尹春軍

（嘉興一中實驗學校，浙江嘉興314050）

一個基本電路的拓展

尹春軍

（嘉興一中實驗學校，浙江嘉興314050）

本文抓住了一個基本電路這個電學“牛鼻子”，從靜態(tài)分析到動態(tài)變化、逐步拓展、由淺入深，進行四種變換分析，理清了電壓法、電流法、伏安法測電源電動勢和內(nèi)阻的來龍去脈，給出了系統(tǒng)誤差分析方法及對電路保護的處理技巧。對更好的把握物理教學的本質(zhì)有一定的借鑒意義。

“牛鼻子”；拓展；分析；誤差分析

不論是學習還是教學，都要抓住學科精髓，也就是學科的“牛鼻子”。高中物理選修3-1的閉合電路歐姆定律的“牛鼻子”就是一個基本電路（如圖1，電壓表、電流表看作理想電表），只要“理通”這個電路中涉及的各個物理量之間的關(guān)系，就把握了這一節(jié)的精髓。下面就具體解析這個“牛鼻子”。

圖1

從閉合電路來看：滑動變阻器和電源串聯(lián)，電源電動勢被滑動變阻器和內(nèi)電阻分擔，即：E=UR+Ur，電壓表測路端電壓，電流表測干路電流，即：I=E/（R+r）。這就弄清了閉合電路歐姆定律的電壓分配關(guān)系和電流與電壓、電阻的關(guān)系。這是一個靜態(tài)分析。

動態(tài)分析一：如圖1，如果把滑動變阻器觸頭向右移，問電壓表的讀數(shù)如何變化？我們不難得到，進一步變形就可以得到，可見滑動變阻器觸頭向右移，外電阻R增大，也增大。

拓展：以上不僅分析了這個動態(tài)變化，也得到了路段電壓U和電阻R的函數(shù)關(guān)系，即：。對于一個閉合電路而言，如果知道兩組U和R的值，就可以求出這個閉合電路電源的電動勢E和內(nèi)阻r。根據(jù)這個原理把圖1的電路圖變形為圖2，就變成了電壓法測電源電動勢和內(nèi)阻了。

圖2

進一步思考一：如何更方便用圖像法處理數(shù)據(jù)呢？我們可以把變形為，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作出和的函數(shù)圖像即為一次函數(shù)圖像（圖3），圖像的縱坐標截距為，斜率為，橫坐標截距為，所以根據(jù)圖像就很容求出E和r了。

進一步思考二：實驗中的電壓表實際上不是理想電表，由于電壓表的分流導致了實驗系統(tǒng)誤差。如果考慮電壓表的內(nèi)阻，

圖3

進一步思考三：基于對電路安全的考慮，可對圖2的電路圖加一保護電阻R0，如圖4的甲和乙。對甲圖處理數(shù)據(jù)時需畫和圖像，由圖像得到的是電源電動勢和內(nèi)阻的測量值。對圖乙處理數(shù)據(jù)時需畫和圖像，由圖像得到的是電源電動勢的測量值及電源內(nèi)阻r及保護電阻R0之和的值。只要知道保護電阻R0就不難得到電源內(nèi)阻r的測量值。

動態(tài)分析二：如前圖1，如果把滑動變阻器觸頭向右移，問電流表的讀數(shù)如何變化？由閉合電路歐姆定律我們不難得到，可見當滑動變阻器觸頭向右移時，電阻R增大，電流I減小。

拓展：動態(tài)分析二中也給出了電流I和電阻R的函數(shù)關(guān)系，理論上只要知道兩組電流和電阻值，就可以求出電源電動勢和內(nèi)阻。根據(jù)這個原理，把電路圖1改變成電路圖5，就是電流法測電源電動勢和內(nèi)阻了。

圖5

進一步思考一：在數(shù)據(jù)處理上也可以采用前述的圖像法。為了方便我們需作出圖像（如圖6），圖像的斜率即為，橫坐標截距為，縱坐標截距為，我們很容易測出電源電動勢E和內(nèi)阻r了。

圖6

進一步思考二：由于實驗時電流表不是理想電表，而是有內(nèi)阻的，這樣由于電流表分流導致出現(xiàn)系統(tǒng)誤差。如果考慮電流表的內(nèi)阻得，由此可見：圖像（如圖6）的斜率應(yīng)為，橫坐標截距應(yīng)為，縱坐標截距應(yīng)為，通過比較可得：，，不過由于電源內(nèi)阻較小，內(nèi)阻測量誤差就較大了。當然為了電路的安全，也可以給電路加一個保護電阻。

