【摘 要】許多具有自然性的形體如云彩、閃電、雪花、珊瑚等無法納入歐氏幾何里的幾何形中準(zhǔn)確描述。于是人們需要新的幾何語言，芒德勃羅創(chuàng)立的分形幾何學(xué)應(yīng)運而生。正如歐氏幾何有傳統(tǒng)的藝術(shù)與之對應(yīng)，分形幾何也有與之相對應(yīng)的新的藝術(shù)，這就是“分形藝術(shù)”。本文僅從分形圖形的結(jié)構(gòu)探討它對傳統(tǒng)平面構(gòu)成學(xué)的影響與超越。

【關(guān)鍵詞】分形理論；分形藝術(shù)；平面構(gòu)成學(xué)；分形結(jié)構(gòu)

0 前言

在藝術(shù)設(shè)計教學(xué)中，用歐氏幾何點、線、面等幾何元素構(gòu)造出的三角形、矩形、圓等幾何圖形和幾何體按照構(gòu)成美學(xué)原理進(jìn)行創(chuàng)造性的組合，是造型教學(xué)的一個重要組成部分。這是因為基于歐氏幾何的藝術(shù)創(chuàng)作，比如像埃及的三角錐形金字塔、古希臘具有黃金分割律的建筑與藝術(shù)造型，都體現(xiàn)出了歐氏幾何整齊、明快的線條美?？墒侨藗兛偸窃谙肴绾文芨?xì)微地描繪自然形態(tài)，雖然自然界里的晶體、蜂巢等類物體，可以通過六角形、圓、立方體、四面體、正方體、三角形等形象來表述，但許多具有自然性的形體如云彩、閃電、姜塊、雪花、珊瑚等，都無法納入歐氏幾何里的幾何形中準(zhǔn)確描述。這樣自然形與幾何形一起呈現(xiàn)在了構(gòu)成學(xué)之中。為此需要新的幾何語言，芒德勃羅創(chuàng)立的分形幾何學(xué)應(yīng)運而生。

芒德勃羅把具有部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形（Fractal），這個單詞由拉丁語Frangere衍生而成，該詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。

在芒德勃羅的研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)。Mandelbrot集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱為分形理論（Fractal theory）或分形幾何學(xué)（Fracal geometry）。

正如歐氏幾何有傳統(tǒng)的藝術(shù)與之對應(yīng)，分形幾何也有與之相對應(yīng)的新的藝術(shù)，這就是“分形藝術(shù)”。

分形藝術(shù)與構(gòu)成學(xué)事實上早有聯(lián)系，只是到了數(shù)字時代才將它們展示出來。在歷史上，早就有藝術(shù)家和數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出來過一些抽象的分形形式的繪畫，只是他們還沒有意識到這里面包含的更深層次的理論。如文藝復(fù)興時期著名藝術(shù)家、科學(xué)家丟勒的五邊形（圖1）、荷蘭藝術(shù)家埃舍爾的《魚和鱗》（圖2）。

圖1 圖2

近20多年，分形已成為研究和處理不規(guī)則圖形的強(qiáng)有力的理論工具，應(yīng)用范圍涉及到自然科學(xué)、社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，起著貫穿與連接現(xiàn)代科學(xué)各個領(lǐng)域的作用。

1 分形的概念

分形的描述性定義是這樣的：把具有如下性質(zhì)的對象F稱為分形；

1）F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì)節(jié)；

2）F是不規(guī)則的以至于它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；

3）F通常有某種自相似的形式，可能是近似的或是統(tǒng)計的；

4）一般地，F(xiàn)的“分形維數(shù)”（以某種方式定義）大于它的拓樸維數(shù)；

5）在大多數(shù)情形下，F(xiàn)以非常簡單的方法定義，可能由迭代產(chǎn)生。

根據(jù)以上定義我們把在形態(tài)、功能和信息等方面具有以上性質(zhì)的對象稱為分形。定義中的自相似性是指局部的形態(tài)與整體的形態(tài)相似，局部與整體相互依賴。自相似性是分形最明顯的特征，其它的特征包括無限復(fù)雜、無限細(xì)致等。但針對不同分形圖形，有時它可能只具有上面大部分性質(zhì)，而不滿足某個性質(zhì)，但一般仍然把它歸入分形。具有分形結(jié)構(gòu)的圖形見圖3、圖4。

