【摘 要】Newton迭代法利用“切線逼近”的辦法，在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程。但存在計(jì)算精度與求解迭代計(jì)算量大的矛盾，本文借助工程實(shí)例，分析了Newton迭代法在求解一類高階微積分方程的誤差。

【關(guān)鍵詞】高階微積分方程 Newton迭代法 求解誤差

在實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域，存在很多復(fù)雜的微積分方程，這類微積分方程難以使用初等的解法進(jìn)行求解，其解析表達(dá)式的找出也十分的困難。為此，一般使用數(shù)值求解法解決這類復(fù)雜的微積分方程。隨著電腦技術(shù)的發(fā)展，高階微積分方程數(shù)值求解方式也得到了一定的發(fā)展，該種求解方式能夠很好的解決工程技術(shù)領(lǐng)域和自然科學(xué)領(lǐng)域的復(fù)雜方程。就現(xiàn)階段來看，高階微積分?jǐn)?shù)值求解方式已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作人員研究的重點(diǎn)問題之一。下面就針對(duì)一類四階微積分方程的差分迭代解法進(jìn)行深入的分析。

一、四階微積分方程模型的建立

一桁車橫梁模型，其中桁車橫梁長度為L，在豎直方向的變形位移與載荷可以用下述方程描述[1]：

（1.1）

其中；載荷為桁車橫梁自重與承載之和。由桁車的支撐邊界，其該方程的初始條件為： 。在式（1.1）中，均為常數(shù)，為上的連續(xù)非負(fù)（或非正）函數(shù)，其正負(fù)取決于的定義方向。

目前，對(duì)此類高階方程已進(jìn)行了深入的分析和研究。本文結(jié)合有限差分法，利用Newton迭代的求解方法求解該方程。下面將該方程求解轉(zhuǎn)化為對(duì)非線性方程的求解[2]：

式（1.5）為一非線性方程。這樣就將初始微積分模型的求解轉(zhuǎn)化為求解方程式（1.5）。式（1.5）解的性質(zhì)取決于函數(shù)的性質(zhì)。

二、Newton迭代法求解方程步驟

一般情況下，對(duì)于的解析解的求解很復(fù)雜。Newton迭代法在處理非線性方面有著一定的優(yōu)勢，使用牛頓迭代法能夠?qū)⒑喕癁閇3]：

再將代入式（2.1）中，求出。并將和差的絕對(duì)值與期望所求精度進(jìn)行比較，為期望方程所求精度的一個(gè)無限小。如果>，那么迭代終止，否則將用代替，轉(zhuǎn)入下一輪繼續(xù)循環(huán)計(jì)算。

通俗的說，Newton迭代法其實(shí)也就是采用切線逼近的辦法求得一個(gè)在我們求解公差范圍內(nèi)的一個(gè)合理解。求解精度越小，計(jì)算結(jié)果的精度越高，但迭代次數(shù)會(huì)增加。

對(duì)的兩種不同形式的差商，分別定義為Newton法1和Newton法2[5]。

三、Newton迭代法計(jì)算高階方程結(jié)果分析

為驗(yàn)證該高階方程的迭代求解結(jié)果并分析其誤差，對(duì)式（1.1）中的參數(shù)取值為：，；令該微積分方程的解為：，則可計(jì)算出，再設(shè)定求解期望精度=10-8。其計(jì)算結(jié)果見表1所示：

通過計(jì)算結(jié)果來看，使用Newton迭代法來求解該類四階微積分模型時(shí)，當(dāng)?shù)螖?shù)進(jìn)行到一定次數(shù)后，其結(jié)果誤差能夠控制在期望精度范圍內(nèi)。雖然Newton法1與Newton法2結(jié)果稍有差異，但該兩種方法均能夠在所給誤差范圍內(nèi)，且產(chǎn)生的誤差并不是由于計(jì)算方法導(dǎo)致。Newton迭代法求解借助計(jì)算機(jī)計(jì)算，其求解速度快。能夠有效解決工程實(shí)際中難獲得解析解的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李有堂. 機(jī)械振動(dòng)理論與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2012.10

[2] ZHUANG Qing-qu. A Legendre spectral-element method for the one-dimensional fourth-order equations[J].Applied Mathematics and Computation，2011，218（7）：98-99

[3]SAMARSKⅡ A A. The theory of difference schemes[M].New York：Marcel Dekker，2001

[4] 李根. 基于數(shù)據(jù)的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[D].武漢：武漢科技大學(xué)，2010.

[5] 張軍. 數(shù)值計(jì)算[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.07

作者簡介：

楊春芝（1969-），女（漢族），遼寧昌圖人，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。