整體思想方法是指考慮數(shù)學問題時,不是著眼于它的局部特征,而是把注意點和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,通過對其全面深刻的觀察、思考,從整體上認識問題的實質(zhì),把一些表面上看似彼此獨立但實質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量或圖形作為整體來處理的思想方法.它是數(shù)學解題中常用的思想和方法,在處理數(shù)學問題時,有廣泛的應用.本文擬以近年中考試題為例,剖析整體思想方法的應用.
整體代入即可求出結(jié)果為5.
評析 求代數(shù)式的值大致可分為三種:一是直接帶入求值;二是間接代入求值,就是根據(jù)已知條件,求未知數(shù)的值,再代入求值;三是整體代入求值.本組例題正好體現(xiàn)整體代入求值的數(shù)學思想.
2 整體設元或換元思想
5 整體補形思想
5.1 整體合并思想
例12 (2013年綿陽·21)如圖1,AB是OZ的直徑,C是半圓O上的一點,AC平分DAB∠,ADCD⊥,垂足為D,AD交OZ于E,連接CE.
(1)判斷CD與OZ的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
簡解 本題解題思路方法多樣,計算也并不復雜,仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半(即2 6).
評析 這兩題解題的關(guān)鍵是運用割補法,把陰影部分拼成一個整體,轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求其面積,這種解法在幾何問題中較常出現(xiàn),解法較多,有利于考生從不同的角度獲取解題方法.解題前要仔細觀察圖形特點,搞清部分與整體的關(guān)系,引導學生平時要加強數(shù)學思想、方法的學習與積累.
5.2 整體構(gòu)造思想
例14 (2012年吉林·23)如圖3,在扇形OAB中,90AOB∠=°,半徑6OA =.將扇形OAB沿過點B的直線折疊.點O恰好落在弧AB上點D處,折痕交 OA于點C,求整個陰影部分的周長和面積.
評析 顯然陰影部分不能拼成一個有規(guī)則的幾何圖形,但可以用整體構(gòu)造的方法,把陰影部分面積化為易求面積的和、差計算.