所謂的化歸與轉(zhuǎn)化思想,是指在研究或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),借助觀察、聯(lián)想、分析、類比等思維方式,將問(wèn)題變換歸結(jié)為已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題,進(jìn)而使原問(wèn)題得到解決的一種解題策略.
運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想求解問(wèn)題時(shí),必須依托對(duì)問(wèn)題的條件和結(jié)論所進(jìn)行的觀察、分析,發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)系,進(jìn)而合理地將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為其它可以解決的問(wèn)題,并最終解決原問(wèn)題.顯而易見(jiàn),這一過(guò)程必須以較高的數(shù)學(xué)思維能力、敏銳的數(shù)學(xué)判斷能力以及全面的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力為基礎(chǔ)的.這無(wú)疑意味著,化歸與轉(zhuǎn)化思想的合理與正確運(yùn)用是以“空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”、“運(yùn)算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識(shí)”以及“創(chuàng)新意識(shí)”等數(shù)學(xué)能力的合理與正確運(yùn)用為基礎(chǔ)的.
換言之,化歸與轉(zhuǎn)化思想當(dāng)可視為上述各種數(shù)學(xué)能力的“統(tǒng)領(lǐng)者”,其運(yùn)用當(dāng)可作為上述各種數(shù)學(xué)能力運(yùn)用的 “共生體”.
1 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋空間想象能力的運(yùn)用
在求解立體幾何問(wèn)題時(shí),無(wú)論圖形是否已經(jīng)給出,解題者都必須根據(jù)已知條件,通過(guò)想像將文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,進(jìn)而在大腦中得到圖形中的幾何元素的正確位置關(guān)系及彼此之間存在的數(shù)量關(guān)系,并據(jù)此對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q.這一過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了數(shù)與形、形與形的相互轉(zhuǎn)化,因而能夠同時(shí)有效地體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想和空間想像能力的運(yùn)用.
應(yīng)該注意到,這些轉(zhuǎn)化過(guò)程沒(méi)有較高的空間想像能力是難以進(jìn)行的,而依據(jù)題意對(duì)圖形進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化,正是空間想像能力的高層次表現(xiàn).
2 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋抽象概括能力的運(yùn)用
抽象概括能力就是從具體的、生動(dòng)的實(shí)例,在抽象概括的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì);從給定的大量信息材料中,概括出一些結(jié)論,并能應(yīng)用于解決問(wèn)題或作出新的判斷.它包含對(duì)數(shù)學(xué)模式和方法的概括能力,以及從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型的能力.
本題求解所需的主要思維方式是探索性思維,化一般為特殊,進(jìn)而在動(dòng)手操作的過(guò)程中尋找規(guī)律,其思路的隱蔽性很高,考查了考生的直覺(jué)思維和邏輯思維,體現(xiàn)了從一般到特殊、從抽象到具體的思維過(guò)程,也同時(shí)體現(xiàn)了考生推理論證能力的水平.
4 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋運(yùn)算求解能力的運(yùn)用
運(yùn)算求解能力的運(yùn)用,主要體現(xiàn)在運(yùn)算方法的合理性、運(yùn)算過(guò)程的簡(jiǎn)捷性和運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性等方面上,這就使得運(yùn)算求解能力的運(yùn)用必然伴隨著數(shù)與形關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、函數(shù)與方程聯(lián)系的挖掘、以及恰當(dāng)變形方向的確定.而這也就意味著運(yùn)算求解能力的運(yùn)用必然和化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用相伴隨.
若能注意到f( x )有零點(diǎn)1和?1,則由其圖象關(guān)于直線x =?2對(duì)稱,可知另兩個(gè)零點(diǎn)必為?3和?5,從而f( x ) =?(x+1)(x?1)(x+3)(x+5).
在求函數(shù)f( x )的最大值時(shí),常規(guī)的工具是直接對(duì)函數(shù)f( x )求導(dǎo),但于本題而言,此法難行,原因在于如此得出的方程f′( x )=0很難求解.
本題充分體現(xiàn)了多思少算的解題策略,不僅可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,而且可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維,在解題過(guò)程中運(yùn)用了特殊化、平移、等價(jià)轉(zhuǎn)化等策略,從而縮短運(yùn)算過(guò)程或改變運(yùn)算方式,使復(fù)雜的運(yùn)算問(wèn)題變得簡(jiǎn)單,達(dá)到多思少算的良好效果.這解題過(guò)程都需要解題者在腦海中思考并搜索平時(shí)所學(xué)的知識(shí)方法尋找最可行、最有效的運(yùn)算途徑,求解結(jié)果正確與否無(wú)疑與解題者運(yùn)算求解能力的高低、化歸與轉(zhuǎn)化思想理解程度的高低成正相關(guān)關(guān)系.
