柳劍鵬，陶志鵬，陶向陽(yáng)

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院，江西南昌330022)

0 引言

獲得能散度較低、能量較高的電子束，一直是激光等離子體領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn).經(jīng)過多年的理論與實(shí)驗(yàn)研究，相關(guān)領(lǐng)域科學(xué)工作者們已經(jīng)取得了較大的進(jìn)步.2002年V.Malka等在實(shí)驗(yàn)中得到了能量高達(dá)200 MeV的準(zhǔn)直高能電子束［1］，但能散較高;同年，A.Pukhov等通過PIC方法發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，可通過尾波場(chǎng)加速獲得滿足實(shí)際所需的高質(zhì)量電子束［2］;2004年，英美等國(guó)科學(xué)家實(shí)驗(yàn)上獲得了能散度為2%～24%，能量在80～170 MeV之間的電子束［3－4］.強(qiáng)激光在等離子體中的穩(wěn)定傳播有著廣泛的應(yīng)用，如激光核聚變［5－6］，激光等離子體加速器［7－8］，高次諧波的產(chǎn)生［9－10］等.由于衍射效應(yīng)，激光在等離子體中傳播一個(gè)瑞利長(zhǎng)度后就會(huì)發(fā)散，而在許多應(yīng)用中要求激光在等離子體中傳播幾個(gè)甚至幾十個(gè)瑞利長(zhǎng)度.研究發(fā)現(xiàn)通過控制注入電子的相位，使其匹配激光傳播，可以獲得穩(wěn)定的高能電子束，部分離化的等離子體也會(huì)影響激光的穩(wěn)定傳播，如P.Sprangle等［11］指出部分離化等離子中存在的離子和原子的相互作用對(duì)3階相位的匹配很重要，而且部分離化等離子體中束縛電子作用會(huì)產(chǎn)生等離子體電子密度調(diào)制不穩(wěn)定性［12］.

最近有研究表明，激光作用于等離子體中的自相位調(diào)制是產(chǎn)生激光自聚焦效應(yīng)的原因之一［13－15］，而且激光作用于等離子體中的頻率變化也與自相位調(diào)制(self－phasemodulation，SPM)密切相關(guān)［16－22］.基于這些研究，本文從激光在部分離化等離子體中傳播方程出發(fā)，考慮了群速度色散(group velocity dispersion，GVD)、相對(duì)論SPM及非線性極化SPM的影響，推導(dǎo)出部分離化等離子體中激光焦斑半徑和脈沖長(zhǎng)度的演化方程，經(jīng)過數(shù)值解析求解，分析了GVD和SPM對(duì)激光作用強(qiáng)弱的影響因素.

1 激光焦斑半徑和脈沖寬度演化方程組

在部分離化等離子體中，取激光脈沖歸一化矢勢(shì)為

其中，假定激光脈沖是沿著z方向傳播線偏振激光，k，w分別是激光的波數(shù)和頻率歸一化矢勢(shì) a=eA/mc2，取A為激光場(chǎng)矢勢(shì)，e為單位電荷量，m為靜止?fàn)顟B(tài)下電子質(zhì)量，c為光速.

將等離子體極化強(qiáng)度矢量P及電流密度矢量J代入部分離化等離子體的波動(dòng)方程，可得在庫(kù)侖規(guī)范?·a=0下，激光脈沖在部分離化等離子體中傳播方程為［18－22］

其中，取r0＞L0＞λp，此時(shí)慢等離子體擾動(dòng)被忽略，L0為起始脈沖寬度，λp為等離子體波長(zhǎng);kp=ωp/c為等離子體波數(shù)，wp為電磁場(chǎng)中等離子體振蕩頻率，R=Pa/Pp=8πχ(3)(mc/e)2ω4/ω2p為非線性極化強(qiáng)度，χ(3)為第3階極化率，Pp為等離子體中的相對(duì)論激光臨界功率，Pa為氣體中非線性聚焦臨界功率.(2)式為激光場(chǎng)的波動(dòng)方程，右邊第1項(xiàng)為真空衍射項(xiàng)和相對(duì)論非線性，而第2項(xiàng)為部分離化非線性效應(yīng).

