【摘 要】Mercer核技術(shù)將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)非線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)換到高維特征空間，提高了模式的可分性，解決了維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。但是，未經(jīng)過(guò)優(yōu)化的核聚類(lèi)算法不能有效地解決實(shí)際問(wèn)題，如醫(yī)學(xué)圖像分割。為了提高核聚類(lèi)算法速度，人們提出了不同的優(yōu)化方法。結(jié)合KFCM-I的聚類(lèi)效果及KFCM-II的效率，本文提出了一種基于精簡(jiǎn)集的快速核聚類(lèi)算法，該方法優(yōu)于相關(guān)算法，并應(yīng)用在了MRI圖像分割上。通過(guò)對(duì)MRI腦Phantom圖像的分割結(jié)果表明，該方法不但提高了核聚類(lèi)算法的計(jì)算復(fù)雜度，并且通過(guò)參數(shù)調(diào)整達(dá)到較好的分割效果。

【關(guān)鍵詞】核聚類(lèi)算法 高斯核參數(shù)估計(jì) 圖像分割 核磁共振成像

一、引言

對(duì)于腦部MRI圖像分析，精確分割出不同的組織在醫(yī)院研究中扮演著非常重要的角色。過(guò)去幾十年，已經(jīng)有很多方法應(yīng)用于MRI圖像的分割。在這些方法中，模糊聚類(lèi)算法已經(jīng)被證實(shí)為一種有效的圖像分析方法[1，5]。但是，由于受隨機(jī)噪聲及強(qiáng)度偏置場(chǎng)的影響，利用模糊聚類(lèi)算法實(shí)現(xiàn)圖像分割仍是一項(xiàng)困難的工作。為了提高聚類(lèi)效果，可以采用不同的改進(jìn)算法。其中，Mercer核技術(shù)[3，5]具有較好的效果。該算法通過(guò)核映射將輸入模式轉(zhuǎn)換到高維的特征空間（稱(chēng)為核空間），提高了模式的可分性，并在高維特征空間中構(gòu)造線(xiàn)性判別函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)輸入空間中的非線(xiàn)性判別函數(shù)，同時(shí)巧妙地解決了維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。核聚類(lèi)算法基于上述理論，將映射模式應(yīng)用于傳統(tǒng)的聚類(lèi)算法[3]。雖然該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，但是在解決實(shí)際問(wèn)題中相當(dāng)耗時(shí)，如MRI圖像分割。為了提高核聚類(lèi)算法效率，人們提出了不同的優(yōu)化算法。例如，文獻(xiàn)[5]利用原像技術(shù)替代映射數(shù)據(jù)的線(xiàn)性和，提出了一種改進(jìn)的聚類(lèi)算法，稱(chēng)為KFCM-II。該方法大大降低了直接核化FCM得到的KFCM-I算法的時(shí)間復(fù)雜度。

區(qū)別于文獻(xiàn)[5]提出的算法，本文提出了一種快速的核聚類(lèi)算法，表示為KFCM-III。該方法不需要所有的映射樣本來(lái)表示聚類(lèi)中心。通過(guò)對(duì)醫(yī)學(xué)MRI圖像的分割結(jié)果證明了算法的有效性。

二、FCM、KFCM-I以及KFCM-II

（一）模糊聚類(lèi)算法（FCM）

FCM（Fuzzy C-Means）是一種無(wú)監(jiān)督的聚類(lèi)方法，可以將個(gè)輸入數(shù)據(jù)（向量）聚成（）類(lèi)。該方法可以通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最小化獲得：

表明數(shù)據(jù)屬于第類(lèi)，并且滿(mǎn)足。表明第類(lèi)的聚類(lèi)中心，并且在最小化公式（1）的過(guò)程中，表示為所有輸入樣本的加權(quán)和。

使用拉格朗日乘子法，對(duì)公式（1）最小化，分別求出和兩個(gè)迭代方程。聚類(lèi)過(guò)程是對(duì)這兩個(gè)方程進(jìn)行循環(huán)迭代，直到收斂。將表示為，最終被歸為第類(lèi)，從而將模糊聚類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)硬分類(lèi)問(wèn)題。

（二）Mercer核及KFCM-I

Mercer隱含著對(duì)應(yīng)一個(gè)從原始空間到一個(gè)高維核空間的映射，提高了模式的可分性。在核特征空間的模糊聚類(lèi)，稱(chēng)為KFCM-I（核化的FCM）。該聚類(lèi)方法可以通過(guò)最小化公式（1）的核化版本來(lái)實(shí)現(xiàn)：

式中是第類(lèi)的核聚類(lèi)中心。類(lèi)似地，兩個(gè)迭代方程可以描述如下：

因?yàn)楹瘮?shù)是隱性的，公式（3）和（4）不能直接進(jìn)行計(jì)算，需要采用另外一種求解方法。故不能通過(guò)表示成映射模式的加權(quán)和為顯式得到。

