數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)主要是抽象性和邏輯性，但從人類(lèi)數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。一個(gè)學(xué)生如果不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好是不可能的?？?tīng)柲曷宸蛘f(shuō)：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問(wèn)題從幾何上視覺(jué)化。”因此，在新形勢(shì)下用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，會(huì)改善人們的認(rèn)知環(huán)境?！稁缀萎?huà)板》是一塊“動(dòng)態(tài)的黑板”?！稁缀萎?huà)板》有助于幫助學(xué)生在圖形的變化中把握不變的幾何規(guī)律，深入幾何的精髓。這是其它教學(xué)手段所不可能做到的，真正體現(xiàn)了計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)。利用它的動(dòng)態(tài)性和形象性，還可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境。學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀(guān)察圖形、猜測(cè)并驗(yàn)證，在觀(guān)察、探索、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明。因此，《幾何畫(huà)板》還能為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)進(jìn)行幾何“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想。

《幾何畫(huà)板》是一個(gè)“個(gè)性化”的面向?qū)W科的工具平臺(tái)。這樣的平臺(tái)能幫助老師在教學(xué)中使用現(xiàn)代教育技術(shù)，也能幫助學(xué)生更好地把握學(xué)科的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)他們的觀(guān)察能力、問(wèn)題解決能力，并發(fā)展思維能力。我根據(jù)近幾年教學(xué)實(shí)踐，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中《幾何畫(huà)板》的應(yīng)用主要有四個(gè)方面：

一、《幾何畫(huà)板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最基本的概念，而數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的最有效最直觀(guān)的辦法。尤其是當(dāng)函數(shù)圖象運(yùn)動(dòng)時(shí)教師僅告訴學(xué)生怎么運(yùn)動(dòng)學(xué)生想象不來(lái)，應(yīng)用幾何畫(huà)板快速直觀(guān)的顯示及動(dòng)態(tài)功能則可以克服學(xué)生想象困難，變抽象為可測(cè)、可控、可看，數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)中理解，在變化中掌握，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事半功倍的效果。

例1：求二次函數(shù)y=x2-2ax+1在區(qū)間[0，1]上最小值。

學(xué)生最難理解的就是對(duì)稱(chēng)軸x=a在區(qū)間[0，1]左邊，之間，右邊變化時(shí)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的圖象隨a的變化而變化。利用《幾何畫(huà)板》的參數(shù)功能，把a(bǔ)設(shè)置成一個(gè)參數(shù)，或者設(shè)置成一條直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用繪圖/繪制新函數(shù)，得到函數(shù)y=x2-2ax+1在區(qū)間R上的圖象，改變a的取值，觀(guān)察圖象在區(qū)間[0，1]上的變化，由圖象確定最小值。

利用《幾何畫(huà)板》的“繪制點(diǎn)”動(dòng)畫(huà)作圖功能，在區(qū)間[0，1]上構(gòu)造線(xiàn)段，選取該線(xiàn)段，構(gòu)造線(xiàn)段上的點(diǎn)，記橫坐標(biāo)為x，然后計(jì)算：x2-2ax+1，繪圖/繪制點(diǎn)（以x為橫坐標(biāo)，以 x2-2ax+1為縱坐標(biāo)），選中繪制點(diǎn)，追蹤繪制點(diǎn)，手動(dòng)構(gòu)造線(xiàn)段上的點(diǎn)（改變x的值）或顯示運(yùn)動(dòng)控制臺(tái)，便得區(qū)間[0，1]上對(duì)稱(chēng)軸為x=a的函數(shù)圖象。

例2：利用正弦線(xiàn)作正弦曲線(xiàn)。

在單位圓中作出[0，2π]中任意角的正弦線(xiàn)，通過(guò)幾何辦法描出點(diǎn)B′，然后追蹤點(diǎn)B′，當(dāng)點(diǎn)B在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)在[0，2π]點(diǎn)B′的軌跡為一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線(xiàn)。

例3：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象如何變換而得？

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生原來(lái)通過(guò)具體的作圖歸納總結(jié)出變換規(guī)律來(lái)回答，而學(xué)生不懂的恰好是這個(gè)由歸納推理怎么得出變換規(guī)律，利用《幾何畫(huà)板》完美地解決了這個(gè)思維障礙，是通過(guò)引入四個(gè)參數(shù)A、ω、φ、B的變動(dòng)而獲得。《幾何畫(huà)板》在函數(shù)圖象變換中真正能感受到平移和伸縮。

以上三例僅是《幾何畫(huà)板》在高中代數(shù)中的典型應(yīng)用，由此可以波及整個(gè)高中代數(shù)教學(xué)中。

二、《幾何畫(huà)板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它是以公理為基礎(chǔ)，根據(jù)圖形的點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì)，這一點(diǎn)與《幾何畫(huà)板》的作圖以點(diǎn)、線(xiàn)、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)這些基本元素的變換、構(gòu)造、測(cè)算、計(jì)算、動(dòng)畫(huà)、跟蹤軌跡等，構(gòu)造出其它較為復(fù)雜的圖形的思想方法吻合。從平面圖形到空間圖形，從平面觀(guān)念到立體觀(guān)念，從“固定的黑板”到“動(dòng)態(tài)的黑板”，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。

例1：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的生成問(wèn)題。

圓柱、圓錐、圓臺(tái)分別可看成是矩形、直角三角形、直角梯形繞軸（直角邊）旋轉(zhuǎn)而得。這樣，學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)體自然、具體，形象、生動(dòng)。

