劉 佩，劉書文，黎 勝

(大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室 運載工程與力學學部船舶工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

當前水下結構振動特性的研究越來越多，但大多數(shù)考慮的是在無限流體域和不考慮靜水壓力情況下振動特性影響的計算，對考慮自由液面和剛體邊界[1]以及潛水深度即考慮靜水壓力[2]對振動聲輻射的影響并不多見。如潛艇等水下結構在實際中是受到水面、水底以及下潛深度等相關條件的影響，因此對水下結構進行振動特性分析時，考慮上述條件的影響很有必要。

本文以彈性圓柱殼模擬水下結構振動特性與水面、水底、下潛深度的關系，從而說明潛艇等水下結構的振動聲輻射特性變化規(guī)律。采用有限元軟件Ansys分析水下圓柱殼受不同條件影響固有頻率的變化規(guī)律，用邊界元法將結構振動位移響應的結果作為速度邊界條件，研究水面、水底、下潛深度對水下圓柱殼結構振動聲輻射特性的影響。

1 基本理論

1.1 流固耦合系統(tǒng)有限元方程

水中考慮流體加載時，結構振動的有限元方程：

(1)

式中：M,C，K分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ΔM和ΔC分別為流體的附加質量矩陣和流體阻尼矩陣；{U}為結構的位移矩陣。{f}為外激勵力矩陣；結構總剛度矩陣K還可以表示為：

K=KE+KG。

(2)

式中：KE為結構的初應力剛度矩陣，KG其中初應力剛度矩陣主要與加載在結構上的預應力有關。

不考慮阻尼情況下圓柱殼的自由振動模態(tài)特征方程：

(3)

式中ωs為耦合模態(tài)的固有角頻率。

1.2 流體邊界條件

在結構與流體的交界面上滿足方程如下：

?p/?n=-Iiwρνn。

(4)

式中n為流固耦合交界面法線方向，指向流體外部；ρ為流體介質密度；νn為結構表面的外法向速度；p為流體壓強。

無窮遠處流體應滿足Sommerfeld條件：

(5)

半空間問題，將水面和水底分別近似視為絕對“軟”邊界和絕對“硬”邊界，不考慮表面波，則水面和水底邊界條件應分別滿足：

p=0；?p/?n=0。

(6)

1.3 聲輻射分析邊界元法

用邊界元法解決聲學問題時，可以采用直接邊界元和間接邊界元等方法。直接邊界元法只適用于具有封閉表面模型，而間接邊界元法可用于具有封閉表面模型或具有不封閉表面的模型.

直接邊界元法的控制方程為

A(ω)p=B(ω)vn。

(7)

式中A和B為系數(shù)矩陣。由上式通過表面的法向速度可以求得表面聲壓。聲場中任一點的聲壓可以通過表面的法向速度和聲壓由下式求得：

(8)

其中：Q為結構表面S上任意點；P為空間中任意點；G為格林函數(shù)。

同樣，也可以用間接邊界元法得到聲場中某點的速度、聲壓，其系統(tǒng)方程如下：

(9)

式中：B,C,D是與頻率有關的系數(shù)矩陣；σ和μ分別為表面的速度差和聲壓差；f和g表示激勵。通過表面的結果可得聲場中任意一點的速度、聲壓。聲場中任意一點的聲壓可用下式求得：

(10)

結構的輻射聲功率表示為以下公式：

(11)

結構的聲輻射效率可表示為如下公式：

(12)

(13)

1.4 考慮靜水壓力影響

水下結構物除了承受靜動載荷外，還要承受與下潛深度有關的靜水壓力。在深水域中，當水下結構下潛到一定深度時，其靜水壓力對結構的影響不容忽視。靜水壓力作為一種靜預應力載荷，它的影響體現(xiàn)在改變結構的初應力剛度矩陣。如式(2)所示，隨著靜水壓力的增大，結構內的初應力增加且主要為壓應力，初應力剛度矩陣中大部分元素為負，剛度矩陣減小，從而使結構的固有頻率減小。隨著下潛深度的增加，靜水壓力越來越大，使得結構剛度越來越小，最終總剛度|K|減小到零甚至出現(xiàn)負值。式(3)中的特征值即頻率ωs出現(xiàn)虛數(shù)，此時表明結構已經失穩(wěn)[3]。

