劉 佳

（浙江省衢州市第三中學(xué)，浙江 衢州 324002）

數(shù)學(xué)是一門具有獨特魅力的學(xué)科。在高中數(shù)學(xué)里我們會學(xué)到很多有趣的數(shù)學(xué)符號以及復(fù)雜的函數(shù)，當(dāng)然還有很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。高中數(shù)學(xué)主干知識包括函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、證體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計，這些主干知識足以支撐高中數(shù)學(xué)知識體系的主要內(nèi)容，構(gòu)成了高考數(shù)學(xué)試卷的主體。在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一重點模塊當(dāng)中便有許多值得探究的問題，為了認(rèn)清這一模塊，我們將從導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的思想概念、地位以及它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用著手，仔細(xì)分析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間的關(guān)系，為此我們作了研究并從例子中分析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的融會以及它們的作用。本文主要分成兩部分，第一部分在參考了文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的概念及其關(guān)系做出了解答，并且詳細(xì)地闡釋了導(dǎo)數(shù)的思想及其在高中數(shù)學(xué)中的工具性地位。第二部分是論文的重點部分，在對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的運用中，通過導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題，通過導(dǎo)數(shù)求最值、證明不等式等展開對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的詮釋，包括了通過歷年的高考例題來解析導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在高考中的重大作用。

一、理解導(dǎo)數(shù)，掌握導(dǎo)數(shù)的思想和概念

1.高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念。導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它是由平均變化率到瞬時變化率引出和定義的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的割線逼近曲線的切線，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。導(dǎo)數(shù)可以說是新課程改革與舊課程的一個區(qū)分點，也是新教材的一個亮點。因為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，它是連接高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問題。目前，隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，對導(dǎo)數(shù)知識考查的能力要求也逐漸提高，而且對導(dǎo)數(shù)的考查已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析問題和解決問題時的有力工具。

2.高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的思想及工具性地位。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用過程中，要加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程的目的。而導(dǎo)數(shù)已由解決問題的輔助工具上升為解決問題的必不可少的工具，在解決數(shù)學(xué)問題時使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及切線問題。

二、函數(shù)解題需要導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)中運用導(dǎo)數(shù)的思想。函數(shù)中運用導(dǎo)數(shù)的思想主要有四種：等階轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想。等階轉(zhuǎn)化就是“把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”就是把未知解的題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要思想方法。等階轉(zhuǎn)化在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來解決有關(guān)恒成立、函數(shù)的單調(diào)性等問題。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題。方程問題是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程或不等式），然后通過解方程或不等式來使問題獲解。而函數(shù)與方程的思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來解決生活中的優(yōu)化問題以及構(gòu)造函數(shù)證明不等式問題。在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。它在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)問題、極值、最值及恒成立問題等。數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來。數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中主要用來解決方程根的問題。因為函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，是數(shù)學(xué)高考考查的重點。而函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體。通常遇到復(fù)雜函數(shù)的時候難以利用普通的手段進(jìn)行求解，所以采用對函數(shù)求導(dǎo)的方式可以克服此類問題，從而達(dá)到從繁化簡的效果。

2.函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)有很大的作用，主要表現(xiàn)在三個方面。①導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題，當(dāng)函數(shù)表達(dá)形式比較復(fù)雜，并且用初等函數(shù)不能求解的時候，可以考慮使用導(dǎo)數(shù)求解的方法，通?？梢郧蟪龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再求解導(dǎo)數(shù)的不等式。函數(shù)f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成兩個分進(jìn)行求解，一部分是-1≤a≤0時，f（x）<0，函數(shù)在（-1，+∞）是遞減的。當(dāng)a>0時，f（x）=0，則無論是導(dǎo)數(shù)還是函數(shù)，都會隨著x的變化而變化。根據(jù)x的取值變化可以化一個表來看函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的變化范圍和區(qū)間，由此可見，當(dāng)a在（-1，+∞）區(qū)間變化時，函數(shù)是單調(diào)遞減的，余下的部分是單調(diào)遞增。導(dǎo)數(shù)在解題時出現(xiàn)最多的就是分類討論的問題，解決此類問題，需要找到分類點和畫表，根據(jù)表格x值得走向來判斷函數(shù)是遞增還是遞減。②導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題，函數(shù)最值的問題也是?？嫉念}型之一，對于閉區(qū)間的可導(dǎo)函數(shù)求其最值可以先求極值，根據(jù)極值與函數(shù)進(jìn)行比較，確定最大值與最小值。函數(shù)f（x）=-x3+9x+a，閉區(qū)間[-2，2]，最大值為20，給出函數(shù)式子求最值。這種問題一般都會有兩個問題：第一個問題，會對函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間進(jìn)行探討，然后給定一個閉區(qū)間求最值，最值包括最大值和最小值。第二個問題，閉區(qū)間會給你固定值，并且還會有最大的取值，從計算的過程中看，可以將閉區(qū)間兩端的值代入導(dǎo)函數(shù)中，求出一個公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根據(jù)第一問討論的單調(diào)遞增與遞減區(qū)間的確定，確定其大小值，求解a的值。③導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，最關(guān)鍵的步驟要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，來證明不等式。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，最關(guān)鍵需要構(gòu)造一個函數(shù)，利用相應(yīng)區(qū)間上證明不等式的知識來判斷其單調(diào)性。根據(jù)以上的分析，可以解決數(shù)學(xué)的問題，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，過程比較簡單，能夠加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)任務(wù)，可以提供一個清晰的思想，一個新的解題方法。

