邱云蘭

(韶關(guān)學(xué)院韶州師范分院數(shù)學(xué)系,廣東韶關(guān)512009)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題變式多解的研究

邱云蘭

(韶關(guān)學(xué)院韶州師范分院數(shù)學(xué)系,廣東韶關(guān)512009)

課本習(xí)題的改造是"數(shù)學(xué)探究"的重要渠道.高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心任務(wù)主要是培養(yǎng)學(xué)生的思維探索能力,數(shù)學(xué)思維探索能力的提高在于選題、變式、解題質(zhì)量的提高,而非選題、變式、解題的數(shù)量的增多.選題要把握"三原則"、變式要多角度.這樣,不但可起到溝通各知識的縱橫聯(lián)系,而且能促進(jìn)解題策略的逐步優(yōu)化,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、分析問題和解決問題的能力.

高數(shù)教學(xué);習(xí)題變式;解題方法;探索能力

復(fù)習(xí)題是數(shù)學(xué)教科書的一個重要組成部分,有著鞏固和深化知識,補(bǔ)充與延伸知識,綜合運(yùn)用知識,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法等功能[1-2].變式是對某種范式的變化形式,不斷變更有關(guān)情境或改變思維的角度,在保持事物的本質(zhì)特征不變的情況下,使事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移的變化方式.變式既是一種重要的思想方法,又是一種行之有效的教學(xué)方式[3].波利亞說:"一個專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不重復(fù)的題目,去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面,使得通過一道題,就好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.解題的過程,就是不斷變更題目的過程".由此可見,復(fù)習(xí)題教學(xué)中注重選題、變題和解題.

1 選題"三原則"

1.1 要有利于解題結(jié)論和基礎(chǔ)知識的回味

在復(fù)習(xí)題教學(xué)中教師都會自覺與不自覺地將解題基礎(chǔ)知識或結(jié)論穿插進(jìn)去.但如果照本宣科,只是將內(nèi)容一一列出,全部依靠課本的現(xiàn)成題訓(xùn)練學(xué)生,不但學(xué)生卻會認(rèn)為這些知識已學(xué)過,還不如自己看書,感到這樣上課單調(diào)乏味,提不起興趣和積極性[4].而且也容易走向題海戰(zhàn)術(shù),并且難度、遞度、知識板塊組合不易自如調(diào)控.最終必然是將自己的教學(xué)能力定格在固有的水平上.為此施教者有責(zé)任和義務(wù)根據(jù)所用教材和所教對象的實際,適時編制添補(bǔ)多樣化習(xí)題和多樣化解答.這是機(jī)遇、也是挑戰(zhàn),更是使命.但有時也沒有必要事必躬親[5],事實上,除了教材以外,有些教輔用書中隱藏著不少豐富多彩的優(yōu)秀典型例題習(xí)題,還有班上優(yōu)秀數(shù)學(xué)學(xué)生資源的利用,等等.這些都可以幫助中等及后進(jìn)學(xué)生順利完成大學(xué)學(xué)業(yè),消除對數(shù)學(xué)的恐懼、厭惡心理,讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),不反感數(shù)學(xué),不是因為要拿學(xué)分才學(xué)數(shù)學(xué),而是不拿學(xué)分也要學(xué)好數(shù)學(xué).

