王衛(wèi)東　潘淑芬

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出的核心概念之一。重慶師范大學(xué)仲秀英教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以理解為學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中對(duì)活動(dòng)的感受、體驗(yàn)、感悟，以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感與觀念等組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)?！逼鋵?shí)，就經(jīng)驗(yàn)本身而言，就是一種感受、體驗(yàn)、感悟，具有較強(qiáng)的內(nèi)隱性，所以在教學(xué)過程中，教者有時(shí)難以把握、調(diào)控與評(píng)價(jià)。為此，我們有必要借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，使內(nèi)隱的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得以外顯，進(jìn)而再根據(jù)這些外顯的“證據(jù)”，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行具化、調(diào)控與提升，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效積累。

一、借助幾何直觀具化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開直觀形象的思維，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程更是如此。借助幾何直觀教學(xué)，我們可以把復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)明、形象，與此同時(shí)，也可以將學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感受、體驗(yàn)與感悟變得具體、直觀。從而在數(shù)與形、圖與形的溝通與聯(lián)系中，讓那些看似虛無飄渺的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)變得看得見、摸得著了。

片段一：在教學(xué)《倍數(shù)和因數(shù)》時(shí)，教者開展了這樣的教學(xué)活動(dòng)。

師：你能找出12的因數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示出來。

師生交流，在數(shù)軸上標(biāo)出12的因數(shù)。

師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察數(shù)軸?？吹竭@些因數(shù)，你想到了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)12最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是12，也就是它本身。

生2：我認(rèn)為12的因數(shù)可以成雙成對(duì)地找出來，如1、12，2、6，3、4。

生3：對(duì)，而且每組的兩個(gè)因數(shù)還越來越接近。

……

生：老師，我有一個(gè)疑問：是不是所有的數(shù)，因數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)呢？

師：你的想法很有價(jià)值，那到底對(duì)不對(duì)呢？我們不妨舉些例子來試一試。

思考：很難想象，一個(gè)數(shù)的因數(shù)能與幾何直觀圖產(chǎn)生什么樣的“化學(xué)反應(yīng)”，然而，在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，教者卻巧妙地借助數(shù)軸這個(gè)形象直觀的載體，將學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了定格與凝結(jié)。通過數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系描述，教者簡(jiǎn)單有效地捕獲到了學(xué)生思維發(fā)展的軌跡：最大因數(shù)與最小因數(shù)的特點(diǎn)、因數(shù)的分布特征、尋找因數(shù)的方法、因數(shù)個(gè)數(shù)的規(guī)律探究……更為重要的是，借助幾何直觀的“具化”作用，學(xué)生在思維的激烈碰撞過程中，從模糊到明晰、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從模仿到內(nèi)化，他們慢慢地積累了發(fā)現(xiàn)問題的經(jīng)驗(yàn)、思考問題的經(jīng)驗(yàn)以及解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

二、借助幾何直觀調(diào)控?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程也是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵之一。一般來說，積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程大致需要經(jīng)過經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移的過程。在這樣的過程中，我們需要借助幾何直觀來發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，適時(shí)對(duì)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程加以調(diào)控。

片段二：在教學(xué)《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》時(shí)，教者開展了這樣的教學(xué)活動(dòng)。

師：剛才大家用通分的方法計(jì)算出了+++的結(jié)果，這里的通分，其實(shí)就是一種轉(zhuǎn)化的策略。除了通分以外，你還有其他方法嗎？（學(xué)生思考）

師：觀察這幅圖（圖1），想一想，它與算式之間有什么樣的聯(lián)系？（學(xué)生討論）

師：現(xiàn)在你有什么新想法？

生：我想這樣計(jì)算：1-=，因?yàn)殛幱懊娣e=總面積-空白面積。

師：你們認(rèn)為呢？

生：我認(rèn)為很巧妙！有了這幅圖，可以把加法轉(zhuǎn)化成減法來計(jì)算。

生：是的，用圖形來表示算式，很好理解。

師：既然借助圖形來解決問題這么好，那是不是在任何情況下都能使用它呢？

（學(xué)生思考、討論）

生：我認(rèn)為把算式轉(zhuǎn)化為圖形也有一定的局限性。大家看，這里陰影部分的面積之間都有著2倍的關(guān)系：是的2倍，是的2倍……

師：那是不是說，只要相鄰加數(shù)是兩倍的關(guān)系，我們就能借助這樣的圖去思考呢？

生1：是的，比如說++++（學(xué)生邊說邊畫圖）就可以轉(zhuǎn)化為1-。

生：我也想了個(gè)算式：+++++…+=1-。

師：有道理。觀察下面的圖（圖2），看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：這里的加法雖然不是從開始加起的，但相鄰加數(shù)之間仍然有著兩倍的關(guān)系，我認(rèn)為可以這樣轉(zhuǎn)化：1--=。

