摘要：本文主要介紹了多面函數(shù)法、多項(xiàng)式曲面法和非均勻三次B樣條函數(shù)法的基本原理，然后分別采用這三種方法對(duì)具體小區(qū)域的高程數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，通過對(duì)高程擬合的精度進(jìn)行對(duì)比和分析，總結(jié)在小區(qū)域三種方法的應(yīng)用特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：小區(qū)域； 高程擬合；精度

0 引 言

GPS高程擬合是大地水準(zhǔn)面精化的主要內(nèi)容，是大地測量學(xué)研究的基本內(nèi)容。GPS高程擬合涉及到三類高程系統(tǒng)，分別為正高系統(tǒng)、正常高系統(tǒng)和大地高系統(tǒng)。正高是以大地準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，正常高是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，大地高是以參考橢球面為基準(zhǔn)的高程[1]。我國通常采用正常高系統(tǒng)。

顯然，由于似大地水準(zhǔn)面和參考橢球面之間復(fù)雜的位置關(guān)系，無法直接利用GPS測量高程代替水準(zhǔn)高程，必須將GPS大地高轉(zhuǎn)換成正常高。通常采用高程擬合的方法來實(shí)現(xiàn)，即在GPS網(wǎng)中同時(shí)施測少量的幾何水準(zhǔn)點(diǎn)，反求出這些已知點(diǎn)的高程異常值，然后根據(jù)平面坐標(biāo)和高程異常值，采用數(shù)學(xué)擬合的方法，構(gòu)造某種曲面代替似大地水準(zhǔn)面，解算出其他GPS點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而求出待定點(diǎn)的正常高[2]。正常高和大地高之間的差距叫做高程異常。大地高H、正常高h(yuǎn)和高程異常 之間的關(guān)系為：

（1）

本文主要結(jié)合具體的區(qū)域算例，分別采用多面函數(shù)法、多項(xiàng)式曲面法和非均勻三次B樣條函數(shù)法進(jìn)行高程擬合，總結(jié)擬合方法的應(yīng)用特點(diǎn)。

1 GPS高程擬合方法

本文主要采用如下三種GPS高程擬合方法，分別為多面函數(shù)法、多項(xiàng)式曲面法和非均勻三次B樣條函數(shù)法。

（1）多面函數(shù)法[3]

多面函數(shù)擬合法的基本思想是可以由若干簡單面（稱單值數(shù)學(xué)面）來疊加逼近任何一個(gè)規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面，用數(shù)學(xué)表達(dá)式構(gòu)造的數(shù)學(xué)表面高精度的逼近并且代替其實(shí)際表面。多面函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為：

（2）

式中 為待定參數(shù)， 為核函數(shù)。理論上講核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的，在本文中采用 作為核函數(shù)，即負(fù)雙曲面函數(shù)。

（2）多項(xiàng)式曲面法[4]

多項(xiàng)式曲面擬合的數(shù)學(xué)模型為：

（3）

式中 為i點(diǎn)的高程異常值，其坐標(biāo)為 ， （ ）模型參數(shù)。在本文中采用多項(xiàng)式三次曲面法。

（3）非均勻三次B樣條函數(shù)法

假設(shè)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的觀測值包括 （k=1，2，…， ），高程異常 是點(diǎn)位坐標(biāo) 和 的函數(shù)，所以令 ， 是點(diǎn)k的坐標(biāo)。為了描述區(qū)域的范圍，記 ， ， ， 。區(qū)域范圍RE可描述為 ，對(duì)RE可以劃分為 。

再對(duì) 擴(kuò)充成

此時(shí)可對(duì)該節(jié)點(diǎn)序列作出三次B樣條函數(shù) 和 （i=-3，-2，…，m， j=-3，-2，…，n）。那么關(guān)于分劃 的二元張量積型雙三次B樣條函數(shù)可以唯一的表示為：

（4）

這樣二元張量積函數(shù)的全體 構(gòu)成了一個(gè)線性空間[5]。那么非均勻B樣條最小二乘問題是指在空間中尋找一個(gè)最合適的 ，使得

（5）

就是求解式（5）的系數(shù) ，因此要求這里的測點(diǎn)數(shù) ，式（5）才有解[6]。

2 實(shí)例分析

該實(shí)例所在的區(qū)域位于湖南省中部，面積大約為100km2，該區(qū)域聯(lián)測了73個(gè)控制點(diǎn)，正常高和大地高都是觀測獲得的，然后可以計(jì)算出高程異常數(shù)據(jù)，分別使用多面函數(shù)法、非均勻三次B樣條函數(shù)法和多項(xiàng)式三次曲面法對(duì)高程異常數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。區(qū)域控制點(diǎn)的位置分布如圖1所示。

圖1 區(qū)域控制點(diǎn)的位置分布圖

在該區(qū)域中均勻選取其中的26個(gè)點(diǎn)作為已知的控制點(diǎn)，其余的點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，分別計(jì)算。表1表示的是三種高程擬合方法處理區(qū)域高程異常數(shù)據(jù)后的內(nèi)符合精度、外符合精度和最大殘差的比較。

表1 三種方法的擬合精度表

擬合方法內(nèi)符合精度（m）外符合精度（m）最大殘差（m）

多面函數(shù)00.0130.022

非均勻三次B樣條函數(shù)0.0040.0160.018

多項(xiàng)式三次曲面0.0060.0080.010

圖2表示的是三種方法處理后的檢核點(diǎn)位置的高程異常殘差圖。

圖2 三種方法處理后區(qū)域內(nèi)檢核點(diǎn)位置的高程異常殘差圖

綜合表1和圖2可以看出，相比較于多面函數(shù)法和非均勻三次B樣條函數(shù)這兩種方法，在該區(qū)域內(nèi)多項(xiàng)式三次曲面法擬合后高程異常的殘差較小，穩(wěn)定性更好，高程擬合的效果較好。這塊區(qū)域面積較小，地形比較平坦，控制點(diǎn)比較密集，可以看出多項(xiàng)式三次曲面擬合法擬合這類區(qū)域的高程異常已經(jīng)達(dá)到了很好的精度。

3 結(jié) 論

在面積較小、地形比較平坦的區(qū)域，控制點(diǎn)比較密集，從前面部分的算例中可以看出多項(xiàng)式曲面法更適用，選擇適合的次數(shù)，高程擬合的精度可以達(dá)到毫米級(jí)。

參考文獻(xiàn)

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[3] 李鵬，田林亞，李斌.多面函數(shù)法GPS高程擬合在橋梁建設(shè)中的應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代測繪，2005（4）20-22

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