〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)列；命題角度；解題技巧

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2013）10—0070—02

縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試卷，對(duì)數(shù)列解答題這一塊的考查主要有兩個(gè)方面：一方面考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法；另一方面考查數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的整合，注重有限與無限、分類與整合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，以及思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)的考查.筆者認(rèn)為，只要考生把握命題意圖與考點(diǎn)，找到突破方法，掌握解題技巧，就能獲得正確的結(jié)論.

命題角度一：等差數(shù)列與等比數(shù)列基本公式的應(yīng)用

例1 （2012高考湖北理）已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8.

（Ⅰ）求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

命題意圖與考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及考生分析問題、解決問題的能力.

突破方法技巧：1.等差數(shù)列的判斷方法：定義法 an+1-an=d（d為常數(shù)）或an+1-an=an-an-1（n≥2）.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）d或an=am+（n-m）d，前n項(xiàng)和公式：Sn=■，Sn=na1+■d.

3.等比數(shù)列的判斷方法：定義法■=q（q為常數(shù)），其中q≠0，an≠0或■=■.

4.等比數(shù)列的通項(xiàng)為：an=a1qn-1或an=amqn-m.

前n項(xiàng)和公式為：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=■=■.

命題角度二：求解數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的應(yīng)用

例2 （2010高考江西理）設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn滿足■=■，且■+■=■，S2=6；函數(shù)g（x）=■（x-1），且cn=g（cn-1）（n∈N，n>1），c1=1.

（1）求A；

（2）求數(shù)列{an}及{cn}的通項(xiàng)公式；

（3）若dn=an（n為奇數(shù)）cn（n為偶數(shù)），試求d1+d2+……+dn.

命題意圖與考點(diǎn)：本試題主要考查了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、構(gòu)造新數(shù)列求原數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，同時(shí)還考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法及學(xué)生運(yùn)算及推理論證的能力.

突破方法技巧：求解數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的常用方法

1.形如an+1-an=f（n）型

（1）若f（n）為常數(shù)，即an+1-an=d，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則an=a1+（n-1）d.

（2）若f（n）為關(guān)于n的函數(shù)時(shí)，用累加法.

2.形如■=f（n）型

（1）當(dāng)f（n）為常數(shù)，即■=q（其中q是不為0的常數(shù)），此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列，an=aqn-1.

（2）當(dāng)f（n）為n的函數(shù)時(shí)，用累乘法.

由■=f（n）得：n≥2時(shí)，■=f（n-1），∴an=■·■……■·a1=f（n）f（n-1）……f（1）a1.

3.形如an+1=pan+q型數(shù)列

此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.構(gòu)造的辦法是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)an+1+m=p（an+m），展開整理an+1=pan+pm-m，比較系數(shù)有pm-m=b，所以m=■.由此可得an+■是等比數(shù)列，公比為p，首項(xiàng)為a1+■.

4.形如an=■型數(shù)列（A，B，C為非零常數(shù)）

這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù)，把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列，便可順利地轉(zhuǎn)化為an+1=pan+q型數(shù)列.

5.利用an=S1（n=1）Sn-Sn-1來實(shí)現(xiàn)an與Sn的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一.要注意an=Sn-Sn-1不能用來求解首項(xiàng)a1，首項(xiàng)a1一般通過a1=S1來求解.

6.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等.

命題角度三 ：數(shù)列與函數(shù)、不等式，解析幾何等交匯問題的應(yīng)用

例3 （2012年高考大綱理）函數(shù)f（x）=x2-2x-3.定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）證明：2≤xn

（2）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

命題意圖與考點(diǎn)：本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合的綜合運(yùn)用.先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo).再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列{xn}的通項(xiàng).

突破方法技巧：本題以函數(shù)為背景，引出點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到數(shù)列的遞推公式.既考查了直線方程，又考查了函數(shù)解析式，以及不等式的證明.試題比較綜合，有一定的難度.解答這類試題要根據(jù)已知條件，一步一步地翻譯為代數(shù)式，化簡得到要找的關(guān)系式即可. （1）數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合性問題，解題時(shí)要注意遞推數(shù)列，準(zhǔn)確把握遞推數(shù)列的常見解法，有助于該類問題的解決.比如通過變形將其轉(zhuǎn)化為常見的等差等比數(shù)列求解是此類問題的基本思路.（2）構(gòu)造新數(shù)列時(shí)一定要注意原數(shù)列的項(xiàng)與新數(shù)列的項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng).其中所涉及的不等式問題通?？捎梅趴s法、比較法、歸納法來解決.

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容.在測試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位. 另外隨著新課程改革的實(shí)施，高考命題會(huì)突出以能力立意，加強(qiáng)對(duì)數(shù)列綜合性和應(yīng)用性的考查，常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，應(yīng)引起數(shù)學(xué)教師的高度重視.

？笙 編輯：謝穎麗