何 珣，姚 俊，張 聲

（湖北省煙草公司武漢市公司物流配送中心，湖北 武漢430068）

平面連桿機構是由若干剛性構件用低副聯(lián)接而成。其運動設計方法主要是圖解法、解析法、圖譜法和模型實驗法等。隨著數(shù)值計算方法的發(fā)展和計算機的普及應用，解析法已成為各類平面連桿機構運動設計的一種有效方法。Matlab的Simulink是一種即拖即用的方框式模塊化仿真工具箱，只需編制較少的腳本文件或M文件就可實現(xiàn)復雜的動態(tài)仿真，本文以Simulink來解決連桿運動學仿真問題，可以方便地觀察到機構運動特性的變化。

1 MATLAB和SIMULINK概述

1.1 MATLAB

MATLAB是當今國際上科技領域（尤其是自動控制領域）內(nèi)最具影響力、最有活力的軟件［1－3］。它起源于矩陣運算，并已經(jīng)發(fā)展成為一種高度集成的計算機語言。它提供了強大的科學運算、靈活的程序設計流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設計、便捷的與其他程序和語言接口的功能，被廣泛應用于數(shù)值分析、數(shù)值和符號運算、工程與科學繪圖、控制系統(tǒng)的設計與仿真、數(shù)字圖像處理、數(shù)字信號處理、通信系統(tǒng)設計與仿真、財務與金融工程等領域，圖1為MATLAB界面，圖2為圖形顯示窗口。

1.2 SIMULINK

SIMULAB使得仿真軟件進入了模型化圖形組態(tài)階段，它不但支持連續(xù)與離散系統(tǒng)以及連續(xù)離散混合系統(tǒng)，也支持線性與非線性系統(tǒng)，還支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)，不同的系統(tǒng)能夠以不同的采樣頻率進行組合，從而可以對較大較復雜的系統(tǒng)進行仿真。同時SIMULINK還可以和 MATLAB、C／C＋＋等其他軟件進行數(shù)據(jù)傳遞，從而完成更為復雜的仿真工作。

圖1 MATLAB界面

圖2 圖形窗口

Simulink的每一個模塊實際上都是一個系統(tǒng)，一個典型的Simulink模塊包括輸入、狀態(tài)和輸出三個部分，在Simulink中，模塊都是用矢量來表示這三個部分的，如圖3所示。

圖3 基本模型

在三個部分中，狀態(tài)模塊是最重要的，它決定了系統(tǒng)的輸出，而它的當前值有時前一個時間模塊狀態(tài)的輸入的函數(shù)?，F(xiàn)有的狀態(tài)模塊必須保存前面的狀態(tài)值，并計算當前的狀態(tài)值。

1.3 SIMULINK的仿真過程

1.3.1 初始化階段 主要完成的工作及其步驟如下：1）對模型的參數(shù)評估，得到它們實際計算的值；2）展開模型的各個層次；3）按照更新的次序?qū)δK進行排序；4）確定哪些非顯示化的信號屬性，并檢查每個模塊是否能夠接受連接到它們輸入端的信號；5）確定所有非顯示化的信號采樣時間模塊的采樣時間；6）分配和初始化存儲空間，以便存儲每個模塊的狀態(tài)和當前值的輸出。

1.3.2 模型執(zhí)行階段 對于一般的仿真模型是通過采用數(shù)值積分來進行仿真的，計算數(shù)值積分可以采用以下兩步來進行：1）按照秩序計算每個模塊的積分；2）根據(jù)當前輸入和狀態(tài)來決定狀態(tài)的微分，得到微分矢量，然后把它返回給解法器，以計算下一個采樣點的狀態(tài)矢量。

2 機構運動分析的目的和方法

2.1 機構運動分析的目的

在機械設計或?qū)ΜF(xiàn)有機械的工作性能進行分析時，需要對機構進行運動分析。同時確定某一構件的行程或確定機殼的輪廓，為了避免各構件互相碰撞等原因，必須確定機構某些點的運動軌跡。這往往要求確定其機構構件上某些點的速度。而在確定機構構件上某些點的加速度或機器的動能和功率以及進行機構的力的分析時，也都必須先對機構進行速度分析。對于高速機械和重型機械，其構件的慣性力往往極大，必須先進行機構的加速度分析［4］。

2.2 機構運動分析的方法

研究平面運動分析的方法有圖解法、解析法和實驗法三種［5－6］。圖解法較形象，但作圖較繁瑣，精度不高，常用的方法有速度瞬心法和相對運動圖解法等；解析法則可得到較高的計算精度，但建立數(shù)學關系式時又較復雜，計算工作量也較大，隨著計算機運用的普及，解析法將得到廣泛的應用；實驗法需要專門的儀器設備。

3 基于SIMULINK工具箱的平面五桿機構運動學仿真

3.1 平面五桿機構概述

平面五桿機構作為一種最簡單的多自由度機構，在機械的創(chuàng)新設計中得到越來越多的應用。五桿機構由于具有較多的尺寸參數(shù)、不同的驅(qū)動方式及傳動比，能實現(xiàn)更為豐富的連桿曲線，目前對于五桿機構的連桿曲線規(guī)律的研究還不夠深入［7－8］。

五桿機構可以分為：雙曲柄五桿機構、曲柄搖桿連桿機構、雙搖桿連桿機構。閉鏈二自由度平面混合驅(qū)動五桿機構可實現(xiàn)復雜運動規(guī)律，是目前應用較普遍的一種機構，如平面二自由度并聯(lián)機械手和混合輸入型機電系統(tǒng)都采用二自由度平面五桿機構。要構成此五桿機構，各桿桿長之間需滿足一定的關系［9］：