1.2 要有利于模式化解題的總結(jié)和提升

模式化解題是指對于一些特征性比較明顯,綜合性不是很強(qiáng)的題目,解題者在看完題目的條件與結(jié)論后,能夠較快地反映出該題的解題思路,可以用什么方法求解的思維過程.思路決定出路.能否說出題目的正確思路,關(guān)鍵在于構(gòu)思,要在構(gòu)思上下功夫,在審題上做文章.解題必須先審題,審題要有好思路.因為有些數(shù)學(xué)題往往以復(fù)雜的外殼來掩蓋知識的內(nèi)在聯(lián)系,特別是有些綜合題,涉及到的知識常常改變原來的面目,例如,計算d x,雖然被積函數(shù)中有根式,但不能因式分解.比較難以抓住解題思路、主線,較難確定解題策略,或解題策略難以把握.引入輔助元素t,設(shè),實施繁難,解題策略遇到障礙,較難自我排除.但是,如果設(shè)問題就可以得到解決,輔助元素可以是輔助未知數(shù)、輔助線、輔助問題或輔助定理等.所以抓住題目條件或結(jié)論中所涉及的知識點(diǎn)去構(gòu)思是不能動搖的,在構(gòu)思中有的需要整體分析、有的需要利用特殊、有的要結(jié)合經(jīng)驗聯(lián)想等.

1.3 要有利于變式呈現(xiàn)和拓展

變式是中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗,變式教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)為目標(biāo),因而變式要慎之又慎.變式要把握三個度[6]:一是"梯度".變式要循序漸進(jìn),控制在學(xué)生水平的"最近發(fā)展區(qū)".讓學(xué)生跳一跳才能摘到果子,否則會使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒,影響問題的解決,降低學(xué)習(xí)效率;其次是"參與度".變式不是教師的專利,要發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神,體現(xiàn)"學(xué)為主體,教為主導(dǎo)".只有這樣,才能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,點(diǎn)燃學(xué)生的思維的火花,提高學(xué)生參與創(chuàng)新的意識;再次是"適度".適度包括了習(xí)題的數(shù)量、類型、難易程度,等等.變式過多過難,不但會造成題海,增加無效的勞動和加重學(xué)生的負(fù)擔(dān),而且還會使學(xué)生產(chǎn)生逆反心理,對變式產(chǎn)生厭煩情緒.但如果對復(fù)習(xí)題處理單一,局限在教材所提供的一些現(xiàn)成的、孤立的示例或習(xí)題上,就題論題,缺乏演變和創(chuàng)新,缺乏一定數(shù)量的訓(xùn)練.容易讓學(xué)生思維模式化、套路化,這樣只能培育機(jī)械模仿者;同時,也容易誤導(dǎo)學(xué)生以為世界就那么大,題目就這幾種,因而束縛學(xué)生做題可能卻一錯再錯,使之教學(xué)效果低下.因為數(shù)學(xué)練習(xí)的次數(shù)不能代替數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的強(qiáng)度.因此,例題和習(xí)題的改造應(yīng)成為高數(shù)教學(xué)的重要方法之一.適度的變式多解要圍繞核心、提煉核心概念,呈現(xiàn)研究思想.這里所說的思想,不僅僅指的具體的"數(shù)學(xué)思想",還包括意義更廣泛的"研究策略"、"解題策略"、"行動策略"和"哲學(xué)思想"等等[7].如何有效傳授這些重要思想?首先要提煉每節(jié)課的核心問題,讓學(xué)生在相關(guān)的問題及問題的解決中感悟這些思想,實現(xiàn)在探中思,在探中悟,在探中明.以探索發(fā)現(xiàn)為線索、以啟迪思想開發(fā)智慧為目標(biāo),以興趣培養(yǎng)為主題、讓學(xué)生更喜歡數(shù)學(xué),讓教學(xué)變得更容易理解,讓教學(xué)更有成效.

