宋小川，王家軍

(杭州電子科技大學 自動化學院，浙江 杭州 310018)

0 引言

隨著現(xiàn)代電力電子技術的發(fā)展和微處理器的不斷更新?lián)Q代，電動機控制技術也有了顯著提高，繼傳統(tǒng)交、直流調(diào)速系統(tǒng)之后出現(xiàn)了新一代的開關磁阻電動機(SRM)調(diào)速系統(tǒng)。開關磁阻電動機具有結構簡單、成本低廉、容錯性高、調(diào)速范圍寬以及控制靈活等諸多優(yōu)良特性［1-4］，近年來已被廣泛應用于各種驅動與調(diào)速系統(tǒng)領域。然而開關磁阻電動機高度的非線性性、特殊的雙凸極結構以及通常工作于磁飽和狀態(tài)等特點使得其運行特性難以被解析方程精確地描述［5-6］，因此，傳統(tǒng)電動機的分析、建模方法難以應用到開關磁阻電動機的研究之中，尤其是體現(xiàn)開關磁阻電動機多變量耦合關系的磁鏈特性的獲取相當困難。由于開關磁阻電動機磁鏈的變化不僅依賴于電流，同時還隨著轉子位置發(fā)生變化，難以得到磁鏈-電流-位置角之間的解析關系，這是開關磁阻電動機數(shù)學建模過程中較為突出的難點問題。

開關磁阻電動機磁鏈特性的獲取有多種方法，較為常用的有:有限元分析法［7］、解析法［8］和實驗測量法。雖然有限元分析法的結果精度較高，但需要測量精確的電動機元件的幾何尺寸和詳細的電動機基本參數(shù)，且計算量大，對于給定的電動機并不適用;解析法是先對一些特殊位置的磁鏈特性及相關參數(shù)進行測量，然后通過數(shù)學分析方法估算出完整的磁鏈特性，此方法雖能夠反映磁化規(guī)律，但并非電動機實際的磁鏈特性，更適用于仿真研究;實驗測量法既能夠準確地測量出電動機的實際磁鏈特性，實現(xiàn)過程也較為簡便，也沒有繁瑣的分析計算，因此，實驗測量是一種較為理想的磁鏈特性獲取方法。

基于實驗法，本研究對一臺四相8/6 極開關磁阻電動機的磁鏈特性進行測量，得到樣機的磁鏈模型，給出實驗方法和步驟，并和分析法所建立的模型進行對比，以驗證本研究的建模方法的正確性和有效性。

1 開關磁阻電動機的數(shù)學模型

開關磁阻電動機作為一種典型的機電一體化裝置，具有基本的電磁特性和機械特性，并可列寫描述這些特性的電路方程、機械方程和機電聯(lián)系方程。其電磁特性可由電壓平衡方程描述，即:

式中:Ψ(θ，i)—電動機任意相的磁鏈;v(t)，i(t)，R—該相繞組的電壓，電流和電阻值;θ—該相所對應的轉子位置角。

開關磁阻電動機的機械特性可由其機械運動方程描述，即:

式中:ω—轉子角速度;T(θ，i)，TL—開關磁阻電動機的電磁轉矩和負載轉矩;J，B—系統(tǒng)的轉動慣量和摩擦系數(shù);即:

與在N、S 磁場中受力而產(chǎn)生轉矩的傳統(tǒng)電動機不同，開關磁阻電動機的轉子是沿著使磁路的磁阻最小的方向，由非對齊位置向對其位置轉動。其電磁轉矩T(θ，i)為磁共能的非線性函數(shù)，隨著不同位置處磁共能的變化而變化，即:

式中:W'(θ，i)—電動機的磁共能，由各位置磁鏈對電流的積分得到，即:

從文化上講，幼發(fā)拉底河和底格里斯河是美索不達米亞文化，后來的希伯來文化、阿拉伯文化的起源地，也是世界四大文明的發(fā)祥地之一。猶太人創(chuàng)立了猶太教，滅國以后，猶太人被擄到埃及，說是從摩西帶領以色列人出埃及時開始撰寫《摩西五經(jīng)》，其實是猶太人被擄到巴比倫以后才開始寫作《摩西五經(jīng)》。猶太教義被傳播，才有了基督教。如果承認西方文明的兩“?！?希伯來、希臘)起源的話，更應該尊重“巴比倫”的稱謂，不是連伯特曼也承認巴比倫的《漢謨拉比法典》是世界上第一部法典嗎？

顯然，方程(4，5)的解需要得到磁鏈Ψ、電流i和位置角θ 三者之間關系，即磁鏈特性Ψ(θ，i)。因此，開關磁阻電動機數(shù)學建模的關鍵在于獲取磁鏈特性Ψ(θ，i)以求得各系統(tǒng)變量之間的關系。由式(1～5)可以得到開關磁阻電動機各系統(tǒng)變量之間的關系，如圖1 所示。

