用著手，仔細(xì)分析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間的關(guān)系，為此我們作了研究并從例子中分析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的融會(huì)以及它們的作用。本文主要分成兩部分，第一部分在參考了文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的概念及其關(guān)系做出了解答，并且詳細(xì)地闡釋了導(dǎo)數(shù)的思想及其在高中數(shù)學(xué)中的工具性地位。第二部分是論文的重點(diǎn)部分，在對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的運(yùn)用中，通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求最值、證明不等式等展開(kāi)對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的詮釋?zhuān)送ㄟ^(guò)歷年的高考例題來(lái)解析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在高考中的重大作用。

一、理解導(dǎo)數(shù)，掌握導(dǎo)數(shù)的思想和概念

1.高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念。導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)）是一個(gè)特殊函數(shù)，它是由平均變化率到瞬時(shí)變化率引出和定義的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的割線逼近曲線的切線，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。導(dǎo)數(shù)可以說(shuō)是新課程改革與舊課程的一個(gè)區(qū)分點(diǎn)，也是新教材的一個(gè)亮點(diǎn)。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，它是連接高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。目前，隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的能力要求也逐漸提高，而且對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)的有力工具。

2.高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的思想及工具性地位。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。而導(dǎo)數(shù)已由解決問(wèn)題的輔助工具上升為解決問(wèn)題的必不可少的工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及切線問(wèn)題。

二、函數(shù)解題需要導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想。函數(shù)中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想主要有四種：等階轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想。等階轉(zhuǎn)化就是“把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”就是把未知解的題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問(wèn)題的一種重要思想方法。等階轉(zhuǎn)化在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)解決有關(guān)恒成立、函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題。方程問(wèn)題是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程或不等式），然后通過(guò)解方程或不等式來(lái)使問(wèn)題獲解。而函數(shù)與方程的思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題以及構(gòu)造函數(shù)證明不等式問(wèn)題。在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，這就是分類(lèi)討論法。它在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)問(wèn)題、極值、最值及恒成立問(wèn)題等。數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)。數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來(lái)解決方程根的問(wèn)題。因?yàn)楹瘮?shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，是數(shù)學(xué)高考考查的重點(diǎn)。而函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體。通常遇到復(fù)雜函數(shù)的時(shí)候難以利用普通的手段進(jìn)行求解，所以采用對(duì)函數(shù)求導(dǎo)的方式可以克服此類(lèi)問(wèn)題，從而達(dá)到從繁化簡(jiǎn)的效果。

2.函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)有很大的作用，主要表現(xiàn)在三個(gè)方面。①導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問(wèn)題，當(dāng)函數(shù)表達(dá)形式比較復(fù)雜，并且用初等函數(shù)不能求解的時(shí)候，可以考慮使用導(dǎo)數(shù)求解的方法，通?？梢郧蟪龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再求解導(dǎo)數(shù)的不等式。函數(shù)f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成兩個(gè)分進(jìn)行求解，一部分是-1≤a≤0時(shí)，f（x）<0，函數(shù)在（-1，+∞）是遞減的。當(dāng)a>0時(shí)，f（x）=0，則無(wú)論是導(dǎo)數(shù)還是函數(shù)，都會(huì)隨著x的變化而變化。根據(jù)x的取值變化可以化一個(gè)表來(lái)看函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的變化范圍和區(qū)間，由此可見(jiàn)，當(dāng)a在（-1，+∞）區(qū)間變化時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減的，余下的部分是單調(diào)遞增。導(dǎo)數(shù)在解題時(shí)出現(xiàn)最多的就是分類(lèi)討論的問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題，需要找到分類(lèi)點(diǎn)和畫(huà)表，根據(jù)表格x值得走向來(lái)判斷函數(shù)是遞增還是遞減。②導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，函數(shù)最值的問(wèn)題也是?？嫉念}型之一，對(duì)于閉區(qū)間的可導(dǎo)函數(shù)求其最值可以先求極值，根據(jù)極值與函數(shù)進(jìn)行比較，確定最大值與最小值。函數(shù)f（x）=-x3+9x+a，閉區(qū)間[-2，2]，最大值為20，給出函數(shù)式子求最值。這種問(wèn)題一般都會(huì)有兩個(gè)問(wèn)題：第一個(gè)問(wèn)題，會(huì)對(duì)函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間進(jìn)行探討，然后給定一個(gè)閉區(qū)間求最值，最值包括最大值和最小值。第二個(gè)問(wèn)題，閉區(qū)間會(huì)給你固定值，并且還會(huì)有最大的取值，從計(jì)算的過(guò)程中看，可以將閉區(qū)間兩端的值代入導(dǎo)函數(shù)中，求出一個(gè)公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根據(jù)第一問(wèn)討論的單調(diào)遞增與遞減區(qū)間的確定，確定其大小值，求解a的值。③導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題，最關(guān)鍵的步驟要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，來(lái)證明不等式。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，最關(guān)鍵需要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用相應(yīng)區(qū)間上證明不等式的知識(shí)來(lái)判斷其單調(diào)性。根據(jù)以上的分析，可以解決數(shù)學(xué)的問(wèn)題，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，過(guò)程比較簡(jiǎn)單，能夠加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)任務(wù)，可以提供一個(gè)清晰的思想，一個(gè)新的解題方法。endprint