2 變式要多角度

2.1 變式的意義

變式主要是指對概念、公式、例題、習(xí)題進(jìn)行變通推廣,讓學(xué)生能在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下重新認(rèn)識的一種教學(xué)模式.數(shù)學(xué)命題、公式、定理、性質(zhì)的運(yùn)算,等等,是關(guān)于概念之間的關(guān)系判斷,或者對某一事物的概括,是一個邏輯真命題,是數(shù)學(xué)家通過研究發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論.變式教學(xué)可以通過改變概念的外延或改變一些能混淆概念外延的屬性來獲得對概念的多角度理解,還可以通過數(shù)學(xué)活動操作幫助學(xué)生理解概念產(chǎn)生發(fā)展的原因,獲得解決問題的表征和策略,設(shè)置層次性的概念模型促進(jìn)概念的形成鋪墊層次化的問題串以形成解題策略.例如,羅爾定理可推導(dǎo)拉格朗日中值定理,但羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊;拉格朗日中值定理可推柯西中值定理、泰勒中值定理,同時,拉格朗日中值定理是柯西中值定理和泰勒中值定理的特殊.定理的特定條件的改變,定理的結(jié)論也隨著改變,即得不同的變式.老師要改變觀念,不是不允許學(xué)生自己變題,而是要提倡他們自己變題;不是壓抑他們自己變題,而是推動他們自己變題;不是聽任他們自己信馬由韁,而是導(dǎo)之開之.

恰當(dāng)合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍.變式要有"梯度"、"適度"和"參與度".現(xiàn)從基本公式算變式(2)開始拓展,設(shè)計一套層次性遞進(jìn)的數(shù)學(xué)計算題變式.計算變式(1)在這常用公式變化的過程中,揭示了一類問題的本質(zhì)特性,學(xué)生從公式到簡單模仿到尋求"幾種特殊類型函數(shù)的積分"的方法.這樣的拓展讓學(xué)生始終興趣盎然,感到學(xué)習(xí)緊張有趣.進(jìn)行局部探究,不僅使學(xué)生進(jìn)一步加深了對公式的理解和靈活應(yīng)用,而且拓展了復(fù)習(xí)題內(nèi)容的深度和廣度.

2.2 一題多變,變通概念公式與各知識的縱橫聯(lián)系

現(xiàn)以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的高等數(shù)學(xué)(第六版)上冊,第221頁總復(fù)習(xí)題四的第40題為例.此題是較典型的三角函數(shù)的有理式積分,三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及乘方運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù).此題從形式上看較為淺顯,但適當(dāng)變形拓展,或分解,重新組合,引導(dǎo)學(xué)生深層次的探索,就能感受到此題的內(nèi)涵.

怎樣從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā),最大限度啟發(fā)引導(dǎo)獲取新知識是關(guān)鍵.被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式,即分式.分式中含有sin x,cos x的同角三角函數(shù)的有理式,被積函數(shù)雖然只有兩個有理式,但較難湊出積分.尋找分式中的分子與分母之間的聯(lián)系是關(guān)鍵,分子、分母分別是這兩個同角正余弦有理函數(shù)的積與和.抓住"同角"的特征,利用"同角"三角函數(shù)的關(guān)系式,變通分母,可以湊出分子有理函數(shù)的積.即(sin x+cos x)2=1+2sin x cos x,先用sin2x+cos2x=1導(dǎo)入,后把cos x+sin x轉(zhuǎn)化成

為了給學(xué)生的研究提供支持,給他們的學(xué)習(xí)牽馬引鐙,提供他們自己學(xué)的更為有利條件,為學(xué)生準(zhǔn)備,為學(xué)生激勵,為學(xué)生做加油站[8].課堂以輕松、有趣的方式引入問題吸引學(xué)生的注意力,是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效方法[9].如果把被積函數(shù)中的分母sin x+cos x變?yōu)?+sin4x,分子不變.即:

這個變式的設(shè)置在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),學(xué)生感興趣,有的說計算的關(guān)鍵是把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本積分公式,有的說變被積函數(shù)中的分母和分子,教師抓住學(xué)生思維"固定點(diǎn)"點(diǎn)撥,轉(zhuǎn)化為哪個基本公式,怎樣轉(zhuǎn)化?怎樣變分子和分母?學(xué)生即刻說出:分母1+sin4x=1+(sin2x)2,分子sin x cos x=所以,原式arctan sin2x+C.