圖1 開關磁阻電動機模型結構

2 開關磁阻電動機磁鏈特性的測量

2.1 實驗基本原理及電路

電動機的磁鏈特性若采用直接測量的方法需要昂貴的磁鏈傳感器和復雜的安裝調(diào)校過程，因此通常采用間接法。對式(1)變形可知，開關磁阻電動機的磁鏈可由繞組的電感壓降對時間的積分得到，即:

由此可見，磁鏈特性可通過先測量電動機繞組電壓v(t)和電流i(t)再進行積分計算間接獲取。間接測量法又可分為交流法、交/直流法和直流法。交流法使用交流電源供電，在測量過程中需要給電動機繞組安裝探測線圈，且測得磁鏈和電流均小于實際值，實驗的可行性和結果并不理想。交/直流法將先使用整流濾波電路將交流電轉化為直流電再進行實驗，但交流電源的諧波分量仍然會影響實驗結果，并造成不可忽略的誤差。直流法使用直流電源直接供電，即無需加設探測線圈也可避免交流電源的諧波問題，與此同時，繞組中通入直流脈沖電壓比交流正弦電壓更接近于開關磁阻電動機的實際供電模式。因此，本研究采用一種簡單便捷的直流方法。

假定開關磁阻電動機的各相繞組完全相同且相互獨立，則只需對其中的任意一相進行測量。由于磁鏈Ψ(θ，i)是相電流i和轉子位置角θ 的二元函數(shù)，需要對一個周期內(nèi)各位置的磁化特性Ψ－i 分別進行測量。電動機轉子將會被固定在某一特殊位置，通常從對齊位置或非對齊位置開始，并向電動機繞組供以直流脈沖電壓，記錄下整個過程繞組的電壓v(t)和電流i(t)的變化，將數(shù)據(jù)導入計算機，再結合已知的繞組阻值R，由式(6)進行積分計算便可得到該位置的磁化特性Ψ－i。此時筆者將電動機轉子向下一個位置轉動一個角度再次進行上述實驗過程，以此類推直到測完一個周期的磁化特性Ψ(θ，i)。

實驗電路原理圖及實物圖如圖2 所示。L和R2為待測電動機任意一相繞組的等效電路，分別代表相電感和相電阻。繞組經(jīng)過功率開關元件IGBT 連接電源VCC。為了避免交流電源的諧波和電路中的RLC 振蕩所引起的誤差，本研究采用一種精密可調(diào)直流穩(wěn)壓電源供電，結合穩(wěn)壓電容C1，具有比需進行整流濾波的交流電源更好的穩(wěn)壓能力。本研究使用數(shù)字示波器測量并記錄繞組電壓v(t)，以及測試電阻R1的電壓以間接計算電流i(t)，并將實驗數(shù)據(jù)輸入計算機進行數(shù)值計算。續(xù)流二極管的作用是在IGBT 關斷時為所測繞組提供釋放能量的通道。IGBT 的通斷由信號發(fā)生器來控制。

圖2 實驗電路原理圖及實物圖

2.2 實驗的基本步驟

本研究的實驗對象為一臺四相8/6 極開關磁阻電動機，被測樣機基本參數(shù)如表1 所示。該實驗將對電動機從對齊位置(30°)到非對齊位置(0°)之間各位置的磁化特性進行測量。測量時，電動機轉子被分度卡盤固定在特定位置，并供給18 V 的直流脈沖電壓。由于相繞組阻值很小(1.8 Ω)，且轉子堵轉無感應電動勢，為了避免瞬間電流過高而燒壞繞組，功率開關元件的工作周期不宜過長，且導通時間應比關斷時間小得多。與此同時，還應保證電流能夠達到飽和，經(jīng)過調(diào)試，將信號發(fā)生器輸出的IGBT 觸發(fā)信號頻率設置為1 Hz，占空比設置為10%可滿足實驗要求。為了準確地找到實驗初始對齊位置(30°)，本研究可對繞組供電并讓轉子自由轉動，轉子會最終停止在對齊位置。當測完對齊位置的數(shù)據(jù)，筆者將轉子轉動3°進行下一個位置的測量，以此重復，直到測完非對齊位置(0°)為止。至此，筆者將數(shù)據(jù)輸入計算機進行積分運算便可得到半個周期的磁鏈特性。由于開關磁阻電動機對齊位置兩側的磁鏈特性是對稱的，只需對半個周期的磁鏈特性進行測量。

表1 被測樣機基本參數(shù)