Mercer核方法提供了一種巧妙地方法解決上述問(wèn)題，表示為，滿(mǎn)足如下條件：

因?yàn)楣剑?）可以進(jìn)行顯式地展開(kāi)，那么就可以避開(kāi)直接計(jì)算公式（4）。聚類(lèi)初始化后，可以迭代計(jì)算公式（3）和公式（6）直至收斂，將模糊聚類(lèi)結(jié)果轉(zhuǎn)換為一個(gè)硬分類(lèi)。

從上面可以不難看出，公式（6）是整個(gè)計(jì)算過(guò)程中最復(fù)雜的部分，計(jì)算復(fù)雜度為，為迭代的次數(shù)，在大多數(shù)情況下大于10。

雖然KFCM-I提供了一種有效的聚類(lèi)方法，并且可以用于解決維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題。但計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高，很難用于實(shí)際應(yīng)用中。

（三）KFCM-II及原像技術(shù)

因?yàn)楣剑?）計(jì)算復(fù)雜度較高，為了提高KFCM-I的效率，需要對(duì)其簡(jiǎn)化。為了解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]通過(guò)最小化如下目標(biāo)函數(shù)提出一種新的聚類(lèi)算法：

KFCM-II算法基本思想是基于可以替換為，（），也就是說(shuō)的原像存在。如果該假設(shè)成立，使用拉普拉斯乘子法，迭代方程可以得到簡(jiǎn)化。

不幸的是，使用替代并不恰當(dāng)。文獻(xiàn)[3]指出對(duì)于高斯核不存在映射數(shù)據(jù)加權(quán)和的原像。原像估計(jì)技術(shù)可能對(duì)聚類(lèi)模型帶來(lái)一些缺陷。例如，因?yàn)樵谥酗@式獲得，所以KFCM-II從特征空間退化為中對(duì)應(yīng)的一個(gè)聚類(lèi)。

三、KFCM-III及精簡(jiǎn)集

（一）核聚類(lèi)平方擴(kuò)展的簡(jiǎn)化

為了克服KFCM-II模型的缺陷，同時(shí)保持聚類(lèi)的有效性?；诰?jiǎn)集概念，本文提出一種新的聚類(lèi)方法，稱(chēng)為KFCM-III。

不難發(fā)現(xiàn)，KFCM-I和KFCM-II使用所有輸入樣本來(lái)表示聚類(lèi)中心（參見(jiàn)公式（4）和（11）），但該公式并不是最優(yōu)的。本文僅使用部分典型樣本來(lái)表示聚類(lèi)中心，我們將第類(lèi)的典型樣本標(biāo)記為精簡(jiǎn)集，它是的一個(gè)子集。所以，對(duì)于由類(lèi)組成的整體，則存在個(gè)精簡(jiǎn)集。如果我們定義如下公式，則核聚類(lèi)中心可以表示為精簡(jiǎn)集中元素的線(xiàn)性和，。如果選擇的恰當(dāng)，則能得到較好的聚類(lèi)結(jié)果。直觀(guān)上，不應(yīng)過(guò)大或者過(guò)小，并且精簡(jiǎn)集的選擇應(yīng)當(dāng)保留足夠的樣本可分性。那么可以描述如下：

由公式（10）和公式（6）比較可知，KFCM-III相對(duì)KFCM-I的效率得到了大大的提高。

（二）精簡(jiǎn)集參數(shù)

從上述分析我們可以看出，KFCM-III的性能很大程度上依賴(lài)于精簡(jiǎn)集的選擇是否得當(dāng)。對(duì)于特定類(lèi)，我們選擇具有較多成員的樣本作為典型集。類(lèi)似于公式（7）的加權(quán)系數(shù)，我們定義系數(shù)如下：

對(duì)于核聚類(lèi)，高斯核參數(shù)的估計(jì)也是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。不同于文獻(xiàn)[5]使用的反復(fù)試驗(yàn)的方法，我們將設(shè)置為高斯指數(shù)函數(shù)的拐點(diǎn)，滿(mǎn)足如下公式：

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

（一）合成和MRI圖像分割實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的分割效果，本文對(duì)MR Phantom圖像進(jìn)行了分割實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析。該數(shù)據(jù)提供了定量比較分割準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn)分割結(jié)果，并允許在不同的噪聲和偏置場(chǎng)[2]條件下的比較分析。

圖1：利用KFCM-III對(duì)T1加權(quán)的三維MRI phantom數(shù)據(jù)的分割結(jié)果：（a）原始圖像；（b）原始圖像的分割結(jié)果；（c）均值濾波圖像的分割結(jié)果；（d）中值濾波圖像的分割結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中的隸屬度指數(shù)取，并且為了更清楚有效地描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們選取像素的灰度向量作為輸入模式。為了比較相關(guān)算法的性能，我們分別采用KFCM-I、KFCM-II和KFCM-III對(duì)原始圖像、中值濾波圖像和均值濾波圖像進(jìn)行分割，其中濾波模板大小為。

