賀新峰,于德介,肖枚清
(1.株洲時代新材料科技股份有限公司,株洲 412000;2.湖南大學,汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙 410082;3.柳州乘龍專用車有限公司,柳州 545036)
由于部件加工工藝、材料特性、幾何特性、載荷歷程和溫度等因素的影響,相同部件在同一應力水平下的疲勞壽命也會很離散。為滿足部件的疲勞可靠性要求,工程上通常使疲勞壽命平均值遠大于結構的設計壽命,從而造成材料的浪費和疲勞壽命的較大富余。因此,需要對結構的疲勞壽命進行穩(wěn)健優(yōu)化設計,使結構疲勞壽命對隨機因素的變化靈敏度降到最低,即在結構滿足疲勞可靠性的同時,疲勞壽命的平均值最小。
田口玄一博士于20世紀70年代末創(chuàng)立的三次設計法奠定了穩(wěn)健設計的理論基礎[1]。此后,穩(wěn)健設計受到了各發(fā)達工業(yè)國家的關注,并進行了一系列與田口思想相結合的研究與生產應用活動。如文獻[2]中采用田口方法對設計參數(shù)進行優(yōu)化,為應用遺傳算法對結構進行優(yōu)化提供了穩(wěn)健的種群。隨著計算機技術、優(yōu)化設計理論和CAD技術的發(fā)展,逐漸形成了現(xiàn)代穩(wěn)健設計方法。
6σ穩(wěn)健性設計是結合蒙特卡洛分析、可靠性分析、田口穩(wěn)健設計法的要素,根據(jù)6σ設計理論建立的穩(wěn)健設計方法。它將可靠性設計和基于容差模型的穩(wěn)健設計相結合,在優(yōu)化過程中使響應均值遠離約束,并減小響應偏差,以提高設計結果的可靠性和穩(wěn)健性。文獻[3]中采用6σ穩(wěn)健設計方法對拼焊板車門進行了輕量化研究,在減輕車門質量的同時,提高了響應的穩(wěn)健性。
從現(xiàn)有文獻來看,對結構疲勞壽命穩(wěn)健性的研究很少。文獻[4]中將結構優(yōu)化設計理論和隨機有限元法相結合,建立了一種結構疲勞壽命穩(wěn)健優(yōu)化模型。本文中將響應面法、6σ穩(wěn)健設計法與疲勞設計相結合,提出一種提高結構疲勞壽命穩(wěn)健性且減輕結構質量的方法。以某攪拌車副車架為研究對象,對其疲勞壽命進行了穩(wěn)健優(yōu)化設計。在優(yōu)化過程中,先用拉丁超立方抽樣對設計參數(shù)進行采樣,并用MSC公司的有限元分析軟件MSC.Nastran計算攪拌車副車架疲勞關鍵點處的平均應力和對稱應力譜;再用Miner法求出結構關鍵點處的疲勞壽命;獲得疲勞壽命的仿真數(shù)據(jù)后,構造疲勞壽命的響應面模型;最后利用構造的響應面模型進行副車架疲勞壽命的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計。結果表明,該方法在保證副車架疲勞壽命可靠性和滿足設計要求的基礎上,有效提高了副車架疲勞壽命的穩(wěn)健性,減輕了副車架結構質量。
S-N曲線方程為
lgN=a+blgσ-1
(1)
式中:a、b為待定系數(shù);N為疲勞壽命;σ-1為應力幅值。
通過最小二乘法擬合得到的S-N曲線是標準光滑試樣在對稱循環(huán)應力作用下得到的試樣疲勞性能曲線。但實際零件由于尺寸、形狀和表面情況的不同,不能通過標準試樣得到S-N曲線進行結構疲勞設計,因此須對得到的S-N曲線進行修正??紤]尺寸、形狀和表面情況的影響時,對稱循環(huán)下零件疲勞強度降低系數(shù)為
KσD=Kσ/ε+1/β1-1
(2)
式中:Kσ為疲勞缺口系數(shù);ε為尺寸系數(shù);β1為表面加工系數(shù)。
修正后,零件某一疲勞壽命下的應力幅值為
(3)
式中:KS為離散系數(shù)。
將式(3)代入式(1),可得修正后的S-N曲線方程為
(4)
σD=σaσf/(σf-σm)
(5)
其中σf=σb+350
(6)
式中:σm為平均應力;σa為沒有平均應力作用時的應力幅值;σf為真斷裂強度,MPa;σb為材料抗拉強度。