變更問題,誘發(fā)靈感[8].問題的動態(tài)生成是新課程倡導(dǎo)的一個重要的教學(xué)理念和努力追求的目標(biāo).怎樣追求?就原題目而言,微變一下,把被積函數(shù)中的分子sin x cos x,變?yōu)閟in x,分母不變."變式到"基本的命題,即:

這是一個基于比原題目簡便的計算,不僅能夠回顧和復(fù)習(xí)基本概念和基本方法,而且能不斷地激發(fā)學(xué)生的智慧潛能,將學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)的基本概念和基本思想,能使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考問題的習(xí)慣,以 "不變"的思考問題的出發(fā)點(diǎn)來應(yīng)對"萬變"的數(shù)學(xué)題目.先變更被積函數(shù)中的分子,sin x=[(sin x+cos x)+ (sin x-cos x)],然后分解,求兩個積分的差.

2.3 一題多解,促進(jìn)解題策略的逐步優(yōu)化

為了知識方法的理解和智慧的獲得,需要進(jìn)行技能的訓(xùn)練和問題的解決.適用一題多解或多題一解的方法,不但可以幫助學(xué)生獲得問題解決的特定經(jīng)驗,而且可以促進(jìn)解題策略的逐步優(yōu)化.仍以2.2中的題目為例,可變式如下.

變式3也是一道難得的好題,涉及到三角、導(dǎo)數(shù)和積分的基本公式.學(xué)生通過類比、分析、歸納、相互交流和互動,得出了如下解析.

解析1先將被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形,再利用正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式解之.即

解析2把被積函數(shù)中的分子分母同乘以cos x-sin x,用同角三角函數(shù)的關(guān)系式、半角公式、二倍角公式,湊出新的微分,用微分基本公式計算.

解析3被積函數(shù)的分子分母同乘以cos x+sin x,用同角三角函數(shù)的關(guān)系式、半角公式、二倍角公式湊出新的微分,用微分基本公式計算.

解析4把變式2中被積函數(shù)的分子、分母同除以cos x≠0,得2tan x d(tan x),1+tan2x=sec2x,把被積函數(shù)是難點(diǎn),將被積函數(shù)向積分公式靠攏.即:

解析5變式2的被積函數(shù)中分母有sin x,分子沒有sin x,通過在分子中加上sin x-sin x來轉(zhuǎn)化,被積函數(shù)中的分母的微分正好是分子,湊出新的積分,然后再在分式中的分子加上cos x-cos x,這是有技巧性的層次性探索.但技巧有其局限性,適用的范圍比較狹窄.

解析6運(yùn)用"萬能代換"法,設(shè)tan也可方便地解題.

以上6種解析,不同程度的誘發(fā)了學(xué)生靈感,開拓了學(xué)生思維,化解了教學(xué)難點(diǎn),降低了學(xué)習(xí)難度,提高了學(xué)習(xí)效益,梳理了知識網(wǎng)絡(luò).

3 結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)把例習(xí)題的變式多解當(dāng)作"數(shù)學(xué)研究"的主要手段之一,變式多解應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生實際,拓展和改造的題目應(yīng)是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下由學(xué)生討論完成,拓展和改造要建立在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平上.拓展和改造不僅是一個教師學(xué)識認(rèn)知系統(tǒng)化、思想化的過程,而且也是一個數(shù)學(xué)知識再創(chuàng)造的過程,一個教學(xué)內(nèi)容藝術(shù)化的過程[9].由聯(lián)想所學(xué)知識,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,確定解題切入點(diǎn)、監(jiān)控調(diào)節(jié)點(diǎn)、審視解題反思點(diǎn),不斷由低級向高級逐步抽象的復(fù)雜心理過程,因而選題、變題、解題者在選、變、解題過程中的思維過程逐步由數(shù)學(xué)知識、方法這些相對具體的層面,向數(shù)學(xué)概念、公式、解題策略等更為抽象的層次發(fā)展.以使選題、變題、解題能從更高的觀點(diǎn)、更寬的視野,更理性的眼光,去思考數(shù)學(xué),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的哲理[10].

