賴佳穎 張秀梅

（復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200433）

各類汞柱流出問題是高中熱學(xué)部分的難題，它需要學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合分析能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力.在不少教輔書中，往往換一道題目，就會(huì)換一種解法，且常常突出數(shù)學(xué)計(jì)算而缺少物理意義的解析，令人費(fèi)解.筆者從力學(xué)角度分析汞柱受力平衡條件結(jié)合氣體狀態(tài)分析，給出解決汞柱流出問題一種統(tǒng)一解法.

1 玻璃管倒置后汞柱流出問題

例1.一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻直玻璃管，開口向上，管內(nèi)有一段長(zhǎng)為h的汞柱封閉了一段長(zhǎng)為l的理想氣體，如圖1，當(dāng)玻璃管緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)直至其開口豎直向下，則應(yīng)分別滿足什么條件，水銀將不會(huì)、部分或者全部流出？（已知水銀的密度為ρ，外界大氣壓強(qiáng)為p0，且p0≥ρgh.）

解析：在玻璃管緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，管內(nèi)部氣體等溫膨脹，由于玻璃管的長(zhǎng)度有限，所以到管口豎直向下時(shí)，汞柱可能不會(huì)、部分或者全部流出玻璃管，具體分析如下.

圖1

圖2

假設(shè)水銀流出了一部分，留在管內(nèi)的水銀柱長(zhǎng)為x（如圖2），如果此狀態(tài)水銀柱恰好處于平衡狀態(tài)，則有部分水銀可留在管內(nèi).設(shè)內(nèi)部氣體壓強(qiáng)為p3，即p3滿足

而氣體狀態(tài)滿足

聯(lián)立（1）、（2）式解得

其中0＜x＜h，p0≥ρgh.

根據(jù)（3）式不難看出等號(hào)右側(cè)為一個(gè)隨x減小而單調(diào)遞增的函數(shù).當(dāng)x＝h時(shí)，函數(shù)最小，（p0＋ρgh）l＝（p0－ρgh）（L－h(huán)），表示此時(shí)水銀恰好沒有流出；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)最大，（p0＋ρgh）l＝p0L，表示此時(shí)汞柱恰好全部流出，所以滿足（p0－ρgh）（L－h(huán)）＜（p0＋ρgh）l＜p0L時(shí)水銀部分流出.

當(dāng)（p0＋ρgh）l≤（p0－ρgh）（L－h(huán)）時(shí)，水銀不流出；

當(dāng)（p0－ρgh）（L－h(huán)）＜（p0＋ρgh）l＜p0L時(shí)，水銀部分流出；

當(dāng)（p0＋ρgh）l≥p0L時(shí)，水銀全部流出.

圖3

2 滴入及吸出豎直管中水銀的問題

例2.豎直放置且開口向上的玻璃管中，有長(zhǎng)為h的水銀柱封住一段長(zhǎng)為l的空氣柱，水銀柱與玻璃管開口齊平（如圖3），已知水銀的密度為ρ，外界大氣壓為p0，下列變化的整個(gè)過程，氣體溫度始終保持不變.試問：

（1）若從管口向該管內(nèi)滴入水銀，則p0、h、l應(yīng)滿足什么條件才能在玻璃管口滴入水銀后不溢出？

（2）若從該管內(nèi)吸出水銀，則p0、h、l應(yīng)滿足什么條件才能在玻璃管口吸出部分水銀后管內(nèi)汞柱能全部溢出？

圖4

解析：（1）從管口向管內(nèi)滴入少量水銀，設(shè)滴入的水銀柱長(zhǎng)為x（x＞0），若此時(shí)水銀柱與管口相平，它受到的合力為0或方向豎直向下，這代表汞柱能全部留在管內(nèi)而不溢出.設(shè)此時(shí)氣體壓強(qiáng)為p1，即滿足

氣體狀態(tài)，根據(jù)氣態(tài)方程可得

（2）從管內(nèi)吸出水銀，此類問題與（1）相似，設(shè)汞柱被吸出長(zhǎng)為x后，管內(nèi)汞柱與玻璃管開口齊平時(shí)（如圖5），它受到的合力方向豎直向上，則水銀將會(huì)自動(dòng)溢出.設(shè)此狀態(tài)氣體壓強(qiáng)為p2，即滿足

氣體狀態(tài)根據(jù)氣態(tài)方程可得

由（3）、（4）式可解得

圖5

通過以上的分類討論，我們不難發(fā)現(xiàn)，利用氣體狀態(tài)方程結(jié)合汞柱平衡條件的判斷可以很好地解決各種汞柱流出問題，不僅僅對(duì)于本文中所討論的等溫變化，也同樣適用于各種升溫膨脹問題.這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于統(tǒng)一了不同問題的解題思路，還原了汞柱流出真正的物理特征，即受力不平衡，也讓學(xué)生可以更好地了解數(shù)學(xué)不等式所表達(dá)的物理意義，方便學(xué)生理解和建立解決同類問題的思路，能夠做到舉一反三.