曹建玲

摘 要：針對小學(xué)奧賽教材中的一個(gè)與策略相關(guān)的問題提出幾點(diǎn)見解，提出最優(yōu)的策略。

關(guān)鍵詞：策略；小學(xué)；奧賽

首都師范大學(xué)出版社出版的由吳建平主編的首都師大奧賽系列叢書，其中通用中小學(xué)奧賽教材小學(xué)六年級教材2003年2月第3版第135頁，有關(guān)最佳策略問題的例題1是這樣一道題目，甲、乙兩人輪流在5×5的方格中畫“√”和“×”，規(guī)定每人每次至少畫一格，至多畫三格，所有格畫滿后，誰畫的符號(hào)總數(shù)為偶數(shù)，誰就獲勝，問誰有獲勝的策略。

該書中的分析與解是這樣的：這是一個(gè)雙人游戲問題。由已知共有25個(gè)方格，是個(gè)奇數(shù)。兩個(gè)人所畫方格數(shù)必是一奇一偶，讓我們先從簡單的情形中尋找規(guī)律。

如果是1×1的方格，顯然誰先畫誰輸。

如果是3×3的方格，并設(shè)甲先畫，乙后畫，我們按三種情況討論：

（1）甲先畫一格，乙若畫三格就能取勝，因?yàn)橐耶嬋窈筮€剩五個(gè)格，無論甲怎樣畫，乙都能取勝（甲畫一乙畫三，甲畫二乙畫三，甲畫三乙畫一）；

（2）甲先畫兩格，乙若還畫三格還能取勝；

（3）甲先畫三格，乙只要畫一格就能轉(zhuǎn)化為（1），還是乙勝。

通過以上分析，先畫的人要輸。對于5×5方格，若甲先畫，乙應(yīng)采取的策略如下：

由上表逆推下去可得出乙取勝的方法：

（1）若甲第一次畫一格或三格時(shí)，乙每次留給甲的空格數(shù)為：21，16，13，8，5，0；

（2）若甲第一次畫二格時(shí)，乙每次留給甲的空格數(shù)為：20，17，

12，9，4，1。

筆者仔細(xì)研究了這個(gè)題目的解答，發(fā)現(xiàn)在得出的結(jié)論（1）（2）中都存在問題。例如在結(jié)論（1）中，給甲留的空格數(shù)為16，甲若接著畫三格時(shí)沒法保證給甲下次留13格，同樣甲留的空格數(shù)為8，甲若接著畫三格時(shí)沒法保證給甲下次留5格，同理（2）中給甲留的空格數(shù)為20，甲若接著畫三格時(shí)沒法保證給甲下次留17格，因此感覺這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。由于認(rèn)識(shí)到這個(gè)題目解答存在問題，筆者仔細(xì)研究了這個(gè)問題，認(rèn)為以下的解答比較合理。

若是1×1的格子，顯然先畫的人要輸。若是3×3的格子：

分析：一共有3×3=9個(gè)格子，因?yàn)槊總€(gè)人每次所能畫的格子數(shù)只能是1，2，3。仔細(xì)觀察上表會(huì)發(fā)現(xiàn)：①甲若只畫奇數(shù)格，乙每次隨后湊出4格，兩次后畫完8格，剩余1格由甲來畫至畫完，其中乙畫了兩次奇數(shù)格，那么乙勝；②若甲有一次畫奇數(shù)格，一次畫偶數(shù)（2）格，那么乙針對甲的奇數(shù)格湊4格，針對甲的2格乙畫3格湊5格，那么根據(jù)分析兩次共畫了4+5格，其中乙兩次畫奇數(shù)格，那么乙勝；③若甲畫兩次偶數(shù)（2）格，那么乙針對第一次甲的2格畫3格，針對甲第二次的2格畫1格，兩人兩次畫后剩余1格由甲來畫至畫完，其中乙畫了兩次奇數(shù)格，那么乙勝。

再次研究表格還發(fā)現(xiàn)：乙一共畫了2次，而且每次只畫奇數(shù)格，通過類比1×1、3×3的格子得出結(jié)論應(yīng)該是乙必勝。

接著研究5×5的格子：

鑒于以上表格的分析，針對7×7、9×9…的方格，只要把握：針對先畫者畫出的3（1）格，后畫者尾隨畫出1（3）格，當(dāng)先畫者畫2格時(shí)，后畫者尾隨2格依次畫3，1，3，1…的原則，在這樣的題型中后畫者必可畫出偶數(shù)格獲勝。

編輯 李建軍