教學(xué)中,有意識暴露一些題目變式的思維過程,并讓學(xué)生參與變式編擬和求解變式問題可以收到更好的效果:一是揭示了一類問題的本質(zhì)特性,拓寬了復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度和廣度,實現(xiàn)了基本方法的靈活應(yīng)用;二是促進(jìn)了解題策略的逐步優(yōu)化,減少復(fù)習(xí)的隨意性和盲目性;三是彰顯了學(xué)生個性,展示了學(xué)生才能,滿足了個性化教育的需要;四是提供了一個表達(dá)并反思自己獨(dú)特的關(guān)于數(shù)學(xué)的情感,知識,方法和觀念的空間,促進(jìn)了元認(rèn)知能力的發(fā)展;五是創(chuàng)造了師生對話交流的新途徑,構(gòu)建了一種和諧教育環(huán)境;六是豐富了數(shù)學(xué)文化生活,提供了一個傳播數(shù)學(xué)文化的載體;七是關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的不同需求,為不同學(xué)生提供不同的發(fā)展空間,為促進(jìn)學(xué)生個性和潛能發(fā)展搭建了新的平臺;八是加強(qiáng)了問題解決過程中的認(rèn)知提升和情感培養(yǎng),不斷深挖了學(xué)生深度的思維;九是鞏固和深化了新知,補(bǔ)充與延伸新知,綜合運(yùn)用新知,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法.

[1]劉鍵.課本習(xí)題改造是"數(shù)學(xué)探究"的重要渠道[J].數(shù)學(xué)通報,2006(8):33-34.

[2]吳立寶.中澳數(shù)學(xué)教科書習(xí)題的比較研究---以人教版和HMZ8年級教科書為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2013,22(2):58-64.

[3]李靜,王秀蘭.本原性問題驅(qū)動下的高等數(shù)學(xué)變式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2013,22(6):94-97.

[4]俞新龍.談?wù)劯呷龔?fù)習(xí)課中例題的選擇[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2007(10):5-8.

[5]馬建龍.編制變式題組,功克學(xué)習(xí)難關(guān)[J].數(shù)學(xué)通報,2013(5):27-30.

[6]吳莉霞,劉斌.變式教學(xué)要把握三個"度"[J].數(shù)學(xué)通報,2006(4):18-19.

[7]王克亮.在問中悟,在問中探,在問中明[J].數(shù)學(xué)通報,2013(9):38-40.

[8]郭思樂.以生為本的教學(xué)觀:教皈依學(xué)[J].課程.教材.教法,2005,25(12):14-22.

[9]王欽敏.如果對教材進(jìn)行有益的改造[J].數(shù)學(xué)通報,2013(1):45-48.

[10]單墫.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報,2001(6):1-3.

On them ultip le solutions to a review question's variant

QIU Yun-lan
(Mathematics Departmentof Shaozhou Normal College,Shaoguan University, Shaoguan 512009,Guangdong,China)

Higher mathematics classroom teaching core mission is to develop students'thinking ability to explore the subjectwhich lies in the improvement ofmathematical thinking ability to explore the topic,variant, and improving the quality of problem-solving,rather than the increasing of topics,variantand solving.Problemsolving should be in line with three principles and diversified,which better connects the horizontal and vertical knowledge to optimize the solving strategies,which foster the thinking,analyzing and solving abilities of the students.

highermathematics;variant teaching;problem-solving approach;exploring ability

G642.4

:A

:1007-5348(2014)06-0087-05

(責(zé)任編輯:邵曉軍)

2014-03-26

邱云蘭(1956-),男,廣東樂昌人,韶關(guān)學(xué)院韶州師范分院數(shù)學(xué)系副教授,主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)的實踐與研究.