當結構承受隨機載荷時,由Miner法則[6]可得某一載荷歷程循環(huán)一次的疲勞累積損傷為
(7)
式中:m為某一載荷歷程應力幅值水平的級數(shù);ni為一個載荷時間歷程中某一幅值載荷的循環(huán)次數(shù);Ni為在相應應力幅值作用下部件達到破壞所需的循環(huán)次數(shù)。
假設D=k時,部件發(fā)生破壞,則結構的疲勞壽命為
f=k/D
(8)
系統(tǒng)響應y與設計變量(x1,x2,…,xn)之間的關系可表示為
y=g(x1,x2,…,xn)
(9)
通過試驗設計,系統(tǒng)響應與設計變量確定的函數(shù)關系表示為
y=f(x1,x2,…,xn)
(10)
式中f(x1,x2,…,xn)為多項式,f(x1,x2,…,xn)是對g(x1,x2,…,xn)的近似。f(x1,x2,…,xn)表示的曲面為響應面。
采用二次多項式響應面近似模型,其基本形式為
(11)
式中:n為設計變量數(shù)目;ai,aii,aij為多項式系數(shù)。
多項式系數(shù)是在拉丁方試驗設計[8]和有限元分析的基礎上,采用最小二乘法擬合得到。
為使響應面能夠很好滿足結構疲勞壽命穩(wěn)健設計的要求,在對結構進行疲勞壽命6σ穩(wěn)健設計前須對響應面模型進行精度檢驗,本文中采用F檢驗。在二次多項式響應面模型中,若在置信水平α下有
則認為在α水平下該響應面模型是顯著的,擬合精度好;反之則說明響應面方程意義不大,須重新設計試驗,構建新的響應面方程。
疲勞壽命的6σ穩(wěn)健設計是采用6σ穩(wěn)健設計方法,使結構疲勞壽命在滿足可靠性要求的條件下,疲勞壽命的平均值與方差最小。圖2為疲勞壽命穩(wěn)健優(yōu)化示意圖,假定疲勞壽命為單設計變量x的函數(shù),設計變量的容差為Δ±x,這時穩(wěn)健設計的目的不在于尋找疲勞壽命y=y(x)的較大解xopt,而是在安全區(qū)內選擇最接近目標值且其方差小的設計點xrobust。從圖2可以看出,設計變量在相同的變化范圍±x內,當取xopt時,函數(shù)的最大波動范圍為Δfa,當取xrobust時,函數(shù)的最大波動范圍為Δfb,Δfb?Δfa。變量取xrobust時,系統(tǒng)穩(wěn)健性大大提高。
疲勞壽命6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計的數(shù)學模型為
(12)
其中F(μlgy(xi),σlgy(xi))=
(13)
式中:F為目標函數(shù);w1、w2為權因子;μxi和σxi分別為隨機變量xi的均值和標準差;μlgy和σlgy為疲勞壽命的對數(shù)均值和標準差;M為疲勞壽命對數(shù)均值的目標值;μgj和σgj分別為不同約束條件的均值和標準差;xL,i、xU,i分別為設計變量的最小值和最大值。
穩(wěn)健優(yōu)化設計須計算響應和約束的均值和方差,目前常用的計算方法有解析法、矩法和蒙特卡洛模擬法[9]。解析法計算精確,但對于多變量、復雜非線性問題求解困難。蒙特卡洛模擬法通過統(tǒng)計模擬抽象來獲得隨機響應分布特征值,方法簡單,適用于各種分布,但當模擬次數(shù)增多時,耗費時間長。矩法通過對響應函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開,計算展開式的均值和方差,求解容易,結果雖為近似解,卻具有足夠的精度??紤]以上各方法的特點,本文中采用矩法獲得多維隨機變量的均值和方差近似計算表達式。
設y=f(x1,x2,…,xn)為隨機變量x1,x2,…,xn的函數(shù),已知這些隨機變量的均值分別為μ1,μ2,…,μn,將函數(shù)在點[x1,x2,…,xn]T=[μ1,μ2,…,μn]T處用泰勒級數(shù)展開,有
y=f(x1,x2,…,xn)=f(μ1,μ2,…,μn)+
(xi-μi)(xj-μj)+Rn
(14)
