2 化歸的思想方法
“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱(chēng)。化歸是數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的一般思想方法和解決問(wèn)題的一種策略。在數(shù)學(xué)方法中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學(xué)家在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行直接攻擊，而是把待解決的問(wèn)題進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化，直接歸結(jié)到一類(lèi)已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終獲得原問(wèn)題解答的一種手段和方法。
但是如果問(wèn)題較復(fù)雜，往往通過(guò)一次“化歸”還不能解決問(wèn)題，可連續(xù)地施行轉(zhuǎn)化，直到歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)能解決或較易解決的問(wèn)題，其“化歸”的次數(shù)是隨著問(wèn)題的難易而定。
中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問(wèn)題的一種最基本的思想。在具體內(nèi)容上，有加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開(kāi)方的轉(zhuǎn)化，以及添加輔助線(xiàn)，增設(shè)輔助元等等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段。因此，在教學(xué)中首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的。其次要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識(shí)的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價(jià)值的思想方法。在具體教學(xué)過(guò)程中設(shè)出問(wèn)題讓學(xué)生去觀察，探索轉(zhuǎn)化的路子。例如在求解分式方程時(shí)，運(yùn)用化歸的方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，進(jìn)而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時(shí)的“消元”，解一元二次方程時(shí)的“降次”都是化歸的具體體現(xiàn)。
3 數(shù)形結(jié)合的思想方法
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，也就是數(shù)與形。數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體，是中學(xué)數(shù)學(xué)論述的兩大重要內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合的思想方法是指在研究某一對(duì)象時(shí)，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，用代數(shù)方法分析圖形，借助圖形直觀理解數(shù)、式中的關(guān)系，使數(shù)與形各展其長(zhǎng)，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地結(jié)合起來(lái)。數(shù)形結(jié)合思想方法采用了代數(shù)方法與幾何方法中最好的方面：幾何圖形形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性與嚴(yán)謹(jǐn)性、解題過(guò)程的機(jī)械化、可操作性強(qiáng)，便于把握。因此數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的重要思想方法。
辯證唯物主義認(rèn)為，事物是互相聯(lián)系并在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化的?！靶巍迸c“數(shù)”既有區(qū)別又有聯(lián)系，直角坐標(biāo)系的建立產(chǎn)生了“坐標(biāo)法”，從而實(shí)現(xiàn)了它們之間的轉(zhuǎn)化。在代數(shù)與幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中，自始至終貫徹“數(shù)形結(jié)合”的思想。它不僅使幾何、代數(shù)、三角知識(shí)互相滲透融于一體，又能揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，在解題方法上簡(jiǎn)捷明快，獨(dú)辟蹊徑，既能開(kāi)發(fā)智力，又培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休，切莫忘，幾何、代數(shù)統(tǒng)一體；永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離”。數(shù)形結(jié)合，直觀又入微，不少精巧的解法正是數(shù)形相輔相成的產(chǎn)物。
數(shù)形結(jié)合的思想，可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問(wèn)題，加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，提供解決問(wèn)題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。數(shù)形結(jié)合的載體是數(shù)軸，依靠數(shù)軸反映出數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大飛躍。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法思考問(wèn)題，能給抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的幾何直觀，也能把幾何圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題去解決。
（1）由“數(shù)”思“形”，數(shù)形結(jié)合，用形解決數(shù)的問(wèn)題。