2 數(shù)值計算

2.1 在有限深水中圓柱殼潛入深度對固有頻率影響

運用有限元軟件Ansys計算分析圓柱殼在淺水域中不同深度的固有頻率，其中圓柱殼以及流體參數(shù)如表1所示，圓柱殼材料為低碳鋼。

表1 圓柱殼以及流體參數(shù)

圓柱殼在有限深水域中，忽略靜水壓力影響，考慮水面(自由液面)和水底(剛體邊界)對固有頻率的影響。圖1所示為圓柱殼在有限深水域中潛入水中不同深度處的簡單幾何模型，圓柱殼的軸線與自由液面和剛體邊界平行，ha表示為圓柱殼距離水面深度，hb表示為圓柱殼距離水底的深度，ha，hb取不同值，即表示圓柱殼在水中不同下潛深度。

圖1 圓柱殼在有限深水中的坐標系Fig.1 The coordinate system of cylinder in finite depth water

利用有限元軟件建立耦合模型，對圓柱殼在不同深度時前5階模態(tài)進行對比分析，模態(tài)振型的表達形式為(m-n)，其中m為圓柱殼的軸向半波數(shù)，n為周向波數(shù)。所取的5階模態(tài)分別為(1-2)，(1-3)，(1-4)，(2-3)，(2-4)。以長方體模型來模擬流體區(qū)域，流體模型的長度(Z方向)取10 m，寬度(X方向)取2 m，高度隨著圓柱殼下潛深度的變化而變。流固耦合有限元模型如圖2所示(模型的一部分)，圓柱殼模型用shell63單元四邊形映射網格劃分，流體模型用fluid30單元六面體映射網格劃分。

圖2 耦合有限元模型Fig.2 The finite element model of coupled structure

通過有限元軟件Ansys建模、劃分有限元網格、施加特定邊界條件、計算、后處理得出圓柱殼在有限深水域中下潛不同深度時的固有頻率如表2和表3所示。

表2 圓柱殼在水中不同深度(距離水面深度)的固有頻率

表3 圓柱殼在水中不同深度(距離水底深度)的固有頻率

水面(自由液面)對其固有頻率的影響如表2所示，圓柱殼耦合的固有頻率隨著與水面距離的增加而減小，與文獻[4]中水下圓柱殼的固有頻率隨距離水面高度變化的實驗值相吻合，以及與文獻[5]中結論一致，并且越靠近自由液面圓柱殼固有頻率越大，說明自由液面附近圓柱殼振動的附加水質量較小[6]；當圓柱殼的下潛深度達到0.54 m(h/R=4)以上，圓柱殼耦合的固有頻率基本不變。

水底(剛體邊界)對其固有頻率的影響如表3所示，圓柱殼耦合的固有頻率隨著與水底距離的增加而增大，與文獻[5]中結論一致。當下潛深度達到4倍的圓柱殼半徑以上時，圓柱殼耦合的固有頻率基本不變，并且圓柱殼越靠近水底固有頻率越小，說明剛體壁面附近圓柱殼振動的附加水質量較大[6]。從表3還可看出，當圓柱殼距離水底的高度為0.182 m和0.19 m時，圓柱殼的模態(tài)順序發(fā)生了改變，即當h/R<1.05時，先出現(xiàn)了(2-3)階模態(tài)，然后出現(xiàn)(1-4)階模態(tài)，其他3種模態(tài)順序不變；當h/R>1.16，其模態(tài)順序沒有發(fā)生變化，模態(tài)順序依次是(1-2)，(1-3)，(1-4)，(2-3)，(2-4)。因此剛體邊界不僅影響圓柱殼的固有頻率而且還影響模態(tài)振型。

圖3所示為水中圓柱殼(1-4)階模態(tài)的固有頻率隨在水中深度變化圖。

圖3 圓柱殼(1,4)階模態(tài)固有頻率隨在水中深度的 變化曲線Fig.3 The curve of (1-4) modal natural frequencies of cylindrical shell with the different immersion depths

2.2 圓柱殼在有限深水域中的聲學特性

如圖4所示，激勵力的作用位置在點1(0，0.08，0.321)，激勵力的幅值F0=1N，激勵力的頻率范圍60～260 Hz。分別對圓柱殼在ha=0.21 m，hb=0.21 m，ha=1.8 m三種下潛深度情況下進行聲學分析，以說明自由液面、剛體邊界和無限流場對振動聲輻射特性的影響。