1）五桿中最短兩桿長度之和小于其余三桿任一桿長，且其與最長桿長度之和小于其余兩桿長度之和，以較長的三桿中任意相鄰兩桿為連桿；

2）五桿中最短的兩桿長度之和大于（或等于）其余三桿任一桿長，最長兩桿相等且相鄰，且二者長度之和大于其余三桿長度之和，以相鄰的最長兩桿為連桿。

3.2 約束方程組的建立

每一根連桿均由一位移矢量來表示（圖4）。取左邊與固定機架相連的基礎支座為坐標原點，兩支座的連線為x軸，垂直于x軸的方向為y軸，建立直角坐標系［10－12］。

圖4 五桿機構矢量圖

取固定支架為固定桿件0，順時針一次為連桿1、連桿2、連桿3、連桿4和連桿5，長度分別為L0、L1、L2、L3、L4。規(guī)定連桿角速度為連桿與x軸正向的夾角，如圖4所示分別為θ0、θ1、θ2、θ3和θ4，其中θ0＝0°。這樣對于這一組位移矢量就可以構成一個便于正確表達和易于推導的閉環(huán)矢量方程，并且L2的矢端與L3的矢端在同一點，所以L1和L2的矢量和與L0和L3及L4的矢量和是相等的，即：

無論機構運動到何種狀態(tài)，只要能夠保證機構的幾何裝配條件，這個閉環(huán)矢量方程就一定能夠成立，由于四連桿機構具有單一的自由度，因此當任意確定機構的某一個節(jié)點轉角時，就必然同時限定了其余兩個轉角。為了將矢量方程（1）對時間求導數(shù)，首先將矢量方程分解成兩個標量表達式，一個沿著x軸方向分解，一個沿著y軸方向分解，得

將式（2）和式（3）對時間求導數(shù)得：

整理得如下矩陣方程形式

同理可求出C點位移的矩陣方程式

根據(jù)矩陣方程式（6），通過 MATLAB中SIMULINK模塊即可求出ω2和ω3，再對其積分，可求出桿件的角位移θ2和θ3；而對其求微積分，則可求出桿件的角加速度α2和α3。

3.3 編寫M文件程序

為了在Matlab／Simulink中進行運動仿真，需要先編制二個函數(shù)文件，這二個函數(shù)為Simulink仿真模型的核心模塊。其中依據(jù)式（6）編制的five＿bar函數(shù)用于計算連桿及從動桿的角速度等，相應的M文件如下：

根據(jù)式（7）編制的position＿C函數(shù)如下：

3.4 建立SIMULINK仿真模型

3.4.1 仿真模型的建立 仿真模型見圖5。

3.4.2 仿真初始條件的確定 仿真時，需先確定雙曲柄機構中各桿件的長度（L0、L1、L2、L3和L4）、初始位置（θ1、θ2、θ3和θ4）以及兩個曲柄的轉速值 （ω1和ω4）。

將函數(shù)five＿bar嵌入到 Matlab Function模塊中：在四個積分模塊中輸入初始條件，即當θ1和θ4為某一確定值時，求θ2和θ3的確切值。

可利用Auto CAD按尺寸畫出四連桿位置結構圖，調(diào)整標注精度盡量大，對θ1、θ2、θ3和θ4進行標注，再將其轉換成弧度值，然后填入積分模塊初始條件中。

3.5 仿真結果

點擊start進行仿真，將五桿機構的原動桿和從動桿的角位移θ1、θ4、θ2和θ3、角速度ω1、ω4、ω2和ω3、角加速度α2和α3分別輸入到Simout和Scope模塊中，即可得到仿真結果。

3.6 仿真實例分析

如圖4所示：分別取L0＝250mm，L1＝300 mm，L2＝300mm，L3＝400mm，L4＝450mm，θ1＝45°，θ2＝259°，θ3＝204°，θ4＝0°，ω1＝6.28 rad／s，ω4＝3.14rad／s。

曲柄1每1s旋轉1周，曲柄2每2s旋轉一周。設仿真時間為4s，使曲柄1旋轉4周，而曲柄2旋轉8周，以利于觀察仿真結果。設置Simulink中第一個常量模塊ω1的值為6.28，設置第2個常量模塊ω4的值為3.14，設置第3個常量模塊的值為180／π。

圖5 Simulink仿真模型

從Scope中可查看運動參數(shù)隨時間t變化的波形圖。從工作空間中可查看每一步長的運動數(shù)據(jù)及對應的時間。圖6、圖7、圖8分別為連桿1、2、3、4的角位移、角速度、角加速度隨時間變化的波形輸出。Scope模塊圖形輸出見圖6～圖8。

圖6 連桿的角位移

圖7 連桿的角速度

圖8 連桿的角加速度

4 結論

本文對平面連桿機構中的雙曲柄五桿機構進行了運動學仿真，根據(jù)機構的尺寸參數(shù)，借助復數(shù)矢量法建立連桿機構連桿運動參數(shù)數(shù)學模型，列出了所要分析機構角速度關系的閉環(huán)矢量方程后，用Matlab編制M文件，利用 Matlab／Simulink進行連桿機構的運動仿真，求出了機構在所計時間域內(nèi)連續(xù)運動中各個構件的瞬時位置、速度和加速度。它得到的結果精度高，修改簡單，只需修改個別參數(shù)即可對不同的平面連桿機構進行運動學分析。

SIMULINK仿真是實現(xiàn)機構優(yōu)化設計的重要方法，特別是對于復雜機構系統(tǒng)，這一方法更加顯示出其優(yōu)越性。

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