摘要：本文筆者對幾種常用的統(tǒng)計量進行著重探討，結(jié)合實踐提出穩(wěn)健性的不足。同時給出幾種穩(wěn)健統(tǒng)計量，并與傳統(tǒng)的統(tǒng)計量進行比較。通過比較來展現(xiàn)穩(wěn)健統(tǒng)計量的優(yōu)勢及其應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)健統(tǒng)計；統(tǒng)計量

1、前言

統(tǒng)計學(xué)作為一套科學(xué)原理和技術(shù)，統(tǒng)計是從眾多數(shù)據(jù)中挖掘有用的信息，然后得出有關(guān)這個領(lǐng)域的某些特征或結(jié)論，進而用以指導(dǎo)實踐，來創(chuàng)造更好的數(shù)據(jù)的科學(xué)。然而，傳統(tǒng)的用以描述數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計量在許多情況下都不具有很強的代表性，使得分析結(jié)果與實際不符，據(jù)此制定相關(guān)政策用于指導(dǎo)實踐時，必定會產(chǎn)生不利于社會經(jīng)濟發(fā)展的情況。由于穩(wěn)健統(tǒng)計方法不受實際數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布條件的束縛，與傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法相比，具有更強的抵抗異常值影響的能力，更能夠反映實際情況，所以它一問世就有著很強的生命力，并逐漸地被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)以及地質(zhì)學(xué)等領(lǐng)域，成為人們處理各種問題的重要思想和工具。

穩(wěn)健統(tǒng)計的內(nèi)容非常廣泛，任何涉及到與實際問題和假定條件有偏離有關(guān)的傳統(tǒng)統(tǒng)計方法中，都會有穩(wěn)健統(tǒng)計成長的空間，都會有待于對傳統(tǒng)統(tǒng)計方法進一步完善的必要。本文將主要分析幾種代表總體平均水平的穩(wěn)健統(tǒng)計量的穩(wěn)健性，并與傳統(tǒng)的統(tǒng)計量如樣本平均數(shù)等進行比較，從而揭示穩(wěn)健統(tǒng)計量的優(yōu)勢所在。由于篇幅所限，對穩(wěn)健統(tǒng)計的其他方面的討論不在本文范圍之內(nèi)。

2、統(tǒng)計量的穩(wěn)健性比較分析

2.1傳統(tǒng)統(tǒng)計量

人們普遍會感覺官方公布的人均收入或人均工資之類的指標(biāo)明顯偏高。進一步研究發(fā)現(xiàn)，除了統(tǒng)計誤差和統(tǒng)計口徑上的不同以外，對人均收入指標(biāo)主觀上認(rèn)為偏高的主要原因在于收入分布是一種偏態(tài)的分布，而且隨著貧富差異原因的增多，偏態(tài)有日益嚴(yán)重的態(tài)勢。同時收入分布中存在著異常極端的離群大值，也會導(dǎo)致收入平均值的不正常上升。舉一個極端一點的例子，如果收入數(shù)據(jù)中有一個值趨于無窮大，不管是由于操作失誤還是實際情況的真實反映，據(jù)此計算出來的平均收入也會趨于無窮大，由此可見，運用非常普遍的平均數(shù)絲毫不具有抵御離群值的能力。這也就意味著在正態(tài)假定下性能表現(xiàn)非常良好的平均數(shù)，當(dāng)實際數(shù)據(jù)并不是呈正態(tài)分布時所表現(xiàn)出的代表性不強的缺陷。這就引發(fā)人們?nèi)ニ伎计渌慕y(tǒng)計量，要求這樣的統(tǒng)計量滿足以下兩個條件：第一，當(dāng)實際分布未知或雖然已知但不是正態(tài)分布時，這樣的統(tǒng)計量應(yīng)該能夠比較好地描述所研究現(xiàn)象的實際情況；第二，當(dāng)數(shù)據(jù)中存在正常的或是非正常的離群值時，這樣的統(tǒng)計量不會偏離實際情況太遠(yuǎn)，也即不會因為離群值的存在而對所要說明的問題以及想要得出的結(jié)論造成災(zāi)害性的影響。

切尾均值是對均值的一種變通方法。均值對異常值或離群值非常敏感，它會由于數(shù)據(jù)集合中的一個或多個異常值的出現(xiàn)而失真。在這種情況下，離群值會使均值偏向自己的一方以尋找平衡點，因而也就歪曲了均值作為平均水平度量的意義。這時就需要對均值的計算方法進行適當(dāng)?shù)淖兺ǎ怪^為穩(wěn)健。通常用到的就是切尾均值，其做法是去掉最大的和最小的數(shù)據(jù)，然后對其余的作平均。