2 分形藝術(shù)與構(gòu)成學(xué)

作為構(gòu)成形式的另一種形式：分形構(gòu)成同樣滿足傳統(tǒng)構(gòu)成學(xué)的美學(xué)形式規(guī)律，并有以下兩點超越：

1）對“對稱與均衡”律的超越：分形圖形最明顯的特征是自相似性，它的自相似性是指局部的形態(tài)與整體的形態(tài)相似，局部與整體相互依賴。分形的對稱性即表現(xiàn)了傳統(tǒng)幾何的上下、左右及中心對稱。同時它的自相似性又揭示了一種新的對稱性，即畫面的局部與更大范圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。這種對稱不同于歐幾里德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即圖案中的每一元素都反映和含有整個圖案的性質(zhì)和信息。見上文圖2、圖3。

2）對“節(jié)奏與韻律”律的超越：我們注意到，不論是自然界中的個體分形形態(tài)，還是數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的分形圖案，都有無窮嵌套、細(xì)分再細(xì)分的自相似的幾何結(jié)構(gòu)。這即是圖案的遞歸：圖案之中套圖案，在越來越小的尺度上產(chǎn)生細(xì)節(jié)，形成無窮無盡的精致結(jié)構(gòu)。因此，分形圖案不論在深度還是廣度上都是無限的。換言之，談到分形，我們事實上是開始了一個動態(tài)過程。在這個動態(tài)過程中我們感受到的節(jié)奏與韻律，不再完全是傳統(tǒng)意義下的條理性、重復(fù)性、連續(xù)性和自由性，而是體現(xiàn)在分形圖形生成過程中的遞歸性、無限性、精致性、統(tǒng)計性。見圖5。

圖5

3 分形造型的實現(xiàn)方法

分形造型可分為兩種方法實現(xiàn)：一種是計算機(jī)程序生成。根據(jù)分形原理，自相似性、無限復(fù)雜、無限細(xì)致是分形最明顯的特征，同時它由迭代產(chǎn)生。要獲得超越人腦思維且具有很大的隨機(jī)性和任意性，但又往往出人意料地新穎別致、奇特和多變的分形作品，要借助計算機(jī)來進(jìn)行創(chuàng)作。因為不論多么復(fù)雜多變的分形圖形都源于一個極其簡單的形象（生成元），即一個簡單程序的大量重復(fù)。這種大量重復(fù)對人工計算或人工制作來說是無法想像的，但對計算機(jī)來說只是一個簡單的指令。一種是通過手工完成，即用手工完成計算機(jī)的迭代操作（也可以用其他辦法），創(chuàng)造出各種豐富多彩的分形圖形。即計算機(jī)并不是必需的，但分形思想則是必不可少的。

總之分形理論對構(gòu)成教學(xué)不僅僅是新加入了一種構(gòu)成形式，而是注入了新的認(rèn)知理念和方法，它豐富和完善了構(gòu)成學(xué)理論：即有了“歐氏幾何”與“分形幾何”理論的共同支撐。因此對于已知圖形我們可用“分形”構(gòu)成和“整形”構(gòu)成多視角地去欣賞它、解釋它、分析它；對于未知圖形我們可用“分形”構(gòu)成和“整形”構(gòu)成相互融合地去構(gòu)思它、創(chuàng)作它，以期達(dá)到“分形”和“整形”的完美結(jié)合，從而創(chuàng)作出更多具有奇思妙想充滿設(shè)計智慧的優(yōu)秀作品。

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[責(zé)任編輯：陳雙芹]