【摘 要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)于微分中值定理的研究過(guò)程的講解一直是我們教學(xué)的重點(diǎn)所在，在整個(gè)教學(xué)任務(wù)中所占的比例也是非常大的。對(duì)于微分中值定理的推廣及其應(yīng)用過(guò)程的學(xué)習(xí)我們也應(yīng)該加以足夠的重視，同時(shí)對(duì)于定理的證明過(guò)程這是我們往往忽視的一個(gè)方面所在。本文就結(jié)合微分中值定理的推廣及其應(yīng)用這一課題進(jìn)行相關(guān)的研究與論述，希望能夠?qū)ξ覀兘窈蟮慕虒W(xué)過(guò)程起到一定的幫助作用。

【關(guān)鍵詞】微分中值定理；推廣與應(yīng)用；探索與研究

微分中值定理的教學(xué)中很多時(shí)候?qū)W生對(duì)于一些概念的引進(jìn)以及相關(guān)的運(yùn)用并不是非常了解和熟練，為此這一部分的推廣與應(yīng)用過(guò)程就顯得尤為重要，對(duì)于本文的研究與論述就是對(duì)于微分中值定理之間的內(nèi)在聯(lián)系以及生活實(shí)際應(yīng)用展開(kāi)相應(yīng)的探討，希望對(duì)于我們廣大學(xué)者以及教師在今后的教學(xué)中能夠奠定相應(yīng)的理論基礎(chǔ)。

一、微分中值定理推廣及應(yīng)用的重要意義所在

在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，微分中值定理所占的比重也是較大的，對(duì)于其推廣與應(yīng)用而言也是具有十分重要的意義所在。在我們生活中很多生活實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程都要運(yùn)用到微分中值定理，其中微分中值定理有很多結(jié)論我們可以直接用到，它不僅僅是表現(xiàn)出函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也是我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)研究分析過(guò)程中的重要工具，我們由此也能夠充分看出其重要性所在。

二、微分中值定理的推廣

1.微分中值定理的重要作用

微分中值定理組要有三個(gè)部分組成，對(duì)于我們實(shí)際生活中問(wèn)題的解決起到了非常重要的作用。第一部分就是基本定理，其主要的觀(guān)點(diǎn)就是在于微分的逆運(yùn)算的過(guò)程就是不定積分。這一定理在微分中值定理中的重要作用主要體現(xiàn)在能夠保證連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)在某一階段的存在性。而第二部分往往被我們成為微積分，也成為微積分第二基本定理。主要表明的觀(guān)點(diǎn)就是定積分可以用無(wú)窮多的函數(shù)進(jìn)行任意一個(gè)的計(jì)算。這對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題具有很大的作用。第三個(gè)定力則是以一種特殊的形式出現(xiàn)的，主要有詹姆斯進(jìn)行證明和出版。

2.微積分中值定理的基本表述形式

在對(duì)于微積分中值定理的研究過(guò)程中我們能夠充分的看出兩個(gè)不同的函數(shù)的表現(xiàn)形式，那就是函數(shù)和倒數(shù)。所謂導(dǎo)數(shù)就是反應(yīng)函數(shù)在某一點(diǎn)的局部特征所在，我們要了解其定義域的整體特征那么就必須了解其函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)，讓其函數(shù)與倒數(shù)之間建立起一種關(guān)系，這就是我們?cè)谘芯课⒎种兄刀ɡ韺?duì)于函數(shù)與倒數(shù)的作用所在。而對(duì)于微分中值定理而言到了很多基本定理，主要包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理四個(gè)部分，這四個(gè)定理為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的練習(xí)過(guò)程搭建起了基本的橋梁，使兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系更加明顯，對(duì)于我們解決生活實(shí)際問(wèn)題也奠定了相應(yīng)的理論基礎(chǔ)和相應(yīng)的實(shí)踐證明過(guò)程。在進(jìn)行對(duì)中值定理的研究過(guò)程中，微分中值定理作為其基礎(chǔ)所在，我們通過(guò)倒數(shù)的上升和下降來(lái)判斷極值，從而得出凹形，凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要形。從而可以實(shí)現(xiàn)把函數(shù)的幾何圖像能夠正確表征出來(lái)，對(duì)于我們?cè)诤笃诘膶?shí)際應(yīng)用過(guò)程中也能夠起到一定的幫助。

3.微積分中“極限”引入的必要性

在對(duì)于微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們的首要任務(wù)就是對(duì)于“極限”的了解過(guò)程應(yīng)該加以充分的重視，其原因就是在于代數(shù)的概念在人們的心里已經(jīng)達(dá)到了成熟的水平，但是還存在對(duì)于“無(wú)限”的處理用代數(shù)式?jīng)]有辦法進(jìn)行相關(guān)的處理過(guò)程。所以我們?cè)谶M(jìn)行“無(wú)限”的處理過(guò)程中就引進(jìn)了無(wú)限的量這一概念，從而“無(wú)限”這一概念就由此產(chǎn)生了。對(duì)于“無(wú)限”的定義我們的理解過(guò)程就是通過(guò)代數(shù)的概念將“0”這一個(gè)麻煩能夠徹底繞過(guò)去，從而對(duì)于除去“0”以外都是有意義的任意小量，對(duì)于任意小量可以取任意小，只要能夠滿(mǎn)足在“Δ”區(qū)間之內(nèi)這一個(gè)條件就可以。經(jīng)過(guò)這樣的實(shí)踐證明，我們就能夠看出張格格推理過(guò)程是完全正確的，從而對(duì)于這個(gè)概念的引入也是成功的，其必要性我們也能夠充分的看出。

