俞相順

(南京市溧水區(qū)石湫中學(xué)，江蘇南京，211222)

一、例題

在九年級數(shù)學(xué)的教學(xué)中有這樣一道題：如圖1，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AE平分∠BAD。此題可以用多種方法證明。

圖1

(一)證法一，如圖1

作EF⊥AD，垂足為F

∵EC⊥CD，EF⊥AD

DE平分∠ADC

∴EC=EF

又∵E是BC的中點(diǎn)，EB=EC

∴EB=EF，且EF⊥AD，EB⊥AB

∴ 點(diǎn)E在∠BAD的平分線上

即AE平分∠BAD

圖2

(二)證法二，如圖2

延長DE與AB的延長線交于點(diǎn)F

∵EC=EB， ∠C=∠EBF=90°， ∠1=∠2

∴ △ECD≌△EBF

∴ED=EF， ∠3=∠4

又∵ ∠3=∠5

∴ ∠4=∠5

∴ △ADF為等腰三角形，且AE是底邊上的中線

∴AE平分∠BAD

圖3

(3)證法三，如圖3

作EF∥AB

∵E是BC中點(diǎn)

∴F是AD中點(diǎn)

∵ ∠1=∠2，∠1=∠3

∴ ∠2=∠3

∴DF=EF=AF

∴ ∠4=∠5

又∵ ∠4=∠6

∴ ∠5=∠6，即AE平分∠BAD

二、條件與結(jié)論的變式

初做此題，并未多想，只是覺得它是一道很普通的一題多解題。但在以后的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這個基本圖形經(jīng)常出現(xiàn)，這引起了筆者進(jìn)一步思考。

(一)結(jié)論變式

不難發(fā)現(xiàn)此題還有AE⊥DE，AD=AB+CD這兩個結(jié)論。在解完此題后對這兩個結(jié)論的證明應(yīng)該很容易了。

(二)條件變式

如果把題中的直角梯形換成一般梯形，問題還能解決嗎？上面的兩個結(jié)論還能成立嗎？仔細(xì)思考，會發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論仍然成立，只不過證明時，不能用證法一來證明。

(三)條件和結(jié)論互換變式

又經(jīng)過一番思考，筆者有了一個猜想，對于此題中的五個條件(或結(jié)論)，即EC=EB，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，AE⊥DE，AD=AB+CD，只要知道了其中兩個就可以用來證明其他三個，于是又有了以下變式。

圖4

變式一：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上一點(diǎn)，且DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。求證：①AE⊥DE；②E是BC中點(diǎn)；③AD=AB+CD。

變式二：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上中點(diǎn)，且AE⊥DE。求證：①DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA；②AD=AB+CD。

變式三：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上中點(diǎn)，AD=AB+CD。求證：①AE⊥DE；②DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。

變式四：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB+CD，且DE平分∠CDA。求證：①AE⊥DE；②AF平分∠BAD；③E是BC中點(diǎn)。

變式五：如圖4，在梯形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AD=AB+CD，且AE⊥DE。求證：①E是BC中點(diǎn)；②DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。

對以上變式，經(jīng)過論證，意外地發(fā)現(xiàn)前四個變式都可以證明出來，而只有變式五無法證明。所用的證明方法就是前面證法的一些逆向思維。

三、進(jìn)一步思考

從這道題的一系列變式中可以發(fā)現(xiàn)我們運(yùn)用了許多知識，同時也可以歸納出一些方法，找到題目中一些規(guī)律性的結(jié)論，可是仍有一個變式不能證明。再回到原題，筆者又想到了這樣一個問題，即在滿足條件“一腰等于兩底和”的梯形中，另一腰的中點(diǎn)與前腰兩端點(diǎn)的連線互相垂直且分別平分兩個底角，在這樣的梯形中，這幾個關(guān)系應(yīng)達(dá)到一種和諧的統(tǒng)一。但為什么變式五無法證明呢？把原來直角梯形這一條件加上去呢？

已知：如圖5，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上一點(diǎn)，AD=AB+CD，且DE⊥AE，求證：E是BC中點(diǎn)，DE平分∠CDA。

分析：此題用“同一法”可以證明。

取AD中點(diǎn)F，過F作FG⊥CB，垂足為G，連接EF

∴GF=1/2(AB+CD)=1/2AD

圖5

又∵EF=1/2AD

∴EF=FG，而FG⊥CD

∴FE與FG重合

∴FE∥CD

∴E是BC中點(diǎn)，易證DE平分∠CDA

由此可見，在一腰等于兩底和的直角梯形中，一定能在另一腰上找到一點(diǎn)，使得該點(diǎn)與前腰兩端點(diǎn)連線互相垂直，且這一點(diǎn)必定是該腰的中點(diǎn)，也就是說這樣的點(diǎn)有且只有一個。

用上面的分析去思考前面無法證明的變式五，變式五中的圖形其實(shí)就相當(dāng)于將圖6中的BC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度得到，如圖9，顯然，此時⊙F與B1C1有兩個交點(diǎn)，也就是說B1C1上滿足條件ED⊥AE的點(diǎn)E不止一個，這就很好地解釋了為什么變式五無法證明。

圖6

圖7

圖8

圖9

[1] 李德忠，董方英.圓與梯形相珠聯(lián)——對一道課本習(xí)題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010(7).

[2] 方先進(jìn)，張連姣.習(xí)題·模式·應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2005(3).

[3] 端凡俠.從《梯形》中一道習(xí)題得出的重要結(jié)論[J].初中生世界，2004(1).