趙 鈺，詹建明，曾云川

(寧波大學機械工程與力學學院，浙江寧波315211)

0 引言

氣囊袋體材料一般采用高彈性的尼龍或橡膠等材料，在其內(nèi)部充入低壓氣體后，整體會與工件曲面保持良好的面接觸。另外，氣囊體的彈性系數(shù)基本不受變形量的影響，氣囊與工件曲面之間的接觸，不會出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，有利于減少研拋劃痕。與傳統(tǒng)的拋光工具相比，氣囊可以更靈活地擬合曲面工件的形狀［1-3］。根據(jù)現(xiàn)在已有的大多數(shù)的研究結(jié)果可知，當氣囊壓在曲面上時，在接觸區(qū)的每一個點的接觸應力大小是相同的。因此，充滿壓縮氣體的柔軟氣囊是目前為止最好的一種曲面拋光工具之一［4-6］。

氣囊拋光加工時，研拋工具能夠良好地適應工件曲面形貌的變化、并與工件保持面接觸，具有比單點接觸拋光加工更高的加工效率。氣囊拋光具有加工區(qū)域可控且穩(wěn)定、待磨工件和氣囊吻合度高、加工后紋理細膩等優(yōu)點。待磨工件通過氣囊拋光能獲得超光滑、超精密光學表面。上世紀90年代，倫敦大學最先發(fā)表了關(guān)于氣囊拋光的相關(guān)文獻，從理論和實驗兩方面進行了敘述說明［7］，為氣囊拋光打下了堅實的基礎。從原理上看，該方法特別適用于拋光非球面和自由曲面的光學零件，屬于一種既實用又經(jīng)濟的確定量拋光技術(shù)，很有希望成為未來光學加工的主要方法之一［8］。但是，由于氣囊拋光研究剛起步，對其拋光過程和機理的分析不夠透徹，還未能在實際生產(chǎn)得到大范圍普及。

使用軟質(zhì)研拋頭拋光曲面時，研拋頭為了適應曲面表面而使得自身形狀發(fā)生改變，其接觸邊界復雜多變。且接觸區(qū)域的邊界確定對拋光的軌跡規(guī)劃、最終的拋光效果等都有著的直接的影響［9-12］。目前都使用有限元軟件來對接觸邊界仿真，但是有限元仿真過程復雜繁瑣。

本研究提出一種非球面表面接觸面積的幾何算法來求解真正的接觸邊界，通過有限元軟件仿真分析來驗證幾何算法的合理性，該方法對簡化接觸面積的求解問題有著重要的意義。

1 接觸邊界和接觸面積的幾何算法

1.1 基本假設與坐標系的建立

研拋過程中，研拋頭選為球形氣囊，非球面工件選為橢球面，(X，Y，Z)是數(shù)控機床上的以工件橢球面中心O 為原點的整體坐標系，在xoz 平面內(nèi)，氣囊拋光工件的幾何模型簡圖如圖1所示。

圖1 球形氣囊拋光橢球工件幾何模型簡圖

非球面工件繞Z 軸旋轉(zhuǎn)，球形氣囊研拋頭與非球面工件接觸于點P(x0，0，z0)，在壓力作用下形成接觸面S。由于實際的研拋過程十分復雜，非線性因素很多，為了更好地體現(xiàn)研拋過程中的主要特點，本研究假設研拋時球形氣囊內(nèi)部壓強較大，壓縮量較小，氣囊壓縮變形對氣囊整體形狀影響不大。所以研拋過程中視氣囊為半徑為R 的球。

1.2 數(shù)學模型的建立和幾何算法

在圖1 中，假設球形氣囊的中心位于點O1(x1，0，z1)，工件表面P 點的切線L 與坐標軸x 的夾角為θ，氣囊壓縮量為h，則:

所以球形氣囊的方程為:

從式(1)可以看出，O1(x1，0，z1)由氣囊壓縮量為h 決定。

假設a、b 分別為橢球母線長半軸長度與短半軸長度，工件的曲面方程為:

所以:

式中:x0，z0—點P(x0，0，z0)的坐標值。

從而圖1 中的切線L 的方程可以定義為:

假設球形氣囊與橢球工件的接觸邊界為L1，接觸面S 在L 平面上的投影為A，投影面A 的邊界為L2，則在圖1 中，沿Z 軸負方向看，所形成的俯視圖如圖2所示。

圖2 球形氣囊拋光橢球工件俯視圖

由式(2，3)可得接觸邊界L1的方程為:

其中x1和z1如式(1)所示，由氣囊壓縮量為h 決定，所以接觸面邊界L1隨h 的變化而變化。

當接觸面邊界L1上的點(xL1，yL1，zL1)投影到A 平面，則各點投影線為:

把點(xL1，yL1，zL1)在A 上的投影定義為(xL2，yL2，zL2)，其就是投影面A 的邊界L2。所以L2的方程為:

其中(xL2，yL2，zL2)由(xL1，yL1，zL1)決定，(xL1，yL1，zL1)又由(x1，0，z1)決定。又由式(1)可知，(x1，0，z1)隨著h 而變化，所以L1和L2也隨h 而變化。

假設(xA，zA)是投影面A 內(nèi)的某一點，則投影面積A 為:

1.3 數(shù)值方法分析

利用離散點的數(shù)值方法對不同研拋位置P 的接觸面的分析如圖3所示，h 取1.152 mm。從邊緣點的坐標值可以得出x0值越小，接觸面積投影邊界越接近于圓形，面積越小;從點的疏密程度可以看出x0值越大，接觸面積越大，投影面在x 方向壓縮量更大。這主要是因為x0值越小，工件橢球母線曲率變化更為平滑，在投影平面內(nèi)對稱性更好。

圖3 不同位置的接觸面投影形貌

2 仿真分析

本研究采用ABAQUS 和ADAMS 聯(lián)合仿真。ABAQUS 主要應用非線性動態(tài)應力接觸分析模塊。ADAMS 主要完成運動學的仿真，保存每步的結(jié)果，再將運動學的結(jié)果導入ABAQUS 中，利用ABAQUS 非線性計算功能完成研拋過程的接觸分析。

本研究首先在Pro/E 里進行初始的建模，將Pro/E模型保存為帶坐標系的實體。該坐標系原點為球形氣囊的球心，Y 方向為接觸點法向方向，保存格式轉(zhuǎn)為Parasolid 格式。模型導入ADAMS 中，由于ADAMS 中只完成對運動學的仿真，需要保持球形氣囊和橢球面工件的緊密接觸，所以本研究對球形氣囊和工件設立接觸部位的點線接觸，設定移動軌跡約束，對球形氣囊施加點驅(qū)動，并通過賦值樣條曲線作為驅(qū)動值，工件設定與地面全約束。這樣通過控制仿真時間，可以得到工件在橢球面母線上的任意位置的運動情形。

筆者將ADAMS 軟件的每步結(jié)果輸出，轉(zhuǎn)成Parasolid 格式，并導入ABAQUS 中，通過在Hypermesh 中手動切分幾何模型體，獲得較好的六面體網(wǎng)格劃分結(jié)果，ABAQUS 網(wǎng)格劃分如圖4(a)所示。筆者對劃分好的網(wǎng)格模型進行材料參數(shù)設置，接觸主面和接觸從面的設置，對工件下表面進行全約束，對球形氣囊內(nèi)表面施加大小為0.03 MPa 的壓力，對球形氣囊內(nèi)表面上半部施加20 N的力載荷F，ABAQUS 載荷仿真模型如圖4(b)所示。

圖4 ABAQUS 建模

通仿真得出的部分結(jié)果如圖5所示。

在圖5 中，部分折皺的效果主要是由網(wǎng)格的劃分和變形所引起，是視覺效果。圖中灰色部分是接觸區(qū)的邊緣，淺灰色區(qū)域?qū)儆诜墙佑|區(qū)，黑色部分為接觸區(qū)最大壓力區(qū)域。通過網(wǎng)格數(shù)的變化和顏色-數(shù)值圖標可以看出，隨著x0值的變大，接觸面積變大。對比圖5(a)、5(e)可得，最大壓力區(qū)域在整個接觸區(qū)的位置發(fā)生偏移，形狀逐漸變得不規(guī)則，這主要因為非球面隨著x0值變大，母線曲率變化增大，接觸區(qū)形貌更不規(guī)則。

對比圖3，從仿真的結(jié)果可以看出:參數(shù)模型計算結(jié)果和三維實體接觸軟件模擬計算結(jié)果接近。

本研究將整個橢球工件母線分為50 個點，并用ABAQUS 進行了分析，記錄每點的仿真接觸面積，同計算出的接觸面積做對比，仿真計算和理論計算對比結(jié)果如圖6所示。從圖6 中可以看出仿真結(jié)果和計算結(jié)果變化趨勢相同，兩者差異在4%以內(nèi)。

圖5 ABAQUS 仿真計算

圖6 仿真計算和理論計算對比

3 結(jié)束語

氣囊拋光工具與傳統(tǒng)拋光工具相比，它們不僅能夠靈活地擬合曲面工件的形狀，而且在接觸區(qū)域上具有均勻的接觸壓力。本研究根據(jù)研拋工具系統(tǒng)工作原理，在一定假設下，分析了氣囊拋光過程中研拋頭和待磨工件的接觸邊界。研究中提出的非球面表面接觸面積的幾何算法，通過有限元軟件的仿真驗證，將計算結(jié)果和仿真結(jié)果進行了比較，得出幾何算法解得的結(jié)果和仿真結(jié)果變化趨勢相同，且誤差范圍很小。

該算法很好地解決了接觸邊界難以確定的問題，所以在氣囊拋光工藝中可以用幾何算法求解接觸面積。

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