【摘 要】數(shù)學(xué)思想的根本就是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)理論，認識數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生通過對數(shù)學(xué)思想的掌握去更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。通過實踐證明，將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中去對于學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高也有顯著幫助。本文將就將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用在數(shù)學(xué)教育中的實際意義做簡單闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)教育 教育思想

中圖分類號：G4 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.10.017

數(shù)學(xué)思想這一名詞即使是在今天的數(shù)學(xué)教程里仍不多見，但無論是從小學(xué)的加減乘除、初中的三元一次方程，亦或是高中時的函數(shù)或者高等數(shù)學(xué)中的微積分，數(shù)學(xué)思想其實一直都在被教育者有意無意的灌輸給學(xué)生，在潛移默化間對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一定影響。但在教育初期這些數(shù)學(xué)思想還很難明確，而隨著教育的不斷加深，這些定義又開始出現(xiàn)出現(xiàn)混淆。其實較為常見的數(shù)學(xué)思想共有四類：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論，數(shù)形結(jié)合。本文將就這四類數(shù)學(xué)思想做逐一闡述。

一、函數(shù)與方程

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念去分析、化解，最終解決問題。其特點是通過對于問題中數(shù)學(xué)特性的觀察、研究，在其中建立函數(shù)關(guān)系，再通過對其中的聯(lián)系與變化的規(guī)律，得出最終答案。學(xué)生最早接觸函數(shù)是初中時期的三角函數(shù)。三角函數(shù)是函數(shù)中較為基礎(chǔ)也十分具有代表性的一門學(xué)科，其常量數(shù)字極易計算，如正弦（sin）等于對邊比斜邊；余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；正切（tan）等于對邊比鄰邊；余切（cot）等于鄰邊比對邊。且其常量間的關(guān)系也極易確定，如tanα·cotα=1；sinα·cscα=1；cosα·secα=1；sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α。而且其題型變化，求解方式都極為有限，并不能算是一門難學(xué)的學(xué)科。但即使這樣有些學(xué)生還是不能很好的去理解函數(shù)是怎么一回事，甚至有些學(xué)生在將函數(shù)當(dāng)做方程來解。

方程思想是從問題的關(guān)系量中將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程式（方程、不等式，以及兩者的混合組），然后再由關(guān)系量中的變化求解。方程與函數(shù)不同，其難點并不在于解題的過程，更多的是在于方程的確立。只有正確的方程式才能得出正確的答案。

二、轉(zhuǎn)化與化歸

轉(zhuǎn)化與化歸嚴格來說是屬于同一概念的兩個部分，轉(zhuǎn)化是將題中未知（或不同）的量轉(zhuǎn)化為已知（或單一）的量，化歸則是將轉(zhuǎn)化完的算式進行簡化與歸類，從而使解更容易得出。這一概念，在初中教材里的二元一次方程已有所體現(xiàn)。

以①3x+2y=7；②5x-2y=1為例。

當(dāng)遇到類似這樣的題，首先應(yīng)做的便是轉(zhuǎn)化，將其中一個變量轉(zhuǎn)化為另一個變量。

解：

由5x-2y=1得，2y=5x-1，

將其代入算式：3x+2y=7，則可轉(zhuǎn)化為：3x+5x-1=7，x=1。

再將x=1代入3x+2y=7中，則y=2。

在題中可以看出，x、y是兩個未知的量，但通過已知條件來進行計算，則可以使兩個未知的量轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€，再通過與已知量的計算，則可求出其中一個未知量的值。其實這就是一個轉(zhuǎn)化與化歸的過程，這道例題雖然較為簡單，但卻很好的說明了轉(zhuǎn)化與化歸的關(guān)系。只要理解了什么是轉(zhuǎn)化，什么是化歸，即使題型變得再怎么復(fù)雜，求解也不過只是時間問題而已。

三、分類討論

分類討論思想是指當(dāng)問題結(jié)論并非唯一，或有些問題結(jié)論無法統(tǒng)一時，則要根基問題的特點及要求，將其分成幾類小問題再逐一解決。分類討論主要分為概念醒，及問題涉及到的概念是需將定義分類的。例如|a|中，a值在不同大小的情況下，其定義也會隨之發(fā)生改變；性質(zhì)型，如當(dāng)問題中的定理、公式以及運算性質(zhì)被限制條件或范圍，或者其根本是分類提出時，如等比數(shù)列的前n項和的公式，則需q=1或q≠1兩種情況；含參型。當(dāng)題目的解中含有參數(shù)時，則需根據(jù)參數(shù)的取值范圍來進行討論，例如不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。對于學(xué)生而言，解一道需分類討論的題目幾乎等同于同時解多道題目，且題目之間又存在著相互影響的關(guān)系，所以在解此類題型時應(yīng)注意這幾大原則：將需分類的每一個部分獨立化；分類時應(yīng)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；不可越級討論。例如在解有關(guān)x的方程（a-1）x2-2ax+a=0時，則應(yīng)考慮（a-1）在不同情況下的解法，若（a-1）=0，則說明a=1，反之則a≠1，然后根據(jù)這兩種情況分別進行就算。

以學(xué)生而言，在掌握此類方法的初期，其難點在于如何確定討論的關(guān)鍵點。以上一題為例，有些學(xué)生甚至?xí)確定為變量，通過x去求a的值。要避免這種情況，應(yīng)首先明確要求的值是什么，然后在題中尋找到會直接影響所求值的結(jié)果的因素，那就是討論關(guān)鍵點。

四、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)就是根據(jù)數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，如實數(shù)與數(shù)軸、曲線與方程。再通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的的解決。該種思想的優(yōu)點在于能將抽象的數(shù)學(xué)定義直觀化，可以通過數(shù)與形之間關(guān)系的確立，讓學(xué)生更明確的知道定量與變量、已知與未知之間的關(guān)系。

例題：a、b、x、y都是實數(shù)，且a2+b2=1，x2+y2=1。求證：ax+by≤1。

這時則可通過數(shù)形結(jié)合思想來進行解題。

首先，作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任意作Rt△ACB和Rt三角形ADB，使AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。接下來便能可通過勾股定理以及托勒密定力來求證。

數(shù)形結(jié)合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”。但與純代數(shù)不同，數(shù)形結(jié)合除了需要嚴謹?shù)倪壿嬛膺€需要學(xué)生有立體思考能力，能這種能力的培養(yǎng)，更多的則是依賴于教育者的指導(dǎo)方法。

結(jié)束語：數(shù)學(xué)思想對于數(shù)學(xué)教學(xué)所起到的作用是巨大的，而其應(yīng)用到教學(xué)中的關(guān)鍵除了學(xué)生自身原因，更多則依賴于教育者的有效引導(dǎo)。數(shù)學(xué)是一門需要很好的邏輯性才能真正理解的學(xué)科，而當(dāng)學(xué)生不具備這種邏輯能力的時候，身為教育者不應(yīng)將學(xué)生放在一邊，不聞不問，而是要加以有效地引導(dǎo)。正所謂：有教無類。

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