2.2幾種穩(wěn)健統(tǒng)計量

從數(shù)理角度分析，許多統(tǒng)計量都是通過極小化某一目標(biāo)函數(shù)而得到的結(jié)果。例如熟悉的樣本均值就是極小化目標(biāo)函數(shù)Q（xi，t）=Eni=1（xi-t）2所得的t值，其中xi，i=1，，，n是某一獨立同分布的樣本，t是估計值，Q表示目標(biāo)函數(shù)。解此問題的方法是先求Q關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)7（在Q可導(dǎo)的情況下），7（xi，t）=Qc（xi，t）=Eni=1（xi-t）（去掉常數(shù)因子），然后求t，使之滿足Eni=1（xi-t）=0。通過求解得t=Eni=1xiPn，也就是樣本均值。同樣，樣本中位數(shù)是最小化目標(biāo)函數(shù)Q（xi，t）=Eni=1|xi-t|的解。已經(jīng)看到，基于殘差平方目標(biāo)函數(shù)的樣本平均值的統(tǒng)計量對于離群值過于敏感，即由于經(jīng)過平方，使得數(shù)據(jù)分布的尾部有太大的權(quán)數(shù)；而基于絕對殘差目標(biāo)函數(shù)的樣本中位數(shù)雖然克服了樣本平均值對離群值敏感的缺陷，但卻對數(shù)據(jù)的中間估計值太敏感。于是，Huber（1964）提出了一種新的目標(biāo)函數(shù)，作為樣本平均值和樣本中位數(shù)的折衷。這個目標(biāo)函數(shù)就是極小化上述目標(biāo)函數(shù)的解就是HuberM統(tǒng)計量。樣本中位數(shù)和平均數(shù)分別是HuberM統(tǒng)計量的極端情況，k稱作細(xì)調(diào)參數(shù)，它決定著Huber統(tǒng)計量的性質(zhì)。在實際運用中選擇適當(dāng)?shù)膋，能給統(tǒng)計量在某個范圍上合理的性能表現(xiàn)。k越小，Huber統(tǒng)計量越接近于樣本中位數(shù)，即對離群值的抵抗能力就越強，反之，就越接近于樣本平均值。Huber統(tǒng)計量是一種比較容易計算的穩(wěn)健統(tǒng)計量，是對樣本平均值的穩(wěn)健性的提高和改善。但是與下面三種更穩(wěn)健的M統(tǒng)計量相比較，Huber統(tǒng)計量的穩(wěn)健性有時也不能夠滿足實際需要。

根據(jù)M統(tǒng)計量7函數(shù)（即目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）的形狀，人們把Huber統(tǒng)計量稱作單調(diào)的，統(tǒng)計量，另外三種比較常見的M統(tǒng)計量：圖基（Tukey）雙權(quán)M統(tǒng)計量、漢佩爾（Hampel）回降M統(tǒng)計量和安德魯斯（Andrews）正弦波M統(tǒng)計量都是回降統(tǒng)計量。也就是說，HuberM統(tǒng)計量的7函數(shù)是單調(diào)遞增的，而后面三種M統(tǒng)計量的7函數(shù)最終都要回到水平軸，其函數(shù)形式均比較復(fù)雜，這里從略。需要強調(diào)指出的是，M統(tǒng)計量之所以較平均數(shù)穩(wěn)健，是因為相對于平均數(shù)對所有觀察值都賦權(quán)數(shù)以1的情形，M統(tǒng)計量最終的目標(biāo)是根據(jù)觀察值離數(shù)據(jù)分布中心的遠(yuǎn)近而賦大小不等的權(quán)數(shù)，即觀測值距離數(shù)據(jù)分布中心越遠(yuǎn)，賦予它的權(quán)數(shù)就越小，反之就越大。從而提高統(tǒng)計量的全局效率和整體耐抗性。不同的M統(tǒng)計量具有不同的加權(quán)體系。HampelM統(tǒng)計量和Andrews正弦波M估計量的權(quán)重函數(shù)的形狀與Tukey雙權(quán)M統(tǒng)計量大體上類似，都是中間部分權(quán)數(shù)較大，以后逐漸遞減，到兩側(cè)的某一點減小到零。所不同的是，如同HuberM統(tǒng)計量中的k一樣，不同的統(tǒng)計量具有不同的細(xì)調(diào)參數(shù)，從而也決定了權(quán)重函數(shù)走勢變化的分界點。

表1 是筆者利用SPSS 軟件對某市近幾年的居民實際支出原始數(shù)據(jù)計算的四種M 統(tǒng)計量（為節(jié)省篇幅， 只列出每隔一年共6 年的計算結(jié)果） ， 并列出了平均支出和中位數(shù)支出以供比較。

表1 基于居民實際支出數(shù)據(jù)的四種M 統(tǒng)計量比較

通過上表對六種統(tǒng)計量的比較發(fā)現(xiàn)，四種M統(tǒng)計量均低于平均實際支出，而與中位數(shù)實際支出的大小關(guān)系不固定。由于實際支出數(shù)據(jù)中有一定量的離群值存在，所以平均實際支出是對實際數(shù)據(jù)的一種偏高估計，這是毫無疑問的，又由于位數(shù)附近可能出現(xiàn)的分布離散性，使得中位數(shù)在整體上是對實際數(shù)據(jù)的一種偏低估計。而M統(tǒng)計量反映了支出數(shù)據(jù)主體部分的更多信息，因而能夠更準(zhǔn)確地體現(xiàn)實際支出的一般水平。

3、結(jié)束語

綜上所述，運用非常廣泛的樣本平均數(shù)，雖然有其計算簡單的優(yōu)點，但卻在很多情況下不能夠很好地代表所研究現(xiàn)象總體的平均水平。因此，對更加穩(wěn)健的統(tǒng)計量的重視和應(yīng)用，無論是對數(shù)據(jù)使用者還是對政策的制定者，都有其不可忽視的重要意義。