5 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋數(shù)據(jù)處理能力的運(yùn)用
數(shù)據(jù)處理能力包含“會(huì)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息,并作出判斷.”這種能力體現(xiàn)了從特殊到一般,具體到抽象、或然到必然的轉(zhuǎn)化過(guò)程,還蘊(yùn)含著對(duì)數(shù)學(xué)模型的判斷和擬合的化歸過(guò)程.
例5(2012年高考新課標(biāo)全國(guó)卷·理18)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理.
(I)看花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y (單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(ⅰ)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,x表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求x的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
(ⅱ)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?
評(píng)析 本題以具有現(xiàn)實(shí)性的問(wèn)題情境為背景,平和地將分段函數(shù)與概率知識(shí)的交匯在一起.解題時(shí)必須能夠洞察具體的數(shù)據(jù)之中所蘊(yùn)含的信息,并將其轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的工具.顯見(jiàn),這種“感知數(shù)據(jù)”、“認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)”、“探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的過(guò)程,不僅可以體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想在概率與統(tǒng)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用,還同時(shí)體現(xiàn)解題者數(shù)據(jù)處理能力的高低.
6 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋應(yīng)用意識(shí)的運(yùn)用
應(yīng)用意識(shí)的主要體現(xiàn)是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景,提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并加以解決.這里隱含著將普通語(yǔ)言理解、抽象并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力,及將應(yīng)用問(wèn)題化歸為某個(gè)數(shù)學(xué)模型并解決問(wèn)題的能力.
(Ⅱ)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使α與β之差較大,可以提高測(cè)量精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問(wèn)d為多少時(shí),αβ?最大?
評(píng)析 本題是解三角形、不等式等知識(shí)的交匯,且在應(yīng)用題的背景下,需要解題者自行建立模型,并正確發(fā)掘等量關(guān)系,進(jìn)而合理實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的化歸.
應(yīng)該注意到,如若利用直角三角形建立平面直角坐標(biāo)系,進(jìn)而運(yùn)用解析幾何的方法也可完成此題,且方法并不單一.顯然,這有助于解題者明了,在現(xiàn)實(shí)生活中,真正的應(yīng)用問(wèn)題正是各種數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用,而不是單一的某一數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.數(shù)學(xué)化意識(shí)是未來(lái)公民必備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).
7 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋創(chuàng)新意識(shí)的運(yùn)用
“創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn).”“能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法,選擇有效的方法和手段分析信息,進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究,提出解決問(wèn)題的思路,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.”“對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度越高,顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng).”應(yīng)該認(rèn)為,其中的“遷移、組合、融會(huì)”就是化歸與轉(zhuǎn)化思想的深層次體現(xiàn).
評(píng)析 本題以近世代數(shù)中的“保序同構(gòu)”為背景,考查考生閱讀理解、提取相關(guān)信息以解決新情境的能力.考生要理解“保序”即符合單調(diào)遞增,“同構(gòu)”是滿足滿射(即一一映射),結(jié)合平時(shí)的經(jīng)驗(yàn),或列舉出滿足條件的具體函數(shù),或只需根據(jù)兩個(gè)集合的條件,將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何直觀圖形即可使問(wèn)題迎刃而解.
本題建立在高等數(shù)學(xué)的背景下,但考生卻無(wú)需利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)(可列、稠密等概念),需要的是考生能從已知條件中抽取出問(wèn)題的本質(zhì),理解“保序同構(gòu)”的概念,進(jìn)而結(jié)合自身已有的知識(shí)儲(chǔ)備,為選項(xiàng)尋找相對(duì)應(yīng)的函數(shù).對(duì)考生自學(xué)能力的要求較高,考生需具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才可完成求解,從分析到解決問(wèn)題,沒(méi)有規(guī)定的模式,完全由學(xué)生獨(dú)立完成.是解題者化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用層次的不斷提升,也同時(shí)是解題者將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力、解題者個(gè)體理性思維的廣度和深度、以及學(xué)習(xí)潛能的有效體現(xiàn).
作為結(jié)束,有必要再次提及:由于沒(méi)有高水平的數(shù)學(xué)能力就無(wú)法正確而有效地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化,而化歸與轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用又是有較高數(shù)學(xué)能力的有效體現(xiàn),這就必然地使得對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用將始終地被以“能力提升”為基本追求的課標(biāo)課程所關(guān)注、所重視!
基于這樣的理解,以 “空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”、“運(yùn)算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識(shí)”以及“創(chuàng)新意識(shí)”等數(shù)學(xué)能力為視角,審視化歸與轉(zhuǎn)化思想的統(tǒng)領(lǐng)功能,并將這種統(tǒng)領(lǐng)功能切實(shí)的體現(xiàn)于日常的教學(xué)之中,其意義與價(jià)值應(yīng)該是顯見(jiàn)的.