【摘 要】本文給出了Banach 空間中有下界泛函的一些定理，并通過偽梯度和極小化序列給出了經典的證明過程。

【關鍵詞】有下界泛函 偽梯度 PS-序列

一、引言

偽梯度向量場在許多文獻中廣泛應用[1][2][3]。如果一個泛函在兩個球上有相同的下確界，我們就能建立PS—序列的存在性結果。另一方面，通過偽梯度和極小化序列我們對有下界泛函的一些經典定理給出了證明。

二、主要定理

引理2.1 設E 是Banach 空間，E' 是E 的共軛空間。是連續(xù)映射，令對任意的存在一個局部利普希茲連續(xù)映射（即偽梯度向量場），使得

證明：取對使得

事實上，由，故上述的是存在的。

由的連續(xù)性，蘊含著存在u 的一個開鄰域 U（u），使得

因為連續(xù)對當時，

所以

又， 所以 .

那么，我們就能得到的一個開覆蓋{U（u）}，即存在一個局部有限加細和一個局部利普希茲連續(xù)單位分解，從屬于這個加細。對每個和某些，有。定義

因為是有限加細，只與有限個 相交，故 為有限項之和。

那么， 是局部利普希茲連續(xù)的，有

并且

證畢。

以下我們設是一個Banach 空間，

定理2.1 假設 使得

那么存在，使得

證明：首先由，可知存在，使得

下證 其中 對

用反證法： 使得 當 設

由引理2.1可知，使得

更進一步，V是局部利普希茲連續(xù)映射。設是柯西初值問題

的解。

對第一個等式右邊從0到t 積分，有

有

因此，

再由

所以關于t遞減，可知

又由

所以

這與 矛盾，所以

對于

所以

證畢。

接下來考慮C'（E，R）中的泛函族，其形式為

其中 是一個開區(qū)間，對

定理2.2 假設（A）或（B）成立，且對每個 有下界，那么，對每個 存在一個序列 ，使得

由定理2.1易證。

參考文獻：

[1] WENMING ZOU，MARTIN SCHECHTER. Critical Point Theory and Its Applicationgs[M].USA.2006.

[2] P.Bartolo，V.Benci and D.Fortunato， Abstract critical point theorems and applications to some nonlinear problems with strong resonance at infinity， Nonl. Anal.TMA，7（1983），981-1012.

[3] V.Benci and P.H.Rabinowitz，Critical point theorems for indefinite functionals， Invent，Math，52（1979），241-273.

作者簡介：

李海艷（1983—），女，陜西省千陽縣人，碩士，四川大學錦城學院基礎課部數學教研室助教。