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        從力學(xué)角度分析各類汞柱流出問題

        2014-01-08 07:09:22賴佳穎張秀梅
        物理教師 2014年7期
        關(guān)鍵詞:水銀柱管口玻璃管

        賴佳穎 張秀梅

        (復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué),上海 200433)

        各類汞柱流出問題是高中熱學(xué)部分的難題,它需要學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合分析能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力.在不少教輔書中,往往換一道題目,就會(huì)換一種解法,且常常突出數(shù)學(xué)計(jì)算而缺少物理意義的解析,令人費(fèi)解.筆者從力學(xué)角度分析汞柱受力平衡條件結(jié)合氣體狀態(tài)分析,給出解決汞柱流出問題一種統(tǒng)一解法.

        1 玻璃管倒置后汞柱流出問題

        例1.一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻直玻璃管,開口向上,管內(nèi)有一段長(zhǎng)為h的汞柱封閉了一段長(zhǎng)為l的理想氣體,如圖1,當(dāng)玻璃管緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)直至其開口豎直向下,則應(yīng)分別滿足什么條件,水銀將不會(huì)、部分或者全部流出?(已知水銀的密度為ρ,外界大氣壓強(qiáng)為p0,且p0≥ρgh.)

        解析:在玻璃管緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),管內(nèi)部氣體等溫膨脹,由于玻璃管的長(zhǎng)度有限,所以到管口豎直向下時(shí),汞柱可能不會(huì)、部分或者全部流出玻璃管,具體分析如下.

        圖1

        圖2

        假設(shè)水銀流出了一部分,留在管內(nèi)的水銀柱長(zhǎng)為x(如圖2),如果此狀態(tài)水銀柱恰好處于平衡狀態(tài),則有部分水銀可留在管內(nèi).設(shè)內(nèi)部氣體壓強(qiáng)為p3,即p3滿足

        而氣體狀態(tài)滿足

        聯(lián)立(1)、(2)式解得

        其中0<x<h,p0≥ρgh.

        根據(jù)(3)式不難看出等號(hào)右側(cè)為一個(gè)隨x減小而單調(diào)遞增的函數(shù).當(dāng)x=h時(shí),函數(shù)最小,(p0+ρgh)l=(p0-ρgh)(L-h(huán)),表示此時(shí)水銀恰好沒有流出;當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)最大,(p0+ρgh)l=p0L,表示此時(shí)汞柱恰好全部流出,所以滿足(p0-ρgh)(L-h(huán))<(p0+ρgh)l<p0L時(shí)水銀部分流出.

        當(dāng)(p0+ρgh)l≤(p0-ρgh)(L-h(huán))時(shí),水銀不流出;

        當(dāng)(p0-ρgh)(L-h(huán))<(p0+ρgh)l<p0L時(shí),水銀部分流出;

        當(dāng)(p0+ρgh)l≥p0L時(shí),水銀全部流出.

        圖3

        2 滴入及吸出豎直管中水銀的問題

        例2.豎直放置且開口向上的玻璃管中,有長(zhǎng)為h的水銀柱封住一段長(zhǎng)為l的空氣柱,水銀柱與玻璃管開口齊平(如圖3),已知水銀的密度為ρ,外界大氣壓為p0,下列變化的整個(gè)過程,氣體溫度始終保持不變.試問:

        (1)若從管口向該管內(nèi)滴入水銀,則p0、h、l應(yīng)滿足什么條件才能在玻璃管口滴入水銀后不溢出?

        (2)若從該管內(nèi)吸出水銀,則p0、h、l應(yīng)滿足什么條件才能在玻璃管口吸出部分水銀后管內(nèi)汞柱能全部溢出?

        圖4

        解析:(1)從管口向管內(nèi)滴入少量水銀,設(shè)滴入的水銀柱長(zhǎng)為x(x>0),若此時(shí)水銀柱與管口相平,它受到的合力為0或方向豎直向下,這代表汞柱能全部留在管內(nèi)而不溢出.設(shè)此時(shí)氣體壓強(qiáng)為p1,即滿足

        氣體狀態(tài),根據(jù)氣態(tài)方程可得

        (2)從管內(nèi)吸出水銀,此類問題與(1)相似,設(shè)汞柱被吸出長(zhǎng)為x后,管內(nèi)汞柱與玻璃管開口齊平時(shí)(如圖5),它受到的合力方向豎直向上,則水銀將會(huì)自動(dòng)溢出.設(shè)此狀態(tài)氣體壓強(qiáng)為p2,即滿足

        氣體狀態(tài)根據(jù)氣態(tài)方程可得

        由(3)、(4)式可解得

        圖5

        通過以上的分類討論,我們不難發(fā)現(xiàn),利用氣體狀態(tài)方程結(jié)合汞柱平衡條件的判斷可以很好地解決各種汞柱流出問題,不僅僅對(duì)于本文中所討論的等溫變化,也同樣適用于各種升溫膨脹問題.這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于統(tǒng)一了不同問題的解題思路,還原了汞柱流出真正的物理特征,即受力不平衡,也讓學(xué)生可以更好地了解數(shù)學(xué)不等式所表達(dá)的物理意義,方便學(xué)生理解和建立解決同類問題的思路,能夠做到舉一反三.

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