動態(tài)分析三：如前圖1，如果把滑動變阻器觸頭向右移，由前面分析可知路端電壓U增加，干路電流I減小，U和I必遵守。

拓展：根據(jù)動態(tài)分析三可知只要知道兩組U和I就可以測出電源電動勢和內(nèi)阻了，這就是我們非常熟悉的伏安法測電源電動勢和內(nèi)阻。為了減小誤差可以采用圖像法處理數(shù)據(jù)：圖（圖7）中縱坐標截距為E，斜率為，橫坐標截距為短路電流。

圖7

進一步思考：由于電壓表和電流表是實際電表，由于自身的分流或分壓會導致系統(tǒng)誤差，下面就電流表外接（如圖8）探討一下系統(tǒng)誤差。

誤差分析一——計算法

電流表外接的電路如圖8所示,由于電壓標的分流，測得的電流并不是通過電源的電流，采用這種接法時，電動勢和內(nèi)阻的測量值和真實值之間又有什么關(guān)系呢？

圖8

設(shè)滑動變阻器的滑片在某一位置時電路中的電流表的示數(shù)為I1,電壓表的示數(shù)為U1,改變滑片的位置，電流表中的示數(shù)為I2,電壓表的示數(shù)為U2

由閉合電路的歐姆定律得：如果不考慮電表的影響則有E=U1+I1r①E=U2+I2r②

解得：

如果考慮電表的影響，設(shè)電流表的內(nèi)阻為RV則有

誤差分析二——圖像法

如圖8，閉合電路的歐姆定律U=E-Ir中的I是通過電源的電流，而圖8電路由于電壓表分流存在系統(tǒng)誤差，導致電流表讀數(shù)（測量值）小于電源的實際輸出電流（真實值）。設(shè)通過電源電流為，電流表讀數(shù)為，電壓表內(nèi)阻為，電壓表讀數(shù)為U，電壓表分流為，由電路結(jié)構(gòu)，U越大，越大，U趨于零時，也趨于零。它們的關(guān)系可用圖9表示，由測量數(shù)據(jù)畫出的U-I圖角為圖象AB。根據(jù)修正值，圖線上每點電壓對應(yīng)電流的真實值大于測量值，作出修正之后的U-I圖線CB。由圖象可看出圖線AB的縱軸截距（）小于圖線CB的縱軸截距（），圖線AB斜率的絕對值（）也小于圖線CB斜率的絕對值（），因此，E、r的測量值均小于真實值。

圖9

誤差分析三————等效法

，產(chǎn)生的相對誤差也可以根據(jù)等效電源的方法進行定量計算，把變阻器的阻值R看成外電路的電阻，電壓表看成內(nèi)電路的一部分，如圖10虛線框所示，由電壓表和電源構(gòu)成等效電源，E、r的測量值即為等效電源的電動勢和內(nèi)阻。

圖10

②電流表的讀數(shù)為等效電源的輸出電流，外電路斷開時a、b兩點間電壓Uab即等效電源開路電壓為等效電源的電動勢，即為電源電動勢的測量值。等效電動勢小于電源電動勢，相對誤差為，因為，所以相對誤差很小，也滿足實驗誤差允許范圍。

進一步思考二：考慮到電路的安全性，我們也可以采用加一個保護電阻R0，可以采用圖11的甲、乙兩種接法。不過乙圖測量的內(nèi)阻值實際上是R0和電源內(nèi)阻r的和。

動態(tài)分析四：如前圖1，如果把滑動變阻器觸頭向右移，由前面分析可知路端電壓U增加，干路電流I減小，那么電源的輸出功率如何變化呢？設(shè)電源電動勢為ε，內(nèi)阻為r，電源的外電路電阻為R，則電源的輸出功率為：，可以利用數(shù)學上求極值的方法,對式子進行變換,使得分母在一定條件下有最小值,此時得出功率的最大值。當R=r時，輸出功率P取極大值：，此時電源的效率為：η=0.5。那么可以得到當外電阻增大時，電源輸出功率先增大后減?。ㄈ鐖D12）。

圖12

通過以上四種動態(tài)變換分析我們可以看出，在物理教學實踐過程中巧妙抓住知識的“牛鼻子”，進行合理有效的拓展，往往更能理清知識的脈絡(luò)，可以更好的幫助學生對知識進行構(gòu)建，這也許就叫“事半功倍”吧！

編輯∕高偉

尹春軍（1975－），男，中學一級，主要研究方向：高中物理教學。U和R的函數(shù)關(guān)系式為：，那么圖3中的縱坐標截距應(yīng)為，斜率應(yīng)為，橫坐標截距應(yīng)為，從而的出電源電動勢和內(nèi)阻的真實值，即和；而不考慮電壓表內(nèi)阻，根據(jù)得出的是電動勢和內(nèi)阻的測量值，即縱坐標截距為，斜率為，橫坐標截距為。那么通過對比可見：，。