式中:Rn為余項。對式(14)取數(shù)學期望,變量x1,x2,…,xn相互獨立,得均值和方差的簡化表達式為
(15)
(16)
對常采用的二階響應面模型,均值和方差的近似表達式分別為
(17)
(18)
式中:γ為待定系數(shù)。
遺傳算法能在較大的設計變量空間內迅速尋優(yōu),有較強的全局優(yōu)化性能[10],本文中采用遺傳算法對結構疲勞壽命穩(wěn)健性進行全局優(yōu)化。取設計變量x為遺傳算法群體,選擇遺傳算法的交叉概率為0.5,變異概率為0.01。
基于響應面的結構疲勞壽命6σ穩(wěn)健優(yōu)化設計流程如圖3所示。
以某型攪拌車副車架為研究對象進行疲勞穩(wěn)健性優(yōu)化設計。攪拌車主要由底盤、攪拌筒、前后支座和副車架構成,攪拌筒、前后支座和副車架組裝在一起,統(tǒng)稱為攪拌車上裝。上裝與底盤橫梁通過連接塊連接。該攪拌車在實際使用過程中,由于連接塊位置、副車架結構設計和梁厚度的選擇不合理,使有些攪拌車副車架在使用年限內發(fā)生斷裂;而有些攪拌車的疲勞壽命卻遠遠超過設計要求的使用年限,故須對該攪拌車副車架進行疲勞穩(wěn)健優(yōu)化設計。
為更真實地獲得攪拌車副車架的受力情況,用有限元軟件Altair.Hypermesh建立了某型攪拌車的有限元模型,模型采用殼單元來模擬各部件,最終建立有321 560個節(jié)點和314 250個單元的有限元模型,如圖4所示。副車架與底盤車架之間以GAP單元定義接觸。罐體、駕駛室和發(fā)動機的質量以非結構質量的形式附加到與車架連接的部位上,輪胎和鋼板彈簧用具有一定動剛度的彈簧模擬。各單元厚度、鋼材的彈性模量、泊松比和密度按實際結構確定。
輪胎與鋼板彈簧的動剛度因激振方式的不同有較大變化。當輪胎從靜止狀態(tài)轉入滾動狀態(tài)時,徑向剛度急劇變小,而后隨著速度的變大緩慢升高。當車速穩(wěn)定后,激振幅值的變化對動剛度的影響較小[11]。
本文中采用位移時間歷程對模型進行激勵,用恒定的剛度系數(shù)近似代替動剛度系數(shù)。彈性元件的阻尼系數(shù)通常較小,采用的阻尼系數(shù)為6N·s/mm[12]。
輪胎徑向剛度計算公式[13]為
(19)
K=15×10-3B0+0.42
(20)
式中:c1為與輪胎設計有關的參數(shù),斜交輪胎的c1=1.15,子午線輪胎的c1=1.5;W為輪胎上的載荷,10N;D為輪胎直徑,cm;B0為輪胎寬度,cm;p1為輪胎充氣壓力,100kPa。
鋼板彈簧剛度的計算公式[14]為
k1=[(2+n′/n)Enbh3]/(6l3)
(21)
式中:n′為鋼板彈簧端部片數(shù),后輪n′=3,前輪n′=2;n為鋼板彈簧總片數(shù),后輪n=12,前輪n=8;b為鋼板彈簧單片寬度,前后輪均為b=90mm;h為鋼板彈簧單片厚度,后輪h=22mm,前輪h=8mm;E為鋼板彈簧鋼的彈性模量,E=206GPa;l為鋼板彈簧的半長。
通過式(19)和式(21)得到輪胎與鋼板彈簧的剛度系數(shù),分析各輪胎之間和輪胎與鋼板彈簧的組合方式,得到前、后支撐彈簧總的剛度系數(shù),如表1所示。
表1 彈性支撐參數(shù) N/mm
采用Matlab軟件生成在時域內表示的路面譜[15],將路面譜加載到攪拌車車輪位置進行瞬態(tài)響應分析,得到對稱應力譜。瞬態(tài)響應分析中,某時刻攪拌車上裝的應力云圖如圖5所示,圖中圓圈為應力較大的區(qū)域。在攪拌車自重的作用下進行靜態(tài)分析,得到平均應力,靜態(tài)分析中的應力云圖如圖6所示,圖中圓圈為應力較大的區(qū)域。
由某攪拌車的有限元分析和實際使用情況可知,圖4所示響應點10是副車架上最容易發(fā)生斷裂的地方,即點10為須通過優(yōu)化提高副車架疲勞壽命穩(wěn)健性的關鍵點。