4.微分中值定理與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系

微分中值定理的發(fā)展離不開(kāi)實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程，在我們現(xiàn)實(shí)生活之中，對(duì)于天文、力學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及生物工程學(xué)的發(fā)展都起到了一定的積極作用，從而對(duì)于學(xué)科分支的出現(xiàn)也做出了積極的貢獻(xiàn)。在微分中值定理的應(yīng)用過(guò)程中，其發(fā)展的領(lǐng)域范圍也越來(lái)越廣，在計(jì)算機(jī)的發(fā)明以及應(yīng)用過(guò)程的發(fā)展也起到了不可代替的作用。而對(duì)于我們生存的物質(zhì)世界中，一切事物的發(fā)展都是在運(yùn)動(dòng)和變化中不斷進(jìn)行的，達(dá)到整個(gè)宇宙，小到一顆粒子。正是因?yàn)檫@個(gè)愿意我們?cè)跀?shù)學(xué)中將變量的概念能夠得以引進(jìn)并且進(jìn)行了不斷的發(fā)展，從而這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象才能夠在數(shù)學(xué)的范疇中得以充分的描述。對(duì)于函數(shù)的概念已經(jīng)用過(guò)程，我們則是通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要逐步探索出來(lái)的新的數(shù)學(xué)分支。在解析幾何出現(xiàn)后就產(chǎn)生了微積分學(xué)，其發(fā)展的重要性也是不言而喻的，也是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最大的創(chuàng)造傳奇所在。

三、微分中值定理的應(yīng)用

1.對(duì)于不等式與等式證明中的應(yīng)用

在對(duì)于一些不等式的證明過(guò)程之中，我們以往的思維方式會(huì)出現(xiàn)思維定時(shí)的情況，頭腦經(jīng)常會(huì)陷入對(duì)于原來(lái)的式子我們要從哪里開(kāi)始證明或者從哪證明這樣的怪圈，使得我們的證明過(guò)程過(guò)于刻意，對(duì)于其他的聯(lián)系過(guò)程我們并沒(méi)有意識(shí)到，對(duì)于本身的不等式的證明過(guò)程只能按照原有的意思進(jìn)行展開(kāi)?，F(xiàn)在就有這樣的一個(gè)推論，如果函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且中值定理則是I上的一個(gè)常量函數(shù)。幾何意義我們自然就能夠充分的看出為斜率處處為0的曲線(xiàn)一定是平行于y軸的直線(xiàn)，其證明過(guò)程就是拉格朗日中值定理所體現(xiàn)的。

2.關(guān)于方程根的討論

在進(jìn)行對(duì)方程根的討論過(guò)程中，我們能夠發(fā)現(xiàn)無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的極限有可能存在，我們?cè)O(shè)想如果兩者的關(guān)系一旦存在那么極限值也會(huì)不盡相同，這一點(diǎn)我們也可以稱(chēng)之為在型不定式的極限或者是量之比的極限。我們解決這兩個(gè)極限的問(wèn)題通常所采用的方法是洛比達(dá)法則。我們?cè)谶M(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中往往會(huì)直接運(yùn)用其結(jié)論，但是我們對(duì)于其證明過(guò)程很少注意到，然而這一法則恰恰是運(yùn)用了中值定理來(lái)進(jìn)行證明過(guò)程的。

3.微分中值定理之間的關(guān)系應(yīng)用

在進(jìn)行對(duì)一元函數(shù)微分學(xué)的研究過(guò)程中，對(duì)于微分中值定理應(yīng)用的局部性質(zhì)以及函數(shù)在區(qū)間上的整體性的研究中，中值定理就是其主要的工具之一。它對(duì)于數(shù)學(xué)中的分析過(guò)程起到了重要的作用，同時(shí)拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是起推廣作用的。這些定理在一定程度上都具有一定的聯(lián)系，從而我們?cè)谶M(jìn)行實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中才能夠解決其問(wèn)題。其基本的特點(diǎn)就是在于將定理中的“可微性”概念進(jìn)行不斷的拓寬，對(duì)于微分中值定理的表達(dá)式的建立奠定相應(yīng)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)于微分中值定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用開(kāi)闊了天地。為今后的實(shí)際應(yīng)用過(guò)程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

以上就是我們?cè)趯?duì)于《微分中值定理的推廣及其應(yīng)用》進(jìn)行的相關(guān)研究過(guò)程，對(duì)于微分中值定理的推廣以及微分中值定理的應(yīng)用進(jìn)行了分開(kāi)研究，希望能夠?qū)ξ覀儚V大學(xué)者在今后的繼續(xù)的研究過(guò)程中打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文研究過(guò)程中觀(guān)點(diǎn)還存在著一定的不足，希望能夠得到廣大學(xué)者及老師們的積極意見(jiàn)與建議。

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