費(fèi)嶺峰

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出的課程總目標(biāo)中的“四基”之一。筆者曾撰文談道：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，在具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，并以“數(shù)的運(yùn)算”學(xué)習(xí)為例，談了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在具體內(nèi)容學(xué)習(xí)中的特定表現(xiàn)及形成關(guān)鍵。本文將就此問(wèn)題，結(jié)合“平面圖形的面積計(jì)算”的學(xué)習(xí)作進(jìn)一步探討。

一、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的特點(diǎn)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在課程總目標(biāo)中提出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！蓖ㄟ^(guò)深入思考，筆者認(rèn)為，“四基”目標(biāo)有其各自的內(nèi)涵，但相互之間又有著密切的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)課程中所涉及的基本概念、基本性質(zhì)、基本法則、基本公式等，基本技能則包括基本的運(yùn)算、測(cè)量、繪圖等。數(shù)學(xué)的基本思想主要是指“數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)模型的思想。之所以把這些稱之為數(shù)學(xué)基本思想，是因?yàn)樗鼈冐灤┯跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的集中體現(xiàn)”。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則是指學(xué)習(xí)主體在經(jīng)歷為理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、習(xí)得數(shù)學(xué)基本技能以及獲取數(shù)學(xué)基本思想而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，所形成的具有較強(qiáng)個(gè)性特色的感受與體驗(yàn)。

從“四基”的含義或特征來(lái)看，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本思想是具體的、顯性的，學(xué)習(xí)過(guò)程中也有特定指向，特別是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，是由具體的數(shù)學(xué)知識(shí)理解或掌握與否來(lái)體現(xiàn)的。而數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成則不同，其形成過(guò)程中必定有承載著學(xué)習(xí)主體“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等行為發(fā)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)作支撐，且這個(gè)過(guò)程是一個(gè)長(zhǎng)期的、不太顯性的、潛移默化的累積過(guò)程，更多表現(xiàn)在學(xué)習(xí)方法的選擇與思維過(guò)程的推進(jìn)層面，并且伴隨在知識(shí)理解、技能習(xí)得、思想獲取的過(guò)程中發(fā)生。

二、“平面圖形的面積計(jì)算”學(xué)習(xí)中基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的解構(gòu)

根據(jù)以上分析，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，與學(xué)習(xí)活動(dòng)的目標(biāo)有著直接的聯(lián)系。特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；學(xué)習(xí)者特定數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富，有助于相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。這就要求我們教師在設(shè)計(jì)具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，需關(guān)注有利于學(xué)習(xí)者相應(yīng)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，從而在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)的過(guò)程中，能更好地形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

就“平面圖形的面積計(jì)算”的學(xué)習(xí)而言，我們知道，基礎(chǔ)知識(shí)主要是相關(guān)平面圖形的面積計(jì)算公式的理解與掌握，基本技能則是會(huì)用面積計(jì)算公式解決相應(yīng)的問(wèn)題，基本思想體現(xiàn)為“面積計(jì)算公式”探索時(shí)思維過(guò)程的發(fā)生與發(fā)展、公式提煉時(shí)的思考方法的選擇與應(yīng)用?；诖?，我們可以在“平面圖形的面積計(jì)算”的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷相關(guān)平面圖形的面積計(jì)算公式的理解活動(dòng)、基本技能的習(xí)得過(guò)程、基本思想的獲取歷程的全過(guò)程中，結(jié)合具體的猜想驗(yàn)證、動(dòng)手操作、交流分享、原理思辨等活動(dòng)，逐漸積累起個(gè)性化的感受與體驗(yàn)。同時(shí)，根據(jù)“平面圖形的面積計(jì)算”學(xué)習(xí)的不同階段，可以將基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成解構(gòu)成三個(gè)層次：一是基于面積計(jì)算本質(zhì)內(nèi)涵理解活動(dòng)的概念、理解經(jīng)驗(yàn)的形成，二是基于面積計(jì)算方法探索活動(dòng)的模型建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)的形成，三是基于實(shí)際面積問(wèn)題解決活動(dòng)的技能應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的形成。

三、基于“平面圖形的面積計(jì)算”學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成過(guò)程分析

如前所述，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，伴隨著相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，如觀察活動(dòng)、猜測(cè)驗(yàn)證活動(dòng)、推理與交流活動(dòng)及抽象與概括活動(dòng)等。這些活動(dòng)由于指向目標(biāo)的不同，在經(jīng)驗(yàn)形成過(guò)程中起著不同的作用。筆者現(xiàn)就“平面圖形的面積計(jì)算”學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成過(guò)程，結(jié)合實(shí)踐作具體分析。

1.經(jīng)歷面積計(jì)算本質(zhì)內(nèi)涵理解的活動(dòng)，積累概念理解經(jīng)驗(yàn)

面積就是物體表面或平面圖形的大小，度量面積的大小需要用到面積單位。測(cè)量某個(gè)平面圖形的面積，其實(shí)質(zhì)是測(cè)量該平面圖形包含的面積單位的個(gè)數(shù)。因此，我們可以這樣認(rèn)為，計(jì)算某個(gè)平面圖形的面積，其實(shí)質(zhì)便是算出該圖形所包含的面積單位的個(gè)數(shù)。如計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的面積，便是計(jì)算出這個(gè)長(zhǎng)方形中包含的平方厘米的個(gè)數(shù)。