三、從高考命題來解析導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)在高考上的運用趨勢。近幾年來利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進(jìn)行命題考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點。因此，在命題上導(dǎo)數(shù)充分突顯出其“工具性”的作用，在處理各類交匯性問題上，在處理曲線的切線、函數(shù)的最值（極值）及單調(diào)性、參數(shù)的范圍、實際生活中的優(yōu)化等問題方面，導(dǎo)數(shù)發(fā)揮著重大作用，所以導(dǎo)數(shù)是高考解答題命題的熱點內(nèi)容。例1：（重慶·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸.（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的極值。解：（1）對f（x）求導(dǎo)，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，所以該切線的斜率為0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），則f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定義域，舍去），當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）<0，故f（x）在（0，1）上為減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=3.點評：此題的解題思路就在于理解導(dǎo)數(shù)的定義，即處于該點切線的斜率就是該點的導(dǎo)數(shù)值，第二問就是運用導(dǎo)數(shù)求極值的變換，所以關(guān)鍵是理解和運用導(dǎo)數(shù)。

2.運用導(dǎo)數(shù)的解題技巧。①求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)的幾個固定形式：a.含分母的導(dǎo)數(shù)形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此類導(dǎo)數(shù)由含lnx的函數(shù)求導(dǎo)得到，所以定義域為（0，+∞），此時導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與分母無關(guān)，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0時Δ與0的關(guān)系即可；b.含ex的導(dǎo)數(shù)形式，此類導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與ex無關(guān)；c.含三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性。②二次求導(dǎo)的使用：當(dāng)遇到含ex的復(fù)雜形式函數(shù)時可以采用二次求導(dǎo)的方法，例如設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2。若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。一階求導(dǎo)f'（x）=ex-1-2ax，二階求導(dǎo)f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小與二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，而二階導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系決定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，若一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)則必有f'（x）≥f'（0）=0成立，從而獲得原函數(shù)的單調(diào)性。③恒成立的應(yīng)用：恒成立是導(dǎo)數(shù)問題中永恒的話題，歸結(jié)為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題，所以是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個最重要的體現(xiàn)。在導(dǎo)數(shù)問題中，幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題。

四、結(jié)論

1.重視導(dǎo)數(shù)方面的學(xué)習(xí)，弄清導(dǎo)數(shù)的概念。

2.有必要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的工具作用。

3.進(jìn)一步加深對函數(shù)的理解和直觀認(rèn)識?？傊?，導(dǎo)數(shù)引入中學(xué)數(shù)學(xué)教材后，使傳統(tǒng)中學(xué)教學(xué)內(nèi)容注入了新的生機(jī)與活力，如何更好地利用導(dǎo)數(shù)這一工具來重新認(rèn)識原中學(xué)課程中的有關(guān)問題并為解題提供新的途徑和方法已經(jīng)成為當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要面對的嶄新課題。

隨著時代的發(fā)展，特別是適應(yīng)課程改革和考試改革的需要，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“與時俱進(jìn)”，重新審視基礎(chǔ)知識、基本技能和能力的內(nèi)涵導(dǎo)數(shù)作為新增內(nèi)容，在研究函數(shù)的性質(zhì)中發(fā)揮了重要的作用。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，因此導(dǎo)數(shù)與高中數(shù)學(xué)的融會關(guān)系將會更近一步。高中數(shù)學(xué)是高中課堂極為重要的一門功課，在高考中占據(jù)很大的分量。導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要知識，不僅蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，也是一種簡捷而有效的解題工具，對于解決數(shù)學(xué)問題有極大的幫助，因此本文希望通過導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間解題研究能夠幫助廣大同學(xué)更好地學(xué)數(shù)學(xué)。

[1]王錦.導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)科建設(shè)，2012，（8）.

[2]胡明濤，葛倩.高中數(shù)學(xué)教材“導(dǎo)數(shù)”部分?jǐn)?shù)學(xué)文化的滲透[J].科技信息，2011，（9）.

[3]李慧波.高考中導(dǎo)數(shù)大題的得分技巧分析[J].焦點透析，2012，（7）.