圖4 激勵力的作用位置Fig.4 The position of exciting force

其中聲壓級的參考值為1×10-6Pa，聲功率級的參考值為0.67×10-18W，圓柱殼表面法向速度均方值參考值為1 m2/s2。圖5～圖8為圓柱殼在水中靠近自由液面、剛體邊界以及無限流場時的振動聲輻射特性隨頻率的變化曲線。

圖5 激勵點處的聲壓隨頻率變化曲線Fig.5 The curve of the acoustic pressure of exciting point

圖6 振速均方值隨頻率變化曲線Fig.6 The curve of the velocity of mean-square value

圖7 聲功率隨頻率變化曲線Fig.7 The curve of the acoustic power

圖8 聲輻射效率隨頻率變化曲線Fig.8 The curve of the acoustic radiation efficiency

從圖5～圖8可以看出，圓柱殼表面法向振速均方值、輻射聲功率以及激勵點處輻射聲壓的峰值均出現(xiàn)在固有頻率附近，但在固有頻率附近圓柱殼聲輻射效率處于谷值。自由液面使得圓柱殼振動聲輻射特性曲線整體向高頻移動，剛體邊界使得圓柱殼振動聲輻射曲線整體向低頻移動，曲線形狀基本不變，但曲線峰值的大小有一定變化。例如激勵點處的輻射聲壓，圓柱殼在靠近剛體邊界與靠近自由液面相比，模態(tài)(1-2)處的聲壓偏大、(2-4)處偏小，其他模態(tài)處的聲壓基本不變，但均低于無界流場的聲壓；圓柱殼表面法向振速均方值與激勵點處輻射聲壓變化規(guī)律基本相同；剛體邊界附近模態(tài)(1-2)處的輻射聲功率值要大于自由液面附近的值，其他模態(tài)處的值均明顯低于自由液面附近的值，在無限流場中模態(tài)(1-3)，(1-4)處的輻射聲功率值要小于自由液面和剛體邊界附近的值，但其他模態(tài)處的值要明顯偏大。

2.3 深水域中圓柱殼在水中深度對固有頻率影響

利用有限元軟件進行數(shù)值計算，采用2.1中模型，但邊界條件和約束條件以及計算方法不同。

模擬圓柱殼在無限深水域中下潛深度變化通過在圓柱殼有限元模型上施加靜水壓力載荷來實現(xiàn)，這里所施加的靜水壓力載荷是沿水深方向的梯度載荷，如圖9所示。

圖9 靜水壓力載荷Fig.9 The load of hydrostatic pressure

流體模型的6個表面單元的吸聲系數(shù)MU都設置為1；在圓柱殼兩端面中心節(jié)點上施加位移約束條件從而來消除圓柱殼剛度矩陣的奇異性，該約束條件主要是為了實現(xiàn)后面的靜力計算和模態(tài)計算，而不改變結構在靜水壓力作用下的應力分布，因此不會影響計算結果；首先對耦合模型進行靜力計算，然后再進行有預應力(靜水壓力)的模態(tài)計算；表4為考慮靜水壓力影響，圓柱殼在水中不同深度時的固有頻率。

表4 考慮靜水壓力影響圓柱殼在水中不同深度時固有頻率

從表4可看出，隨著圓柱殼在水中深度的增加，固有頻率減小，與文獻[5]中結論一致，因此靜水壓力作用是減小了結構固有頻率，當圓柱殼下潛深度與其半徑的比值n達到20以上時，此時靜水壓力對固有頻率的影響不可忽略。當n達到150時，圓柱殼的(1-2)階模態(tài)與(1-3)階模態(tài)順序發(fā)生改變；當n達到500時，圓柱殼的(2-3)階模態(tài)與(2-4)階模態(tài)順序發(fā)生改變。因此靜水壓力不僅影響結構的固有頻率，而且可能改變結構的模態(tài)順序。

2.4 深水域中圓柱殼在水中深度對聲輻射影響

如圖4所示，激勵力的作用位置在點1(0，0.08，0.321)，激勵力的幅值F0=1N，激勵力的頻率范圍60～460 Hz?？紤]靜水壓力影響，分別對圓柱殼在n=5,n=100兩種潛深情況下進行聲學分析，其中n為圓柱殼潛深與其半徑的值，即n=h/R。

