摘要：文章介紹了中值定理，講解了典型例題，談到了題目對學(xué)生成長的影響。

關(guān)鍵詞：中值定理；典型題；構(gòu)造函數(shù)；不等式；創(chuàng)新

中值定理是微積分重要的定理。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用追根溯源都可以和中值定理發(fā)生關(guān)聯(lián)，中值定理是否掌握對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有比較大的影響。本人通過數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的各種問題分析，談?wù)勅绾螌W(xué)好微分中值定理。

一、微分中值定理及積分中值定理

微分中值定理分為以下三個定理

1.羅爾定理

如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間a，b連續(xù)

（2）在開區(qū)間 （a，b）可導(dǎo)

（3）f（a）=f（b）

則在開區(qū)間（a，b）上至少存在一個ξ使得f′（ξ）=0

2.拉格朗日定理

如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間a，b連續(xù)

（2）在開區(qū)間 （a，b）可導(dǎo)

則在開區(qū)間（a，b）上至少存在一個ξ使得f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）

3.柯西中值定理

如果函數(shù)f（x）及F（x）滿足

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)

（2）在開區(qū)間（a，b，）內(nèi)可導(dǎo)，且F（x）在（a，b）內(nèi)的每一點的導(dǎo)數(shù)處均不為零

則在（a，b）內(nèi)至少有一點ξ，使f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）

4.積分中值定理

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在a，b上至少存在一個點ξ，使得下式成立 ∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）（a≤ξ≤b）

在講解過程中要區(qū)分清楚前三個中值定理的條件關(guān)系，讓學(xué)生知道拉格朗日定理是羅爾定理的推廣，羅爾定理是拉格朗日定理的特例，如果給拉格朗日定理加上最后一個條件就可以得到羅爾定理的結(jié)論。

其次再談結(jié)論之間的區(qū)別，最后應(yīng)該從證明方面講三者間的關(guān)聯(lián)。即后兩個定理都可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理進行證明。

教學(xué)中需要提前告訴學(xué)生以后還會學(xué)到一個積分中值定理，并且在積分中值定理講完之后最好通過習(xí)題將前后中值定理聯(lián)系起來，加深學(xué)生對中值定理的理解。

二、典型習(xí)題

1.通過結(jié)論構(gòu)造原函數(shù)法理解中值定理

例題1：設(shè) f（x）在R上可導(dǎo)，證明在f（x）的兩個零點之間一定有點ξ 使得f（ξ）+f′（ξ）=0

在講解這道題目的過程中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)造函數(shù)，先把表達式f（ξ）+f′（ξ）=0中的ξ改為x，然后讓學(xué)生分析函數(shù)f（x）+f′（x）=0會是哪個函數(shù)通過求導(dǎo)得到的，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造一個函數(shù)F（x）=exf（x），分析函數(shù)和羅爾定理的關(guān)系最后證明結(jié)論。

例題2：證明：若f（x）， g（x） 在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f（a）=f（b）=0，g（x）≠0 ，則至少存在一個點ξ∈a，b使得

f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0

這道題目的做法和上題有類似的地方，都要把結(jié)論表達式中的ξ改為x，例如f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0改為f′（x）g（x）+2g′（x）f（x）=0再引導(dǎo)學(xué)生分析等號左邊的函數(shù)是那個函數(shù)求導(dǎo)后的記過當(dāng)學(xué)生通過多次試錯后構(gòu)造出F（x）=f（x）g2（x）后，他們對問題的理解也就得到升華。學(xué)生發(fā)現(xiàn)F（x）函數(shù)滿足了羅爾定理的條件學(xué)生應(yīng)該能很快的解決問題。

例題3：設(shè)函數(shù)f（x）在1，3上連續(xù)，在（1，3）內(nèi)可導(dǎo)，并且f（1）=∫32xf（x）dx，證明在（1，3）內(nèi)至少存在一個ξ，使得f（ξ）+ξf（ξ）=0

這道題目在學(xué)過積分中值定理后推出來。有了微分中值定理的題目做基礎(chǔ)，學(xué)生應(yīng)能很快的構(gòu)造出F（x）=xf（x）。但是學(xué)生覺得應(yīng)該用羅爾定理證明出結(jié)論這時學(xué)生推不出羅爾定理的第三個條件，這時就要引導(dǎo)學(xué)生通過積分中值定理推導(dǎo)的表達式f（1）=∫32xf（x）=λf（λ）（3-2）=λf（λ）=F（λ） 及F（1）=1×f（1）得到羅爾定理的第三個條件。

2.通過不等式證明理解中值定理

在使用同濟大學(xué)高數(shù)教研室編寫的《高等數(shù)學(xué)》教材過程中，發(fā)現(xiàn)編者通過各類不等式的的證明加深學(xué)生對拉格朗日定理的理解有獨特的作用。

例題1：證明 當(dāng) x>0時，x1+x

此道題目在同濟大學(xué)第一版教材就開始采用，難易程度符合初學(xué)中值定理的學(xué)生使用，學(xué)生在證明過程中發(fā)現(xiàn)了中學(xué)證明不等式的局限性，更加加深了對中值定理學(xué)習(xí)的興趣。

在證明過程中首先要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出函數(shù)F（t）=ln（t+1） ，接著分析函數(shù)在區(qū)0，x間滿足拉格朗日定理的條件。

得出ln（x+1）-ln（0+1）x-0=11+ξξ∈（0，x）

由ξ∈（0，x）得出 11+x<11+ξ<1

然后將ln（x+1）-ln（0+1）x-0=11+ξ的左邊表達式代入上述不等式的中間部分，即可得出結(jié)論。讓學(xué)生初步見識了拉格朗日定理的應(yīng)用。為后面單調(diào)性定理研究打下基礎(chǔ)

例題2：證明當(dāng)x>1時，ex>e·x

這道題目也是同濟大學(xué)教材的老題，教師在使用過程中需要發(fā)揮主觀能動性加以靈活運用?？梢韵扔美窭嗜斩ɡ碜C明，等單調(diào)性定理講解后再用新辦法進行證明。讓學(xué)生知道同一道題目，用用同一個工具的不同形式，證明方法有區(qū)別，看看什么辦法能夠簡便的得到結(jié)論，對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的改進會有很大的啟發(fā)。

三、結(jié)論

天才在于勤奮，也在于創(chuàng)新。在建設(shè)創(chuàng)新型國家的過程中，既需要肯吃苦的實干家更需要充滿智慧的人才，天才是1%的靈感加99%汗水，但這1%是最重要的。

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)求知的主動性，培養(yǎng)學(xué)生的堅強意志和探索與創(chuàng)新精神。使學(xué)生成為新時代的創(chuàng)新者。（作者單位：陜西國際商貿(mào)學(xué)院高數(shù)教研室）

參考文獻

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上，下） [M] . 北京： 高等教育出版社， 2007.

[2]李忠，周建瑩. 高等數(shù)學(xué)（上，下） [M]. 北京：北京大學(xué)出版社， 2009.

[3]盛向耀.高等數(shù)學(xué)（上，下）[M] . 北京： 高等教育版社， 2007.