摘要：本文主要研究方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的幾何意義及運(yùn)用，在此基礎(chǔ)上拓寬方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的應(yīng)用，以此提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。

關(guān)鍵詞：幾何意義；判定；運(yùn)用；拓寬；應(yīng)用

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）是一個(gè)二元二次方程，它所表示的幾何意義，及如何恰到好處地使用此方程，在教學(xué)中使受眾產(chǎn)生興趣，是數(shù)學(xué)教學(xué)中教與學(xué)的關(guān)鍵，為此本文將從三個(gè)方面闡述如下。

一、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）幾何意義

首先對(duì)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）特點(diǎn)進(jìn)行分析，這個(gè)方程x2，y2系數(shù)相等，是一個(gè)二元二次方程，且沒有xy項(xiàng)。給方程配方得x+D22+y+E22=D2+E2-4F4，并與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2比較，可得x2+y2+Dx+Ey+F=0在D2+E2-4F>0時(shí)，表示的幾何意義為圓，圓心坐標(biāo)為-D2，-E2，半徑為r=D2+E2-4F2。稱方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）為圓的一般方程。

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在D2+E2-4F=0時(shí)，只表示點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置是點(diǎn)-D2，-E2。

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在D2+E2-4F<0時(shí)，方程x+D22+y+E22=D2+E2-4F4，左端兩項(xiàng)平方和為負(fù)數(shù)，這樣的x，y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在。此方程不表示任何圖形。

二、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）幾何意義的判定與運(yùn)用

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）幾何意義有三種情況，如何判定它的幾何意義，基礎(chǔ)差的學(xué)生用配方方法有一定難度。如果用公式，半徑r=D2+E2-4F2，圓心坐標(biāo)-D2，-E2，這樣問題簡單了許多，但要注意方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F(xiàn)的符號(hào)。

例如，判斷方程x2+y2+4x-6y-3=0是否為圓的方程，如果是，求出圓心的坐標(biāo)和半徑。

解法1：將原方程配方x2+4x+22-22+y2-6y+32-32=0，即（x+2）2+（y-3）2=42，所以方程表示圓心為（-2，3），半徑r=4的一個(gè)圓。

解法2：與圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0相比較，可知D=4，E=-6，F(xiàn)=-3，所以D2+E2-4F=16+36+12=64>0，根據(jù)公式r=D2+E2-4F2=4，圓心坐標(biāo)為-D2，-E2=（-2，3）。這是一個(gè)配方較為容易的例子，上述兩種方法都可以。再看下面的例子。例如求方程x2+y2+56x-23y+14=0的半徑和圓心坐標(biāo)。用解法2，可得D=56，E=-23，F(xiàn)=14，D2+E2-4F=536>0，根據(jù)公式得r=D2+E2-4F2=512，圓心為-D2，-E2=-512，13，如果用第一種方法難度就大了，用解法2使復(fù)雜問題簡單化了，也提升了學(xué)生的自信，近而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。如果不表示任何圖形和點(diǎn)的情況也是用這種判定方法比較好，當(dāng)然如果數(shù)較小，也可采用配方方法。例如①x2+y2+4x-6y+15=0，②x2+y2+6x-2y-8=0，③x2+y2+2x-4y-5=0這三個(gè)方程這兩種方法都行，①②經(jīng)計(jì)算D2+E2-4F<0不表示任何圖形。③經(jīng)計(jì)算D2+E2-4F=0，表示一個(gè)點(diǎn)。即（-1，2）點(diǎn)。雖然上述三個(gè)方程我們可用配方和公式兩種求法，但是公式是越用越熟，而且也是新知識(shí)，提倡同學(xué)們用此方法。

三、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F(xiàn)均為常數(shù)）其它應(yīng)用

以上我們研究了x2+y2+Dx+Ey+F=0的幾何意義，重點(diǎn)是研究當(dāng)D2+E2-4F>0的條件下，作為圓的一般方程時(shí)的應(yīng)用；還一個(gè)應(yīng)用是圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化問題，即把標(biāo)準(zhǔn)方程化成一般方程，只需把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，將方程的兩端式子都移到左端，合并同類項(xiàng)，標(biāo)準(zhǔn)方程就變成了圓的一般方程；另外一個(gè)運(yùn)用是待定系數(shù)法求圓的一般方程，即已知圓上三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，求圓的方程；最后一個(gè)應(yīng)用就是求與圓有關(guān)點(diǎn)的軌跡。前兩個(gè)應(yīng)用前面已提過，這里就不再舉例。后兩個(gè)應(yīng)用舉例如下。

例如求過點(diǎn)A（0，5）、B（1，-2）、C（-3，-4）圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，D，E，F(xiàn)為待定系數(shù)。因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在圓上，所以它們的坐標(biāo)即為方程的解，代入得5E+F+25=0D-2E+F=-53D+4E-F-25=0 解得D=6E=-2F=-15 于是所求圓的方程為 x2+y2+6x-2y-15=0。當(dāng)然此題也可設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，解后分別求出a、b、r，這樣會(huì)麻煩得多。這是用待定系數(shù)法求圓的一般方程。

例如，已知一曲線是與定點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）的距離比是12點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程。是什么樣的曲線？

解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是曲線上的任意一點(diǎn)，所以O(shè)MAM=12，由兩點(diǎn)間的距離公式得x2+y2（x-3）2+y2=12，整理得 x2+y2+2x-3=0 ，配方得（x+1）2+y2=4，所以此曲線為圓，圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為r=2。再如已知線段AB的端點(diǎn)B（4，3），端點(diǎn)A在圓上（x+1）2+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。也用到了圓的一般方程的知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)然只要圓的一般方程的知識(shí)點(diǎn)扎實(shí)，這些應(yīng)用也不成問題，這就看老師的教和學(xué)生的學(xué)。教師教的要有重點(diǎn)，講述的要透徹，學(xué)生易于理解，即有深度還要有寬度；學(xué)生學(xué)的要有興趣，理解的要深刻，并在每種應(yīng)用上做相應(yīng)的練習(xí)，這樣才能把知識(shí)變成學(xué)生的能力，近而掌握這些知識(shí)點(diǎn)。

總之本文主要研究方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的幾何意義，及方程幾何意義的判定與運(yùn)用，在此基礎(chǔ)上拓寬方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的應(yīng)用，教學(xué)中只有老師有效利用多種方法化解難點(diǎn)，學(xué)生才能提升興趣，近而把知識(shí)變成能力。（作者單位：遼寧軌道交通職業(yè)學(xué)院）