例2：二面角隨平面角的大小而改變。

學(xué)生學(xué)習(xí)二面角有兩個(gè)難點(diǎn)：一是二面角用其平面角度量想不通，二是找不見(jiàn)平面角。用《幾何畫(huà)板》的旋轉(zhuǎn)功能旋轉(zhuǎn)平面會(huì)發(fā)現(xiàn)二面角的大小與其平面角的大小完全一致，和諧統(tǒng)一，故而二面角用其平面角度量自然，恰當(dāng)。而找平面角實(shí)質(zhì)上是找到一個(gè)與二面角的公共棱垂直的平面，這個(gè)平面與二面角的交線(xiàn)為平面角。

通過(guò)這兩個(gè)例子，拋磚引玉，《幾何畫(huà)板》為你的立體幾何教學(xué)添光增彩、起“死”回“生”。

三、《幾何畫(huà)板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，曲線(xiàn)與方程的關(guān)系，反映了空間形式與數(shù)量關(guān)系之間的辯證統(tǒng)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。比較抽象，學(xué)生不易理解，展示幾何圖形變化與運(yùn)動(dòng)的整體過(guò)程在解析幾何教學(xué)中是難點(diǎn)，通過(guò)《幾何畫(huà)板》很容易突破難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成思想方法，獲得結(jié)論。

例1：利用橢圓定義作橢圓。

利用橢圓定義作橢圓是把“到兩定點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)”用定長(zhǎng)的繩子來(lái)代替，而《幾何畫(huà)板》能創(chuàng)造“實(shí)驗(yàn)”環(huán)境，把定長(zhǎng)的繩子轉(zhuǎn)化為圓的半徑，利用圓上的動(dòng)點(diǎn)和交點(diǎn)的可追蹤畫(huà)出橢圓。

把圓內(nèi)的一點(diǎn)拖至圓外，將有意外收獲，可畫(huà)出雙曲線(xiàn)。

例2：已知拋物線(xiàn)y=x2，過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)（0，4）任作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交與A，B兩點(diǎn)，求過(guò)A，B兩點(diǎn)與拋物線(xiàn)相切的兩直線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡。

首先，在拋物線(xiàn)上構(gòu)造任意一點(diǎn)A（可動(dòng)點(diǎn)），過(guò)A與點(diǎn)（0，4）作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)與點(diǎn)B，利用《幾何畫(huà)板》度量A，B兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，然后“計(jì)算”過(guò)這兩點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為橫坐標(biāo)的二倍（由導(dǎo)函數(shù)可知），利用《幾何畫(huà)板》繪圖/繪制新函數(shù)功能繪制出過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線(xiàn)，追蹤交點(diǎn)，手動(dòng)A點(diǎn)或通過(guò)運(yùn)動(dòng)控制臺(tái)得出交點(diǎn)的軌跡。

例3：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。

線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的“咽喉”是上下平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)可行域內(nèi)的最優(yōu)點(diǎn)時(shí)取得最值，而我們?cè)谧鳂I(yè)上或黑板上不可能使直線(xiàn)上下平移，只能口頭敘述，作一條直線(xiàn)以示意動(dòng)直線(xiàn)（實(shí)質(zhì)上動(dòng)不了），通過(guò)《幾何畫(huà)板》解決了動(dòng)直線(xiàn)動(dòng)不了的難點(diǎn)，學(xué)生理解上的障礙被排除，一切便迎刃而解。

《幾何畫(huà)板》走進(jìn)解析幾何課堂，如魚(yú)得水，實(shí)現(xiàn)了口頭上的“變”為真真切切的“變”。

四、《幾何畫(huà)板》在概率教學(xué)中的應(yīng)用

用《幾何畫(huà)板》模擬作出概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中的平面圖形或空間圖形，使問(wèn)題由“想象”圖形變?yōu)椤翱梢暋眻D形，完成了一位“畫(huà)家”的創(chuàng)作，變抽象為具體，找到了打開(kāi)數(shù)學(xué)大門(mén)的鑰匙。

例1：x，y∈[0，1]，求滿(mǎn)足x2+y2<1的概率。

把x，y看成二維直角坐標(biāo)系中的變量，則可畫(huà)出圖形，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形的內(nèi)切圓與正方形的面積之比為所求的概率。

變式訓(xùn)練：x，y，z∈[0，1]，求滿(mǎn)足x2+y2+z2<1的概率。

把x，y，z看成三維直角坐標(biāo)系中的變量，則可畫(huà)出空間圖形，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方體的內(nèi)切球與正方體的體積之比為所求的概率。

例2：投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率是多少？

利用《幾何畫(huà)板》制作投擲硬幣的模擬試驗(yàn)：先利用動(dòng)畫(huà)生成隨機(jī)點(diǎn)，通過(guò)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩條線(xiàn)段控制硬幣的正、反面，模擬投擲硬幣的過(guò)程，然后通過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)設(shè)計(jì)計(jì)算器，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)，再通過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)設(shè)計(jì)復(fù)位器。當(dāng)投擲次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)硬幣出現(xiàn)正面和反面的頻率幾乎相等，故出現(xiàn)正面的概率用頻率估計(jì)為0.5。

變式訓(xùn)練：投擲一枚骰子，正面出現(xiàn) “1”的概率是多少？

《幾何畫(huà)板》在概率方面的應(yīng)用還在初始摸索階段，有待開(kāi)發(fā)和利用。

綜上所述，利用《幾何畫(huà)板》進(jìn)行高中數(shù)學(xué)輔助教學(xué)，通過(guò)具體的感性的認(rèn)識(shí)，得到理性的認(rèn)識(shí)，通過(guò)幾何動(dòng)態(tài)得到數(shù)學(xué)結(jié)論，極大地激發(fā)了學(xué)生的情感，培養(yǎng)了學(xué)生的興趣，提高了學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力，真正提高數(shù)學(xué)課堂效率。《幾何畫(huà)板》是高中數(shù)學(xué)教學(xué)成為高效課堂的現(xiàn)代化設(shè)備。