當(dāng)然，要理解長(zhǎng)方形面積計(jì)算的本質(zhì)內(nèi)涵，積累起相應(yīng)的概念理解經(jīng)驗(yàn)，并不是一蹴而就的。它可以通過(guò)三個(gè)層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷逐步積累起相關(guān)的感受與體驗(yàn)。

第一層次的活動(dòng)：直觀判斷，感知長(zhǎng)方形面積的特征及大小，即觀察某個(gè)特定的長(zhǎng)方形，估測(cè)其面積的大小。

第二層次的活動(dòng)：操作驗(yàn)證，確認(rèn)長(zhǎng)方形面積的大小，即通過(guò)面積單位的度量，體會(huì)某個(gè)特定的長(zhǎng)方形中含有面積單位的個(gè)數(shù)。

第三層次的活動(dòng)：歸納提煉，深入理解長(zhǎng)方形面積與其特定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的關(guān)系，即通過(guò)對(duì)應(yīng)理解，總結(jié)方法。

三個(gè)層次的活動(dòng)，可以幫助學(xué)習(xí)者從目標(biāo)、方法層面積累起平面圖形面積內(nèi)涵理解的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即知道計(jì)算平面圖形的面積，首先需要弄清面積計(jì)算的實(shí)質(zhì)是什么；需要確認(rèn)圖形面積的大小，知道可借助面積單位去度量；最后清晰把握，求解平面圖形的面積時(shí)，知道需要根據(jù)長(zhǎng)度信息與面積計(jì)算之間的關(guān)系，提煉運(yùn)算方法。

這便是學(xué)習(xí)者在長(zhǎng)方形面積內(nèi)涵理解活動(dòng)中獲取的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)顯然是其后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形面積計(jì)算方法，立體圖形的表面積計(jì)算方法，乃至立體圖形體積計(jì)算方法的基礎(chǔ)。因?yàn)槲覀冎?，在求立體圖形的表面積時(shí)，其實(shí)質(zhì)同樣是在計(jì)算立體圖形表面所包含的面積單位的個(gè)數(shù)；求立體圖形的體積，其實(shí)質(zhì)則是在計(jì)算物體所包含的體積單位的個(gè)數(shù)。學(xué)生有了平面圖形的面積內(nèi)涵理解經(jīng)驗(yàn)之后，對(duì)這些概念內(nèi)涵的理解，便可以同樣采用直觀判斷、操作驗(yàn)證、歸納提煉等數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)完成，而這也是學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成與發(fā)展的意義體現(xiàn)。

2.經(jīng)歷面積計(jì)算方法探索活動(dòng)，積累模型建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)有了對(duì)平面圖形面積計(jì)算的本質(zhì)內(nèi)涵理解之后，面積計(jì)算方法的探索提煉才有根基，探索面積計(jì)算方法的活動(dòng)，也才有可能是圍繞本質(zhì)的研究。筆者現(xiàn)以“平行四邊形的面積計(jì)算方法的探索”為例，來(lái)分析平面圖形的面積計(jì)算方法探索及其活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的一般過(guò)程。

關(guān)于“平行四邊形的面積計(jì)算”這節(jié)內(nèi)容，學(xué)生是在僅僅學(xué)習(xí)和掌握了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法（正方形是特殊的長(zhǎng)方形）之后學(xué)習(xí)的，因此，對(duì)學(xué)生而言，探索平行四邊形的面積計(jì)算方法，建構(gòu)面積計(jì)算模型，同樣需要經(jīng)歷以下三個(gè)層次的活動(dòng)。

層次一：尋找恰當(dāng)?shù)奶骄柯窂?。從學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)來(lái)看，探索平行四邊形的面積計(jì)算方法的路徑之一，可如同長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法探索那樣，從面積意義入手，通過(guò)擺面積單位去發(fā)現(xiàn)規(guī)律（事實(shí)上教材提供的擺方格紙的方法便是出于此目的），提煉模型，從而歸納出面積計(jì)算公式。這條路徑雖可行，但因?yàn)椴僮鞑牧舷拗疲〝?shù)據(jù)非整數(shù)時(shí)，數(shù)方格的方法便缺少說(shuō)服力）而缺乏普適性。第二條路徑，便是將平行四邊形通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形后，借助長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算方法，此法因從兩者要素關(guān)系的分析入手，不受數(shù)據(jù)的影響，所以更具普適性。

層次二：分析要素間的聯(lián)系，找到合理的轉(zhuǎn)化方式。利用化歸法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，通過(guò)“證實(shí)”與“證偽”，確認(rèn)以“剪拼”的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是合理的方法后，找到原平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的要素與面積間的聯(lián)系，通過(guò)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

層次三：在舉一反三基礎(chǔ)上的提煉與歸納。也就是結(jié)合舉例驗(yàn)證，確認(rèn)方法的合理性與公式的正確性，從而掌握平行四邊形的面積計(jì)算方法。