3 實驗結果與分析

本研究以3°為步距角進行了測量實驗，得到0°，3°，6°，…，30°，共11個位置的實驗數(shù)據(jù)。部分位置的繞組電壓、電流波形如圖3 所示。圖象上方為繞組電壓波形(10 V/格)，下方為描述繞組電流的測量電阻的電壓波形(1 V/格)，示波器采樣周期為1 ms。從圖3 中可以看出，由于電動機繞組為感性負載，電流需要一定的時間達到穩(wěn)態(tài)值，IGBT 關斷后電壓立即減為零，電流通過續(xù)流二極管釋放。越接近對齊位置(30°)電流上升速度越慢，這是因為越接近對齊位置電路的電感越大，故時間常數(shù)越大。

式中:k—采樣點的序列;k=1，2，3，…，Ts—采樣周期，該實驗中為1 ms。

圖3 不同位置的繞組電壓電流波形

圖4 未經(jīng)濾波的磁鏈特性

由于開關磁阻電動機轉子無永磁體，因此磁鏈的初始值Ψ(0)=0。未經(jīng)濾波的磁鏈特性如圖4 所示。若將原始數(shù)據(jù)直接進行積分運算，計算相對繁瑣，所得到的磁鏈特性曲線會因為測量誤差以及噪聲等因素的干擾而存在較大的波動。因此，為了簡化計算以及對原始實驗數(shù)據(jù)進行濾波，本研究將使用Simpson 1/3 法則進行積分運算［9-10］，可將式(7)轉化為:

式中:k=2，4，6，…;Ψ(0)=0;Ts=0.001 s。

將計算結果進行3 階多項式擬合［11-12］，可得濾波處理后半個周期內(nèi)不同位置下磁鏈特性曲線如圖5所示。

圖5 濾波處理后的磁鏈特性

從圖5 中可以看出在對齊位置和非對齊位置附近磁鏈特性曲線分布較為密集，中間位置分布較為平均。越接近對齊位置曲線彎曲程度越大，越接近非對齊位置曲線越接近直線。由此可見，開關磁阻電動機具有很強的非線性性，并且在越接近對齊位置處越顯著。這是由于轉子越靠近定子時電感值越大，當定轉子完全對齊后電感達到最大值。由開關磁阻電動機電感與磁鏈的關系，可得到:

即得到電動機在不同電流值下的電感曲線，如圖6 所示。可見在同一位置下，電感值越大電流越小，且越接近對齊位置電感對電流的影響越大。

圖6 不同電流對應的電感曲線

最后，本研究將用文獻［13］中提出的解析法建立磁鏈模型，與本研究建立的模型進行對比。文獻［13］提出的方法首先需要確定非對齊位置和對齊位置的磁化特性的解析式Ψq和Ψd，再基于這兩個特殊位置的磁化特性用非線性方程計算其余各位置的磁化特性。非對齊位置磁鏈與電流呈線性關系，即:

式中:Lq—非對齊位置電感。

對齊位置磁化特性由非線性方程描述，即:

式中:Ldsat—對齊位置飽和電感;A，B—常數(shù)，可由下式確定，即:

式中:Ld—對齊位置不飽和電感;Im、Ψm—最大電流及最大電流對應的最大磁鏈。

對齊位置和非對齊位置之間各角度處磁鏈與電流關系可由非線性函數(shù)Ψ(θ，i)確定，即:

式中:Nr為轉子極數(shù)。

因此，本研究得到電動機Lq、Ld、Ldsat、Im、Ψm5個參數(shù)，便可由上式(14、15)得到磁鏈與電流和位置角之間的關系?；谠搶嶒炈鶞y量數(shù)據(jù)，本研究可確定樣機對應參數(shù)分別為Lq=0.003 H、Ld=0.092 H、Ldsat=1.79 mH、Im=6.5 A、Ψm=0.25 Wb，由此可計算得到電動機不同位置的磁鏈特性曲線如圖7 所示。經(jīng)過對比可以看出兩種方法所建磁鏈模型較為吻合，磁化規(guī)律基本一致，解析法所得結果略低于實驗法所得實際值，進一步驗證了本研究使用方法的正確性和有效性。

圖7 解析法所得磁鏈模型

4 結束語

本研究提出了一種基于實驗測量的開關磁阻電動機磁鏈建模方法，詳細介紹了實驗原理和步驟以及實驗數(shù)據(jù)處理方法，并對一臺四相8/6 極開關磁阻電動機進行了實驗，獲取了樣機的磁鏈模型，同時與采用解析的方法建立的樣機的磁鏈模型進行了對比。

實驗結果表明，本研究提出的方法易于實現(xiàn)、成本低，所建模型具有較高的精度，準確地獲取磁鏈特性對于下一步開關磁阻電動機的分析、仿真以及控制策略的研究具有重要意義。

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