程廣利，胡金華，張明敏

(海軍工程大學 水聲工程系，湖北 武漢430033)

0 引言

每個輸入?yún)?shù)對輸出量的相對重要性分析稱之為靈敏度分析［1］，靈敏度分析可定量或定性地評價輸入?yún)?shù)不確定性對系統(tǒng)輸出的影響，繼而可忽略那些靈敏度較低的參數(shù)對系統(tǒng)輸出的影響，據(jù)此簡化系統(tǒng)模型。

靈敏度分析通常分為局部靈敏度分析和全局靈敏度分析［2］。局部靈敏度分析只能檢驗單參數(shù)的變化對模型結果的影響程度，其他參數(shù)取中心值，主要方法有因子變化法和偏差變化法［3-4］，優(yōu)點在于簡單、易求，缺點是只考慮一個參數(shù)的變化量，計算效率不高，且忽略了輸入?yún)?shù)間的相互作用對系統(tǒng)輸出的影響等。全局靈敏度分析可檢驗多個參數(shù)的變化對系統(tǒng)輸出產(chǎn)生的總的影響，并分析每一個參數(shù)及參數(shù)之間的相互作用對模型結果的影響。全局靈敏度分析可分為定性全局靈敏度分析和定量全局靈敏度分析。定性全局靈敏度分析只能定性地分析模型各參數(shù)的不確定性對模型結果影響的相對大小，定量全局靈敏度分析則定量地給出每個參數(shù)不確定性對系統(tǒng)輸出的貢獻率。

我國近海大都為淺海，淺海受多種因素的影響，環(huán)境參數(shù)不確定性強，對聲傳播影響較大，不同的環(huán)境參數(shù)對聲波在淺海中傳播的影響程度也各不同，可以忽略對聲傳播影響較小的環(huán)境參數(shù)。因此，如何定性或定量地表征環(huán)境參數(shù)對聲傳播的影響很有意義，但實用的量化方法研究相對較少。目前，用于水聲場分析靈敏度的方法主要有Monte Carlo(MC)法［1，5-7］和 空 間 聲 場 位 移 法［8-11］?；?于MC 法，Sweet［1］計算由多個不確定參數(shù)導致的聲場，對其進行數(shù)值統(tǒng)計，用上邊界方差和下邊界方差進行靈敏度分析，其中上邊界方差更常用;但該方法沒能考慮變量間的交互影響，屬于局部靈敏度分析。Kessel［5］在特定的海洋環(huán)境變化下，基于聲壓幅度的相對變化定義了靈敏度概念，在聲場空間內(nèi)做平均獲得穩(wěn)定的典型值，并從物理上解釋了靈敏度的含義，屬于局部靈敏度分析法中的因子變化法;該方法優(yōu)點是簡單、直觀，缺點是針對所有參數(shù)采用相同的變化因子并不符合實際情形。文獻［6 -7］研究了環(huán)境參數(shù)不確定性對聲場幅度的影響，定義了聲傳播靈敏度函數(shù)，定義并驗證了線性和非線性靈敏度的度量方法?？傮w來說，MC 法計算量大、效率低，不能直接獲得聲場與不確定輸入變量之間的函數(shù)關系式，不適于多個參數(shù)不確定時的靈敏度分析?？臻g聲場位移法將環(huán)境參數(shù)擾動導致的聲場擾動看成是聲場結構的空間位移和除空間位移外的其他變化，Brooke 等［8］、Dosso 等［9］、朱建峰等［10］以場位移靈敏度替代固定靈敏度，即用聲場幅度差均方根歸一化值的最小值來衡量聲場幅值對環(huán)境參數(shù)的靈敏度，從本質(zhì)上來說仍屬于局部靈敏度分析方法，且空間聲場位移法本身適用的前提條件較多，如:必須滿足聲場位移與海洋環(huán)境參量擾動成近似線性關系這一假設，在聲場空間中某些位置并不滿足這種關系，不能計算非相干聲場等［11］。以上分析表明，在水聲場靈敏度分析中，計算方法存在效率低、適應范圍不廣等不足，且鮮有文獻論述全局靈敏度的分析方法。

本文在文獻［12］研究的基礎上，運用非嵌入式隨機多項式展開(NPCE)法快速獲得淺海聲場與不確定環(huán)境參數(shù)之間的函數(shù)關系式，將其對某個變量求(偏)導，獲得聲場對該參數(shù)的局部靈敏度;提出了一種定性分析全局靈敏度的簡便方法;引入Sobol指數(shù)法［13］計算聲場對環(huán)境參數(shù)的定量全局靈敏度;分析了以上靈敏度分析方法的特性。

