摘 要：動點問題在中考中出現(xiàn)頻率很高，占分比例大，同時難度也不小，不少學(xué)生感覺綜合性太強，難以把握。通過多年的教學(xué)實踐，總結(jié)出了研究圖形明確條件，構(gòu)建含t代入式、列出等量關(guān)系式，以及利用方程、函數(shù)式解決問題的四步法，效果十分不錯。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；動點問題；思路探究

動點問題是中考里綜合性很強的一種高端題，占分比例大，它依據(jù)多樣化的幾何圖形，設(shè)計出動態(tài)化的幾何情境，需要學(xué)生通過分類、想象和畫圖等手段，正確找到其中的內(nèi)在關(guān)系，再運用方程思想或函數(shù)思想解題，涉及數(shù)形結(jié)合、分類、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想。在這個復(fù)雜的過程中，充滿著挑戰(zhàn)，也充滿著智慧，如何才能讓學(xué)生順利掌握解題的思路與技巧？我在教學(xué)中總結(jié)了一套實用、有效的解題思路。

一、研究圖形，明確動點及其方向、速度

面對一道動點題，首先要做的就是研究其圖形，在圖上找到動點的出發(fā)點、路徑線段，以及運動方向（可以用筆在線段旁做上標(biāo)記），這是解題的基礎(chǔ)。在進(jìn)行這一步時，不必忙著看下面的題目要求，而要按照解題的思路，逐級進(jìn)行。如做這樣一道題：

如圖1，△ABC是邊長為6的等邊三角形，動點F、E同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，點F、E運動的速度分別為1單位/s、2單位/s，當(dāng)點E到達(dá)C時，F(xiàn)、E都停止運動，設(shè)運動時間為t（s）。則①當(dāng)t=2時，判斷△BFE的形狀，并說明理由；②設(shè)△BFE的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系；③作EM平行于BA，交AC于點M，連接FM，當(dāng)t為何值時，△AFM∽△FME。

對此，需要先在圖中找到F、E點，以及F、E兩點分別沿線段AB、BC勻速運動的方向，掌握兩者的速度分別為1單位/s、2單位/s，并且當(dāng)E運動到點C的時候，F(xiàn)、E都停止了運動。

如果把動點比作一個演員的話，這些內(nèi)容將成為它表演的舞臺，我們只有對所有可利用的條件了然于胸，才能迅速找準(zhǔn)、找對之后的求證和計算之路。

在教學(xué)動點問題的初期，這一步可以利用幾何畫板作輔助展示，將一些題設(shè)和圖中沒有給出的情況，也畫出來，以提高學(xué)生的空間想象力和作圖能力。

二、以含時間t的代入式表示相關(guān)的線段

研究圖形完畢，掌握了相關(guān)的已知條件之后，隨即便要運用數(shù)形結(jié)合的思想，將與問題相關(guān)的線段（動點運動的路程以及未走的路程）都用含有時間t的代入式來表示。這個代入思維，在較復(fù)雜的題目中，常要依據(jù)圖形的特點進(jìn)行形與數(shù)的轉(zhuǎn)換，以構(gòu)建代入式。上面的題目比較簡單，只需觀察線段之間的關(guān)系，即可獲得如下結(jié)論，用代入式表述為：

AF=t，F(xiàn)B=6-t，BE=2t，EC=6-2t

則相關(guān)的四條線段均用含時間t的代入式表示完畢，在中考中，解決了這一步就可以拿到1分。其中的重點在于關(guān)注學(xué)生對圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系的理解，只有比較全面地掌握了相關(guān)的幾何知識，才能在遇到之時毫無阻礙、手到擒來。因此，圖形性質(zhì)、定理等知識的歸類、梳理，應(yīng)當(dāng)成為動點教學(xué)的重點之一。