疲勞壽命的離散性主要是由有效應力集中系數(shù)、尺寸系數(shù)、表面加工系數(shù)和部件本身尺寸的離散性造成的。而有效應力集中系數(shù)、尺寸系數(shù)、表面加工系數(shù)與部件本身的材料和加工方式等有關,通常只考慮它們的離散性對疲勞壽命穩(wěn)健性的影響,不對它們進行數(shù)值上的優(yōu)化。故本文中以4類梁的厚度為設計變量建立響應面模型對副車架進行疲勞壽命的穩(wěn)健優(yōu)化設計,4類梁如圖7所示。圖中x1,x2,x3,x4為副車架中4類梁的厚度。以表2所示設計變量范圍為設計空間,采用拉丁超立方試驗設計方法進行77次試驗,并計算每次試驗副車架關鍵點的平均應力和對稱應力譜,然后通過式(8)計算點10處的疲勞壽命,計算疲勞壽命的相關系數(shù)如表3所示。
表2 試驗設計空間 mm
表3 疲勞壽命相關系數(shù)
最終獲得點10處疲勞壽命的試驗仿真數(shù)據(jù)。
根據(jù)數(shù)值仿真試驗結果,采用最小二乘法構造點10疲勞壽命的二次多項式響應面模型為
(22)
式中:y為點10的疲勞壽命;ai為多項式系數(shù);φi(x)為多項式基函數(shù)。多項式基函數(shù)及其對應的系數(shù)分別如表4所示。
表4 響應面模型系數(shù)
對副車架點10的疲勞壽命響應面模型進行方差分析,得到F=557.25,而在顯著水平α=0.05有F>F0.05(14,62)≈1.84,表明所得到的響應面模型在α=0.05的水平下是顯著的,可利用此響應面近似模型對副車架的疲勞壽命進行穩(wěn)健優(yōu)化。
攪拌車的使用期限通常是5年以上,工作3年左右會產生初始裂紋。假定每年工作200天,每天工作8h,可得攪拌車經過5.76×105個載荷歷程的循環(huán)后產生初始裂紋,故設計壽命的對數(shù)值為5.76。優(yōu)化前后點10疲勞壽命的穩(wěn)健性參數(shù)如表5所示,結構疲勞壽命的對數(shù)平均值為6.42,遠大于設計壽命,疲勞壽命的σ值也較高,故須對攪拌車副車架的疲勞壽命進行6σ穩(wěn)健優(yōu)化。
表5 點10疲勞壽命的穩(wěn)健設計參數(shù)
優(yōu)化中,以疲勞壽命的穩(wěn)健性為主要目標,采用式(17)和式(18)計算式(22)的對數(shù)均值和方差。6σ穩(wěn)健性優(yōu)化的數(shù)學模型為
(23)
由式(13),分別取權因子W1=0.3;W2=0.7,并將M=5.76代入,得
(24)
4類梁厚度的初始值如表5所示,各梁厚度x1,x2,x3,x4的變異系數(shù)為0.01。在獲得疲勞壽命響應面模型的基礎上,以設計壽命的對數(shù)值為約束,采用遺傳優(yōu)化算法對攪拌車副車架進行6σ穩(wěn)健優(yōu)化。優(yōu)化后,副車架疲勞壽命的參數(shù)如表5所示。
從表5可以看出,穩(wěn)健優(yōu)化后,副車架關鍵點的疲勞壽命在滿足可靠性的同時,其對數(shù)平均值由原來的6.42降低到5.88,減小了疲勞壽命裕度;對數(shù)疲勞壽命方差也降低了20%,提高了疲勞壽命穩(wěn)健性;并且副車架質量減輕了30.7kg,降低了副車架的材料消耗,提高了經濟性。
(1) 針對結構疲勞壽命離散性較大的問題,將6σ穩(wěn)健設計引入疲勞設計中。以疲勞壽命的對數(shù)平均值和對數(shù)方差為目標函數(shù)進行疲勞穩(wěn)健優(yōu)化設計,使結構在滿足疲勞可靠性的條件下,達到提高疲勞穩(wěn)健性與減小疲勞壽命裕度的目的。
(2) 將響應面法和結構疲勞壽命的6σ穩(wěn)健設計相結合,提高了計算效率,縮短了產品設計周期,更有利于該方法在工程中的應用。
(3) 通過對某攪拌車副車架關鍵點的疲勞壽命進行6σ穩(wěn)健性設計,疲勞壽命的對數(shù)方差值降低了20%,對數(shù)平均壽命與對數(shù)設計壽命的差值從0.66減小為0.12,減輕了副車架質量,提高了經濟性。
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