1 靈敏度分析方法

1.1 獲得聲場函數(shù)關系式

將淺海中不確定環(huán)境參數(shù)表示成標準隨機變量的函數(shù)后，聲場Y 可以截斷為N 階數(shù)值近似，即［12］

式中:C 為確定的環(huán)境參數(shù)向量;X =(x1，x2，…，xn)為服從標準正態(tài)分布隨機數(shù);N 為不確定環(huán)境參數(shù)量;ai為待求的未知多項式系數(shù);Hi(X)為Hermite多項式函數(shù)。

當變量服從其他形式的概率分布時，需選取相應的、合適的多項式形式，如:均勻分布選擇Legendre 多項式、指數(shù)分布選擇Laguerre 多項式、伽馬分布選擇廣義Laguerre 多項式［14］。

多維m 階Hermite 多項式表示為

文獻［12］研究表明，非嵌入式隨機多項式展開法具有計算精度和效率高、應用范圍廣等特點，其另一個獨特的優(yōu)勢是在獲得多項式系數(shù)ai后，代入到(1)式中，即可到聲場與不確定環(huán)境參數(shù)之間的近似函數(shù)關系式。此時對不確定量求(偏)導，就可以得到聲場對某個不確定參數(shù)的靈敏度函數(shù)關系式，即而獲得局部靈敏度值。若要分析全局靈敏度，則需提出新方法或是引入其他方法。

1.2 Sobol 指數(shù)法

假設模型為Y =f(X)，f(X)平方可積，將模型輸出f(X)分解為

為衡量不同輸入?yún)?shù)對輸出的貢獻大小，定義敏感性指數(shù)

式中:Sxi為xi的主效應指數(shù)或一階敏感性指數(shù)，表征輸入xi獨自對輸出的方差貢獻;x-i為不包含xi的其他參數(shù)，且

式中:p(x1，…，xi-1，xi+1，xN)為除xi外所有參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù);p(xi)為xi的概率密度函數(shù)。

將輸入?yún)?shù)x1，x2，…，xn分為xi和x-i二組，Vx-i(Exi(Y|x-i))描述了除xi外所有參數(shù)對輸出方差的影響，則VTOT-Vx-i(Exi(Y|x-i))表征所有與xi有關的效應，xi的全效應指數(shù)定義為

參數(shù)之間的交互效應指數(shù)可表示為

式中:Vxixj(E-xixj(Y|xixj))表示xi和xj作為一個整體的主效應對方差的影響。

2 仿真實驗與分析

2.1 Pekeris 波導中傳播損失對不確定海深和海水聲速的局部靈敏度分析

Pekeris 波導如圖1 所示。環(huán)境參數(shù)設置如下:海深D 服從均值為100 m、標準差為9 m 的正態(tài)分布，海水聲速c1為均勻聲速梯度，服從均值為1 500 m/s、標準差為9 m/s 的正態(tài)分布，海水密度ρ1=1 000 kg/m3;海底為無限均勻半空間，其中聲速c2=1 800 m/s，密度ρ2= 1 800 kg/m3;聲源深度zs=30 m，接收器深度為50 m，接收距離r 分別為2 km、4 km、6 km、8 km、10 km，聲波頻率為1 000 Hz;聲場計算模型為KRAKEN［15］，假設海面是聲壓自由邊界，海底是半無限空間。不同接收距離時MC 法與NPCE 法計算得到的傳播損失概率分布(概率密度函數(shù))如圖2 所示，從左至右的曲線對應由近及遠的接收距離。由圖2 可知在不同的作用距離上，2 種方法一致性很高。

圖1 Pekeris 波導Fig.1 Pekeris waveguide

圖2 不同接收距離時傳播損失的概率分布Fig.2 PDF of transmission loss (TL)at different receiving ranges

其中，當r=10 km 時傳播損失TL 與海深D、海水聲速c1之間的函數(shù)關系式為

將(7)式中的TL 對海深D、海水聲速c1分別求導，另一個參數(shù)則取其均值，代入不確定參數(shù)的具體數(shù)值，即可獲得r =10 km 時傳播損失對D 和c1的局部靈敏度，計算結果分別見圖3、圖4.