師：聰明！同學(xué)們受到他的啟發(fā)，現(xiàn)在看到這幅圖（圖3），你又有什么想法呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化方法還能用在整數(shù)的加法上，只要相鄰加數(shù)存在著兩倍的關(guān)系。

生：是的，這里的轉(zhuǎn)化策略不僅適用于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算，小數(shù)也可以。

思考：在上面的教學(xué)片段中，教者借助幾何直觀開展了三次教學(xué)調(diào)控。在第一次調(diào)控中，教者引導(dǎo)學(xué)生將算式+++與圖1相聯(lián)系，使他們認(rèn)識(shí)到這類算式中加數(shù)的特點(diǎn)，積累了數(shù)形結(jié)合的思考經(jīng)驗(yàn)，感悟了“轉(zhuǎn)化策略也有局限”的探究經(jīng)驗(yàn)。在第二次調(diào)控中，教者借助圖2，對(duì)+++進(jìn)行了變式與拓展，幫助學(xué)生積累了分析比較、靈活運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)。在第三次調(diào)控中，教者再次借助圖3引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了正向遷移，幫助他們積累了猜想驗(yàn)證、歸納推理的經(jīng)驗(yàn)。

從圖1、圖2到圖3，在教師的適時(shí)調(diào)控之下，學(xué)生經(jīng)歷了不同層次的經(jīng)驗(yàn)積累，從知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、技能經(jīng)驗(yàn)，再到數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)驗(yàn)，他們?cè)谫|(zhì)疑與反思中進(jìn)行了自我內(nèi)化與建構(gòu)。

三、借助幾何直觀提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生需要掌握什么樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？是知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)、技能的經(jīng)驗(yàn)，還是關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)驗(yàn)？毫無疑問，這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)我們都需要，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開知識(shí)，在知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中可以培養(yǎng)學(xué)生的能力，感悟數(shù)學(xué)思想方法。多年以后，知識(shí)可能會(huì)遺忘，技能可能會(huì)生疏，數(shù)學(xué)思想方法也可能會(huì)淡去，既然如此，那什么樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才是學(xué)生受用一生的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

片段三：在教學(xué)《乘法分配律》時(shí)，教者開展了這樣的教學(xué)活動(dòng)。

1.師：你能用自己的語言來說說什么是乘法分配律嗎？（學(xué)生互相交流）

師：大家已經(jīng)知道了乘法分配律，那你能用更簡(jiǎn)單的方法表示出來嗎？

學(xué)生嘗試用不同的方法表示：（我+愛）×學(xué)=我×學(xué)+愛×學(xué)；（△+□）×○=△×○+□×○；（a+b）×c=a×c+b×c……

2.出示：

師：你能用兩種不同的方法表示出這個(gè)圖形的面積嗎？

生：（a+b）×c或者a×c+b×c。

師：觀察這幅圖和兩個(gè)算式，你想到了什么？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

生：哦，這就是乘法分配律！

師：是的，這幅圖就蘊(yùn)含了乘法分配律，而乘法分配律也可以用這幅圖來表示。大家看，同樣是乘法分配律，從不同的角度來審視，卻有著不一樣的精彩。其實(shí)，生活中也是如此，我們要學(xué)會(huì)從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認(rèn)識(shí)才會(huì)更全面，思考才會(huì)更有價(jià)值。

思考：在上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，為了闡述乘法分配律，教者設(shè)計(jì)了三個(gè)教學(xué)階段。先用語言描述規(guī)律，然后用漢字、圖形、符號(hào)來表示規(guī)律，最后用求長(zhǎng)方形面積的圖形來表示規(guī)律。這其中，教者巧妙地借助幾何直觀將乘法分配律與圖形進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了乘法分配律的表達(dá)層次由低級(jí)到高級(jí)，表達(dá)形式由單一到多元的經(jīng)驗(yàn)積累。與此同時(shí)，教者還引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)的文本中跳出來，引領(lǐng)他們用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界，認(rèn)識(shí)世界——“我們要學(xué)會(huì)從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認(rèn)識(shí)才會(huì)更全面，思考才會(huì)更有價(jià)值！

數(shù)學(xué)是一種智慧，成尚榮教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育要‘為智慧的生長(zhǎng)而教?！币虼?，數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)不能禁錮于知識(shí)與技能的經(jīng)驗(yàn)，也不能止步于思想與方法的經(jīng)驗(yàn)，我們理應(yīng)幫助學(xué)生造就智慧人生的經(jīng)驗(yàn)。在上述三個(gè)教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生跳出了數(shù)學(xué)知識(shí)的文本經(jīng)驗(yàn)，跨過了數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)驗(yàn)，感悟了人生智慧的經(jīng)驗(yàn)。從知識(shí)走進(jìn)方法，從思想走近智慧，借助幾何直觀，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累由此得到了質(zhì)的提升與飛躍。