三、從高考命題來(lái)解析導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)在高考上的運(yùn)用趨勢(shì)。近幾年來(lái)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、不等式、解析幾何等其他知識(shí)的交匯進(jìn)行命題考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力已成為高考的一大亮點(diǎn)。因此，在命題上導(dǎo)數(shù)充分突顯出其“工具性”的作用，在處理各類(lèi)交匯性問(wèn)題上，在處理曲線的切線、函數(shù)的最值（極值）及單調(diào)性、參數(shù)的范圍、實(shí)際生活中的優(yōu)化等問(wèn)題方面，導(dǎo)數(shù)發(fā)揮著重大作用，所以導(dǎo)數(shù)是高考解答題命題的熱點(diǎn)內(nèi)容。例1：（重慶·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸.（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的極值。解：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸，所以該切線的斜率為0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），則f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-

1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定義域，舍去），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）<0，故f（x）在（0，1）上為減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=3.點(diǎn)評(píng)：此題的解題思路就在于理解導(dǎo)數(shù)的定義，即處于該點(diǎn)切線的斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，第二問(wèn)就是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值的變換，所以關(guān)鍵是理解和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)。

2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的解題技巧。①求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)固定形式：a.含分母的導(dǎo)數(shù)形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此類(lèi)導(dǎo)數(shù)由含lnx的函數(shù)求導(dǎo)得到，所以定義域?yàn)椋?，+∞），此時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與分母無(wú)關(guān)，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0時(shí)Δ與0的關(guān)系即可；b.含ex的導(dǎo)數(shù)形式，此類(lèi)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與ex無(wú)關(guān)；c.含三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性。②二次求導(dǎo)的使用：當(dāng)遇到含ex的復(fù)雜形式函數(shù)時(shí)可以采用二次求導(dǎo)的方法，例如設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2。若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍。一階求導(dǎo)f'（x）=ex-1-2ax，二階求導(dǎo)f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小與二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，而二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系決定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，若一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)則必有f'（x）≥f'（0）=0成立，從而獲得原函數(shù)的單調(diào)性。③恒成立的應(yīng)用：恒成立是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中永恒的話題，歸結(jié)為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問(wèn)題，所以是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)最重要的體現(xiàn)。在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，幾乎所有的最后一問(wèn)都要涉及到這類(lèi)恒成立問(wèn)題。

四、結(jié)論

1.重視導(dǎo)數(shù)方面的學(xué)習(xí)，弄清導(dǎo)數(shù)的概念。

2.有必要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的工具作用。

3.進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的理解和直觀認(rèn)識(shí)?？傊瑢?dǎo)數(shù)引入中學(xué)數(shù)學(xué)教材后，使傳統(tǒng)中學(xué)教學(xué)內(nèi)容注入了新的生機(jī)與活力，如何更好地利用導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)重新認(rèn)識(shí)原中學(xué)課程中的有關(guān)問(wèn)題并為解題提供新的途徑和方法已經(jīng)成為當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要面對(duì)的嶄新課題。

隨著時(shí)代的發(fā)展，特別是適應(yīng)課程改革和考試改革的需要，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“與時(shí)俱進(jìn)”，重新審視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵導(dǎo)數(shù)作為新增內(nèi)容，在研究函數(shù)的性質(zhì)中發(fā)揮了重要的作用。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，因此導(dǎo)數(shù)與高中數(shù)學(xué)的融會(huì)關(guān)系將會(huì)更近一步。高中數(shù)學(xué)是高中課堂極為重要的一門(mén)功課，在高考中占據(jù)很大的分量。導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，不僅蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，也是一種簡(jiǎn)捷而有效的解題工具，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有極大的幫助，因此本文希望通過(guò)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間解題研究能夠幫助廣大同學(xué)更好地學(xué)數(shù)學(xué)。

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