圖3 傳播損失對海深的局部靈敏度Fig.3 Local sensitivity of TL to D

圖4 傳播損失對海水聲速的局部靈敏度Fig.4 Local sensitivity of TL to c1

從圖3、圖4 只能給出傳播損失對單個變量在某一變化范圍內(nèi)的靈敏度，2 個圖縱坐標的單位也不一致，不能據(jù)此判斷其中哪個變量對傳播損失影響更大，所以此時局部靈敏度分析的實際意義不大。

2.2 Pekeris 波導中傳播損失對不確定海深和海水聲速的定性全局靈敏度分析

圖5 對比了r =10 km 時，2.1 節(jié)相同仿真條件下海水聲速c1取均值1 500 m/s，僅海深D 變化時，以及當2 個參數(shù)均不確定時傳播損失概率分布的變化情況。

由圖5 可知，是否考慮海水聲速不確定性，對聲傳播的概率分布影響非常小，這表明此時傳播損失對海深的靈敏度比海水聲速的靈敏度要大得多。因此，是否考慮某參數(shù)不確定性對聲場概率密度的變化情況，可用于定性描述聲場對該參數(shù)的全局靈敏度。

2.3 Pekeris 波導中傳播損失對不確定海深和海水聲速的定量全局靈敏度分析

不同距離上傳播損失對2 個變量的Sobol 指數(shù)如圖6 所示。

圖5 僅D 不確定以及D 和c1 均不確定時的傳播損失概率密度函數(shù)對比Fig.5 Comparison of PDFs of TL when only D is uncertain and both D and c1 are uncertain

圖6 傳播損失對海深和海水聲速的Sobol 指數(shù)Fig.6 Sobol index of TL to D and c1

由圖6 可知，總體來看在相應的傳播距離上，傳播損失對2 個不確定環(huán)境參數(shù)的靈敏度以及二者的交互效應指數(shù)均呈波動變化，此時海深D 的主效應指數(shù)明顯高于海水聲速c1的主效應指數(shù)，說明傳播損失對海深D 的靈敏度比海水聲速c1的靈敏度更高，究其原因是水層為等聲速型聲速剖面，故海水聲速對聲傳播影響較小，而海深D 的變化對聲傳播影響較大;二者之間的交互效應指數(shù)較小，即二者交互性弱，相互影響不大;圖6 也證明圖5 中定性全局靈敏度分析結果的正確性。

因此，針對Pekeris 波導，在研究聲場不確定時，可考慮將全效應指數(shù)較小的海水聲速取固定值(如:取均值)，繼而減少不確定環(huán)境參數(shù)的個數(shù)，以簡化不確定聲場模型，集中精力提高那些對聲場影響程度較大的參數(shù)的計算精度。

3 結論

運用NPCE 法能夠快速獲得聲場與不確定環(huán)境參數(shù)之間函數(shù)關系式的特性，展開淺海聲場對環(huán)境參數(shù)的靈敏度分析研究，結果表明:

1)將函數(shù)關系式對單個不確定參數(shù)求(偏)導，即可獲得對該參數(shù)的局部靈敏度，數(shù)學含義易理解。

2)當其他參數(shù)同時不確定時，是否考慮某參數(shù)變化前后聲場概率密度的變化情況，則定性反映了此時水聲場對該不確定參數(shù)的全局靈敏度;如果聲場概率密度變化不大，則可以忽略該參數(shù)對聲場的影響，無需再進行定量全局靈敏度分析;如果變化較大，則需進一步定量地分析全局靈敏度。

3)Sobol 指數(shù)法適于定量計算水聲場對多個不確定環(huán)境參數(shù)的全局靈敏度，可給出單個參數(shù)的主效應指數(shù)、不同變量間的交互效應指數(shù)，前提是需要知道系統(tǒng)輸出量與輸入量之間的函數(shù)關系式，而這恰是NPCE 法的優(yōu)點所在，故2 種方法結合起來，不但可行，而且計算效率高。

4)在淺海不確定水聲場研究中，全局靈敏度分析比局部靈敏度分析更具實際應用意義，可簡化淺海環(huán)境參數(shù)模型。值得說明的是，研究中雖選取含2 個不確定環(huán)境參數(shù)的Pekeris 波導為例進行靈敏度分析，實際上由文獻［12］以及本文方法的適用條件可知，這些方法同樣可推廣至含更多不確定參數(shù)的海洋環(huán)境復雜的淺海環(huán)境中。

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