取運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(z，ξ=z－βgct)，其中 βg=vg/c為標(biāo)準(zhǔn)化的脈沖群速度，代入色散關(guān)系ω2/c2－k2－kp+4πω2χ(1)/c2=0，a(r，z，ζ)為激光的緩變包絡(luò)復(fù)振幅，則(2)式可變換為

方程(3)可采用變分法來求解，其Lagrangian密度為［18］

為了求解方程(3)式，取激光的徑向分布與軸向分布都為高斯型，則緩變復(fù)振幅a(r，z，ζ)的試探函數(shù)可設(shè)為

其中as(z)，θ(z)，α(z)，rs(z)，β(z)和L(z)分別為激光振幅，傳播相移，波面曲率，焦斑半徑，啁啾系數(shù)和脈沖寬度.將(5)式代入(4)式并通過可以推導(dǎo)出約化的Lagrangian密度，分別對(duì)β(z)，rs(z)，L(z)變分可以得［18］

(6)式給出了啁啾系數(shù)β與脈寬L的關(guān)系方程;(7)式給出了焦斑半徑在激光脈沖作用于部分離化等離子體中的演化方程;右邊第1項(xiàng)為真空衍射，右邊第2項(xiàng)為相對(duì)論作用，右邊第3項(xiàng)為粒子自聚焦效應(yīng);(8)式給出了脈沖寬度在激光脈沖作用于部分離化等離子體中的演化方程;右邊第1項(xiàng)為GVD，右邊第2項(xiàng)為相對(duì)論效應(yīng)SPM，右邊第3項(xiàng)為非線性極化SPM.

激光的脈沖在部分離化等離子體中傳播時(shí)的頻率變化可由合相位φ給出:

由(9)式可知，當(dāng)β＞0時(shí)，激光脈沖為正向啁啾的，其頻率在整個(gè)傳播過程中是增長(zhǎng)的;當(dāng)β＜0時(shí)，激光脈沖為負(fù)向啁啾的，而頻率在整個(gè)傳播過程中是減小的;將(6)式代入(9)式可知頻率的啁啾函數(shù)是與傳播距離z與激光脈沖寬度L有關(guān):

而又根據(jù)(8)式可知脈沖寬度L的變化是與GVD與SPM有關(guān)，所以群速度色散與自相位調(diào)制也對(duì)δω即頻率的啁啾也有影響.

2 數(shù)值結(jié)果與討論

現(xiàn)在可以通過微分方程(7)～(8)的解來描述強(qiáng)激光脈沖在部分離化等離子體中的傳播特性，但由于該方程的高度非線性，求其解析解較為困難，可以通過4階Runge－Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解.定義初始條件為和，激光和等離子體初始參數(shù)為:a0=0.04，r0=40 μm，L0=10 μm，R=100，其中a0為初始時(shí)激光強(qiáng)度，r0為初始時(shí)激光焦斑半徑，L0為初始時(shí)激光脈沖寬度，R為初始時(shí)等離子體非線性極化強(qiáng)度(電離程度).在等離子體密度一定時(shí)，圖1給出了GVD與SPM單獨(dú)作用下，激光歸一化焦斑半徑rs/r0隨歸一化傳播距離z/ZR的變化的演化關(guān)系，其中z/ZR為瑞利長(zhǎng)度.從圖1中可知，在部分離化等離子中，GVD使激光脈沖衍射發(fā)散，SPM使激光脈沖產(chǎn)生自聚焦;如圖2所示，當(dāng)?shù)入x子體密度變化時(shí)，給出了不同等離子體密度下，rs/r0和L/L0隨z/ZR變化規(guī)律.由方程(7)～(8)可知rs及L的變化與GVD和SPM密切相關(guān)，其中包括相對(duì)論SPM及非線性極化SPM.當(dāng)n0=0.005nc(nc為等離子體臨界密度)時(shí)，SPM對(duì)激光脈沖作用小于GVD對(duì)激光脈沖作用，激光脈沖表現(xiàn)為衍射發(fā)散;當(dāng)n0=0.01時(shí)，隨著等離子體密度增大，SPM對(duì)激光脈沖作用增強(qiáng)，SPM對(duì)激光脈沖作用大于GVD對(duì)激光脈沖作用，激光脈沖表現(xiàn)為自聚焦效應(yīng).隨著等離子體密度的增大，激光脈沖在部分離化等離子中傳播的焦斑半徑及脈沖寬度的自聚焦效應(yīng)得到了有效的增強(qiáng)，而且隨著等離子體密度的增大，激光自聚焦愈明顯.