圖10 不同深度時激勵點1處的聲壓隨頻率的變化曲線Fig.10 The curve of acoustic pressure of exciting point in different immersion depths

圖11 不同深度時的振速均方值隨頻率的變化曲線Fig.11 The curve of velocity of mean-square value in different immersion depths

圖12 不同深度時的聲功率隨頻率的變化曲線Fig.12 The curve of acoustic power in different immersion depths

圖13 不同深度時的聲輻射效率隨頻率的變化曲線Fig.13 The curve of acoustic radiation efficiency in different immersion depths

圖10～圖13為圓柱殼在水中不同深度處的聲學特性曲線。從圖10～圖13可以得出，隨著圓柱殼在水中深度的增加，圓柱殼振動聲輻射曲線整體向低頻率偏移，說明潛深的增加使得圓柱殼固有頻率降低；隨著圓柱殼下潛深度增加，激勵點處的輻射聲壓增大，圓柱殼表面法向振速均方值和輻射聲功率增大，但由于輻射聲功率的增大比例要小于振速均方值的比例，所以輻射效率有所降低。因此對水下結構進行振動聲輻射分析時應考慮潛深(靜水壓力)的影響。

3 結 語

1)在淺水域中不計靜水壓力作用，自由液面使得圓柱殼固有頻率增大，當圓柱殼下潛深度與其半徑的比值n>4時，圓柱殼的固有頻率不變；剛體邊界使得圓柱殼的固有頻率減小，隨著圓柱殼在水中距離水底的高度的增加，固有頻率逐漸增大并趨于穩(wěn)定。當圓柱殼越接近水底時，固有頻率變化越明顯，并且模態(tài)的順序可能會發(fā)生改變。自由液面和剛體邊界對圓柱殼振動聲輻射的影響比較復雜，不同頻率段模態(tài)處的聲輻射變化規(guī)律不同。

2)在深水域中考慮靜水壓力作用，圓柱殼的固有頻率隨潛深的增加而減小，當圓柱殼的潛深與其半徑的比值n>150時，模態(tài)的順序可能發(fā)生改變；隨著圓柱殼在水中深度的增加，表面法向振速均方值、輻射聲功率和激勵點處的聲壓增大，但輻射效率有所降低。

綜上所述，在對水下結構進行振動聲輻射特性分析時，應考慮自由液面、剛體邊界和靜水壓力的

影響，當圓柱殼在水中深度與其半徑的比值達到20以上時，靜水壓力對振動聲輻射特性的影響不可忽略。

[1] 鄒元杰，趙德有，黎勝.自由液面和剛性壁面對結構振動聲輻射的影響[J].聲學學報，2005,30(1)：89-96.

ZOU Yuan-jie,ZHAO De-you,LI Sheng.Impact of soft and hard plane on structural vibration and acoustic radiation[J].Acta Acustica,2005,30(1)：89-96.

[2] 紀剛，張緯康，周其斗.靜水壓力作用的水下結構振動及聲輻射[J].中國造船，2006,47(3)：37-44.

JI Gang,ZHANG Wei-kang,ZHOU Qi-dou.Vibration and radiation from underwater structure considering the effect of static water preload[J].Shipbuilding of China,2006,47(3)：37-43.

[3] 王宗利，金占禮，林啟榮，等.潛水深度對結構自振特性影響的數(shù)值分析[J].機械強度，2001,23(3)：344-346.

WANG Zong-li,JIN Zhan-li,LIN Qi-rong,et al.Numerical analysis of the influences of water depth on the vibration characteristics of submarine structures[J].Journal of Mechanical Strength,2001, 23(3)：344-346.

[4] ERGIN A，PRICE W G，RANDALL R，et al.Dynamic characteristics of a submerged，flexible cylinder vibration in finite water depths[J].Journal of Ship Research，1992,36(2)：154-167.

[5] RODRIGUEZ C G，F(xiàn)LORES P，PIERART F G，et al.Capability of structural-acoustic FSI numerical model to predict natural frequencies of submerged structures with nearby rigid surfaces[J].Computers & Fluid，2012,64：117-126.

[6] 于國友，姬廣令，劉志良.海底管線附加水質量計算方法的研究[J].中國海洋平臺，2007,22(2)：14-17.

YU Guo-you,JI Guang-ling,LIU Zhi-liang.Researches on added mass for underwater pipeline[J].China Offshore Platform,2007,22(2)：14-17.