顯然，在以上三個(gè)層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，因?yàn)橛袊@化歸所設(shè)計(jì)的操作、驗(yàn)證等活動(dòng)的充分實(shí)施，切實(shí)體驗(yàn)，其形成與積累的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自然成為了后續(xù)學(xué)習(xí)三角形面積、梯形面積以及圓的面積的重要經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而這也同樣是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的重要價(jià)值。

3.經(jīng)歷實(shí)際面積問(wèn)題解決的活動(dòng)，積累技能應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，我們已經(jīng)知道，學(xué)生應(yīng)用面積計(jì)算公式解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程一般分為三個(gè)步驟：一是信息的分析與處理；二是與相關(guān)面積計(jì)算方法建立連接，并進(jìn)行解答；三是對(duì)解決結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的驗(yàn)證，以確保問(wèn)題解決的正確性。但在涉及具體問(wèn)題時(shí)，卻又會(huì)產(chǎn)生不同的經(jīng)驗(yàn)。筆者認(rèn)為，學(xué)生在用面積計(jì)算公式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，技能應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)積累反映在對(duì)不同性質(zhì)問(wèn)題的探究活動(dòng)中?，F(xiàn)從三個(gè)層面加以說(shuō)明：

（1）與平面圖形面積計(jì)算相關(guān)的基本問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)的積累。這是圖形面積計(jì)算方法的直接運(yùn)用階段。這樣的問(wèn)題一般具有信息提供簡(jiǎn)單、直接，問(wèn)題指向明確等特點(diǎn)。如：用一個(gè)籬笆圍成一塊長(zhǎng)5米、寬4米的長(zhǎng)方形菜地，這塊菜地的面積是多少平方米？

解決此類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生只需將問(wèn)題中的條件信息與相關(guān)圖形面積計(jì)算公式中的基本元素對(duì)應(yīng)起來(lái)，直接列式即可解答。以上問(wèn)題中，實(shí)際是求一個(gè)長(zhǎng)方形的面積。于是，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式：長(zhǎng)×寬=面積，直接列出算式5×4計(jì)算可得20平方米，其間所涉及的思維要求是最為基本的，也是最為直接的。

（2）與平面圖形面積計(jì)算相關(guān)的變式問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)的積累。所謂變式問(wèn)題，是指該問(wèn)題呈現(xiàn)的信息不能與相關(guān)圖形的面積計(jì)算公式中的元素直接建立聯(lián)系，需要通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化還原才能找到連接點(diǎn)，從而解決問(wèn)題。如同樣是計(jì)算籬笆圍成的長(zhǎng)方形菜地面積的問(wèn)題：用一個(gè)36米長(zhǎng)的籬笆，圍一塊一面靠墻的長(zhǎng)方形菜地，這塊菜地長(zhǎng)和寬的比是4：1，這塊菜地的面積是多少平方米？

解決此類問(wèn)題時(shí)，其所利用的經(jīng)驗(yàn)與前一問(wèn)題有著很大的不同。其首先得思考：根據(jù)全長(zhǎng)與長(zhǎng)寬之比求得長(zhǎng)和寬，且因信息中沒(méi)有告知哪邊靠墻，所以結(jié)果又有兩種不同的可能。如果是長(zhǎng)邊靠墻，圍成的長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)是36÷6×4=24（米），寬為36÷6×1=6（米），面積即為24×6=144（平方米）；如果是短邊靠墻，圍成的長(zhǎng)方形菜地長(zhǎng)是36÷9×4=16（米），寬為36÷9×1=4（米），面積即為16×4=64（平方米）。這樣的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，相對(duì)基本問(wèn)題的解決，就顯得更為豐富，也更為綜合了。

（3）與平面圖形面積計(jì)算相關(guān)的綜合問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)的積累。此處所講的綜合問(wèn)題，是指那些雖與平面圖形面積計(jì)算相關(guān)，但并不是以求得圖形面積為最終目標(biāo)的問(wèn)題。在求解過(guò)程中，需要學(xué)生有一定的甄別經(jīng)驗(yàn)。

如：用一塊長(zhǎng)3米、寬2米的鋼板，切割成兩條直角邊均是0.5米的三角形鋼板，可以切出多少塊？

再如：用一塊長(zhǎng)3米、寬2米的鋼板，切割成邊長(zhǎng)為6分米的正方形鋼板，可以切出多少塊？

以上兩個(gè)問(wèn)題中圖形信息的提供不是以求解圖形的面積為最終目的的，而是為解決另一個(gè)更為具體的生活問(wèn)題服務(wù)的。顯然，與前面的問(wèn)題相比，具有更強(qiáng)的綜合性。且在第二個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，已經(jīng)跳出了用面積計(jì)算方法解答的范圍，這在思維要求上突破了平面圖形面積計(jì)算的思路，需要在更為廣闊的思維層面上分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。此類解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的形成與積累，同樣是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程需要完成的，且是后續(xù)學(xué)習(xí)更需要的，是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵內(nèi)容。