圖1 等離子體密度一定，GVD與SPM單獨(dú)作用下，激光歸一化焦斑半徑(rs/r0)隨歸一化傳播距離(z/ZR)的變化規(guī)律

圖2 在不同等離子體密度下，激光歸一化焦斑半徑(rs/r0)及歸一化脈沖寬度(L/L0)隨歸一化傳播距離(z/ZR)的變化規(guī)律

由(10)式可以確定激光脈沖在部分離化等離子體中傳播頻率變化與GVD和SPM的變化有關(guān)，根據(jù)圖1結(jié)論可得圖2在不同等離子體密度下，激光脈沖歸一化頻率變化δω/ω0隨激光脈沖ζ/L的變化規(guī)律.n0=0.005nc時(shí)，激光脈沖發(fā)散，激光脈沖頻率為負(fù)向啁啾變化，δω/ω隨z/ZR增大而減小，表現(xiàn)為紅移減小現(xiàn)象;n0=0.01nc時(shí)，激光脈沖聚焦，激光脈沖頻率為正向啁啾變化，δω/ω隨z/ZR增大而增大，表現(xiàn)為藍(lán)移增大現(xiàn)象.因此，隨著等離子體密度增大，激光頻率由負(fù)向啁啾變化轉(zhuǎn)變?yōu)檎蜻鳖l率變化，而且隨著激光傳播，激光脈沖紅移減小而藍(lán)移增大，見圖3.

圖3 在不同等離子體密度下，激光脈沖歸一化頻率變化(δω/ω0)隨激光脈沖(ζ/L)的變化規(guī)律

3 結(jié)論

本文從有限長(zhǎng)激光脈沖在部分離化等離子體中傳播的激光場(chǎng)的波動(dòng)方程出發(fā)，其中考慮了GVD和SPM的影響，通過分析激光脈沖焦斑半徑和脈沖寬度滿足的耦合方程及啁啾系數(shù)與脈沖寬度的關(guān)系方程，詳細(xì)討論了等離子體密度對(duì)激光傳播特性的影響.在部分離化等離子體中，GVD作用于激光脈沖，發(fā)生衍射發(fā)散效應(yīng)，SPM作用于激光脈沖，產(chǎn)生自聚焦效應(yīng);隨著等離子體密度增大，SPM對(duì)激光脈沖作用增強(qiáng)，激光的自聚焦效應(yīng)增強(qiáng)，并當(dāng)n0=0.01時(shí)，可以明顯的觀察到激光的自聚焦效應(yīng);由(10)式可知，激光脈沖的傳播頻率變化，也與GVD和SPM有關(guān)，隨著等離子體密度增大，激光頻率由負(fù)向啁啾變化轉(zhuǎn)變?yōu)檎蜻鳖l率變化，而且隨著激光傳播，激光脈沖紅移減小而藍(lán)移增大.值得說明的是，在部分離化等離子體中，激光脈沖的變化，不僅與GVD和SPM有關(guān)，尾波場(chǎng)效應(yīng)對(duì)激光脈沖也有明顯影響［7］.故通過研究激光在部分離化等離子體中傳播特性可以進(jìn)一步理解其物理機(jī)制，為以后實(shí)驗(yàn)研究提供理論指導(dǎo).

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