在例題中，對于①問，只要解決了這關(guān)鍵的一步，問題也就基本解決了：當(dāng)t=2時，BF=6-2=4，BE=2×2=4，

基于FB=BE=4

又∵∠B=60°

∴△BFE是等邊三角形

三、借圖形相關(guān)知識列出等量關(guān)系

等量關(guān)系的建立，來自不變的靜態(tài)幾何關(guān)系，因此有不少教師在描述解決動點問題的關(guān)鍵詞時，都會用到“以靜制動”的提法。其實，就是無論動點怎么運動，都是在一定的圖形中，遵循一定條件進(jìn)行的，要依賴于它們的某些基本性質(zhì)與特征，于是運動的點才有了著落。故只要始終握住那些不動的量，再將變量置于其中，就能夠在動與不動之間建立方程式、函數(shù)式……

在②問中，涉及△BFE的面積問題，面積問題需要作高，這時底的定奪不是一成不變的，只要便于建立數(shù)學(xué)聯(lián)系，哪一個作為底都可以，通常將已知的線段作底。

于是作EH⊥BF，交BF于點H（圖2所示）

∵∠FBE=60°，∠BHE=90°

∴在△BHE中，EH=BE·sin60°=2t·■=■t

∴S△BFE=■=■t×（6-t）÷2=-■t2+3■t

∴S=-■t2+3■t

等量關(guān)系常暗含在特殊圖形的固定關(guān)系中，需要學(xué)生能從各種特殊多邊形一系列的性質(zhì)、公式、定理、推論等中，挑選出可加以利用的部分，于是，在動點問題的教學(xué)中，幫助、引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)不同圖形的性質(zhì)、判定、公式、定理等，便理所當(dāng)然成為了一個重點。

四、利用函數(shù)、方程等知識，解決問題

動點問題中點的運動，在已知與未知之間形成了某種有規(guī)律的變化，為揭示這種有規(guī)律的數(shù)量變化，需要運用函數(shù)式、方程式等來表示，而這正是解決整個動點問題的瓶頸，打破瓶頸最難的一步是應(yīng)用相等關(guān)系、公式定理、圖形性質(zhì)等建立函數(shù)式、方程式。其難點在于要從眾多的基礎(chǔ)知識中搜索出可以建立式子的依據(jù)，而且常常這些依據(jù)還不止一個，解題時還要依次形成正確的順序。如，在解決例題中的③時，就依次用到兩直線平行內(nèi)錯角相等、相似三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，平行線分線段成比例等定理、性質(zhì)。

∵EM//BA

∴∠EMC=∠A=60°，∠MEC=∠B=60°

又∵∠C=60°

∴△CEM是等邊三角形，

∴CM=EM=EC=6-2t

∵BH=BE·cos60°=2t·■=t

∴HF=AB-AF-BH=6-t-t=6-2t

∴HF//EM，HF=EM

∴四邊形HFME是平行四邊形

∴FM=HE=■t

又∵∠FHE=90°

∴∠AFM=∠FME=90°

∵△AFM∽△FME

∴∠EFM=∠A=60°

∴tan60°=■

即■=■

解得t=■∴當(dāng)t=■時，△AFM∽△FME

理清這樣一個過程，其實就是在宏觀俯視問題的基礎(chǔ)上，在現(xiàn)有已知條件中，分化問題到不同的圖形，于是復(fù)雜的問題便得到了相對的簡化，再從不同圖形的性質(zhì)、判定、公式、定理等中找到可利用的等量關(guān)系，從而構(gòu)成函數(shù)、方程式，這個過程往往會殊途同歸，只要能走得通，走得簡練，便是好路。

在教學(xué)中，動點問題涉及的知識點都是比較多的，要想按照既往的教學(xué)方式，采用多做題來形成或強化學(xué)生的解題思路，個人覺得有一定難度，不如將題目逐一清晰明了剖析給學(xué)生來得有效，分析一題，就要讓學(xué)生完全明白一題，不僅要明白怎么解決該題，更重的是要從中抽象出規(guī)律性的思路，然后在做題過程中，強化的就是這個思路，而不是每一道題的變化，讓學(xué)生的思路行走在動與不動之間。

參考文獻(xiàn)：

朱紅.淺談中考中動點問題的解決方法[J].新課程學(xué)習(xí)：中，2012（5）.

（作者單位 江蘇省徐州市第26中學(xué)）

編輯 王志慧