在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們選取T1加權(quán)的3D腦部phantom 數(shù)據(jù)，將感興趣區(qū)域分割為白質(zhì)（WM）、灰質(zhì)（GM）和脊髓液（CSF）。在該實(shí)驗(yàn)中，使用KFCM-I（未采用預(yù)分類(lèi)策略）不能在合理的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的分割，對(duì)于KFCM-II和KFCM-III獲得相似的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖1給出利用KFCM-III得到的三維體積冠狀切片的分割結(jié)果。目標(biāo)phantom大小為像素，器官組織的分辨率為. 分割區(qū)域使用不同的灰度表示。因?yàn)镵FCM-II與KFCM-III具有相似的結(jié)果，圖中并未給出KFCM-II的分割結(jié)果。

但是，定量比較結(jié)果表明如果精簡(jiǎn)集選擇得當(dāng)，相對(duì)KFCM-II，KFCM-III將得到好的結(jié)果。

表1給出利用KFCM-II和KFCM-III對(duì)三維MRI腦部phantom數(shù)據(jù)的分割精度。主要包括在不同噪聲水平和不同強(qiáng)度的偏置場(chǎng)下，對(duì)原始圖像、均值濾波圖像及中值濾波圖像的分割結(jié)果。

分割精度定義為分割正確的像素個(gè)數(shù)除以所有的像素個(gè)數(shù)。符號(hào)pnXrfY（例如pn9rf20）表示在X%和Y%偏置場(chǎng)下圖像的分割結(jié)果。為了描述上的方便，我們?cè)谙嗤?jiǎn)集參數(shù)下，利用KFCM-III進(jìn)行分割。例如，在表1中，表明對(duì)于三個(gè)聚類(lèi)類(lèi)而言，精簡(jiǎn)集中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)都等于30。實(shí)際上，精簡(jiǎn)集參數(shù)可以不同并且可以選擇更合理一點(diǎn)。關(guān)于參數(shù)選擇有待進(jìn)一步的研究。從表1中可以看出，即使所有的參數(shù)都相同，KFCM-III仍能得到好于KFCM-II的分割結(jié)果。

（二）執(zhí)行時(shí)間效率

KFCM-III的計(jì)算復(fù)雜度和時(shí)間效率依賴(lài)于精簡(jiǎn)集參數(shù)的選擇。如果所有參數(shù)設(shè)置為最大，則KFCM-III轉(zhuǎn)化為KFCM-I. 一般來(lái)說(shuō)，KFCM-III相對(duì)KFCM-II，計(jì)算有點(diǎn)復(fù)雜。但是，在調(diào)整好的參數(shù)下，取得更好的分割效果。

圖5給出聚類(lèi)過(guò)程中一次迭代的計(jì)算時(shí)間，大約為的平方函數(shù)，驗(yàn)證了上述的理論分析。

五、結(jié)論

本文提出了一種基于快速核聚類(lèi)算法（稱(chēng)為KFCM-III），并用于MRI圖像的分割。提出算法使用精簡(jiǎn)集概念來(lái)加速聚類(lèi)速度。本文中，KFCM-I和KFCM-II可以看著KFCM-III的兩個(gè)特例，在調(diào)整好的參數(shù)下，KFCM-III性能優(yōu)于KFCM-I和KFCM-II. 該提出算法不但降低了計(jì)算復(fù)雜度，并且提高了聚類(lèi)效果。但是，參數(shù)的選擇需要進(jìn)一步的研究。通過(guò)對(duì)MRI圖像分割結(jié)果表明，該方法優(yōu)于相關(guān)算法，達(dá)到較好的分割效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]Weiling Cai， Songcan Chen， and Daoqiang Zhang. Fast and robust fuzzy C-means clustering algorithms incorporating local information for image segmentation. Pattern Recognition， 40（3）：825-838， 2007.

[2]D Louis Collins， Alex P Zijdenbos， Vasken Kollokian， John G Sled， Noor J Kabani， Colin J Holmes， and Alan C Evans. Design and construction of a realistic digital brain phantom. IEEE Transactions on Medical Imaging， 17（3）：463-468， 1998.

[3]Bernhard Scholkopf， Sebastian Mika， Chris JC Burges， Philipp Knirsch， K-R Muller， Gunnar Ratsch， and Alex J Smola. Input space versus feature space in kernel-based methods. Neural Networks， IEEE Transactions on， 10（5）：1000-1017， 1999.

[4]Uros Vovk， Franjo Pernus， and Bostjan Likar. A review of methods for correction of intensity inhomogeneity in MRI. IEEE Transactions on Medical Imaging， 26（3）：405-421， 2007.

[5]Dao-Qiang Zhang and Song-Can Chen. A novel kernelized fuzzy C-means algorithm with application in medical image segmentation. Artificial intelligence in medicine， 32（1）：37-50， 2004.