運(yùn)用圖形方法解題的關(guān)鍵在于圖形的構(gòu)造，而構(gòu)造圖形是一項(xiàng)創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，圖形的構(gòu)造無(wú)規(guī)則可循，也不能生搬硬套，墨守成規(guī)，同步自封。從宏觀上講，構(gòu)造圖形就是善于科學(xué)抽象，善于抓住起關(guān)鍵作用的一些量和相依關(guān)系，巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，式子規(guī)律去刻劃其內(nèi)在的關(guān)系。其思考途徑，用圖表示如圖1。
比如通過(guò)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值的定義，有理數(shù)大小比較的法則，函數(shù)等，可以大大減輕學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)的難度，數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。
（2）由“形”思“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合，用數(shù)解決形的問(wèn)題。
數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，常以純代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，即變抽象為具體來(lái)加以討論，以達(dá)到事半功倍之目的。其實(shí)，對(duì)于一些純幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題來(lái)解決也有此功效。
例如B、C為線(xiàn)段AD上兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若AD=a，Bc=b，則MN=？
分析：由題意可知，B、C兩點(diǎn)的位置有兩種情況（圖2）。
綜上所述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)際效果，或是化抽象為直觀，或是化技巧為程序操作，無(wú)論哪一種形式都更好地實(shí)現(xiàn)了從未知到已知的轉(zhuǎn)化，所以說(shuō)數(shù)形結(jié)合是轉(zhuǎn)化的一種手段。
4 分類(lèi)討論的思想方法
“分類(lèi)”源于生活，存在于生活，分類(lèi)思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中的基本邏輯方法，分類(lèi)思想方法是一種等價(jià)特殊化。其基本思想是：為了解決一個(gè)有關(guān)一般對(duì)象X的問(wèn)題，可將x分解為特殊的組合，而關(guān)于特殊對(duì)象的問(wèn)題是易于30724aa0145e7ae71d7f17b4e95f1d551c520fea1774572abf7585f5385526aa解決的。人們可以從這種對(duì)象的組合過(guò)渡到解的組合而獲德原問(wèn)題的解。
分類(lèi)也是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，它始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中。從整體布局上看，中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)、幾何兩大類(lèi)，采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類(lèi)思想的體現(xiàn)；從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類(lèi)，式的分類(lèi)，三角形的分類(lèi)，方程的分類(lèi)，函數(shù)的分類(lèi)等等，也是分類(lèi)思想的具體體現(xiàn)。對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的針對(duì)性，在教學(xué)需要時(shí)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，幫助他們掌握好分類(lèi)的方法原則，形成分類(lèi)的思想。
在初中數(shù)學(xué)中，分類(lèi)討論的問(wèn)題主要表現(xiàn)三個(gè)方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類(lèi)問(wèn)題需要分類(lèi)討論，如幾何中三角形的分類(lèi)、四邊形的分類(lèi)、角的分類(lèi)、圓周角定理、圓冪定理、弦切角定理等的證明，都涉及到分類(lèi)討論。（2）解含字母系數(shù)或絕對(duì)值符號(hào)的方程、不等式，討論算術(shù)根、正比例和反比例函數(shù)中的比例系數(shù)、二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a與圖象的開(kāi)口方向等，由于這些系數(shù)的取值不同或要去掉絕對(duì)值符號(hào)就有不同的結(jié)果，這類(lèi)問(wèn)題需要分類(lèi)討論。（3）有的數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然結(jié)論唯一，但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同，這類(lèi)問(wèn)題也要分類(lèi)討論。
分類(lèi)時(shí)要注意：（1）標(biāo)準(zhǔn)相同；（2）不重不漏；（3）分類(lèi)討論應(yīng)當(dāng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)。
5 函數(shù)與方程的思想方法
函數(shù)思想是指用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，分析數(shù)學(xué)與實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)這種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)并加以研究，從而使問(wèn)題獲得解決的思想。方程思想是指把表示變量問(wèn)關(guān)系的解析式看作方程，通過(guò)解方程或?qū)Ψ匠痰难芯?，使?wèn)題得到解決的思想。
函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映。它的本質(zhì)是變量之間的對(duì)應(yīng)。辯證唯物主義認(rèn)為，世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過(guò)程中，這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)。函數(shù)思想方法，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。它有別于象前面所述的幾種數(shù)學(xué)思想方法，它是內(nèi)容與思想方法的二位一體。初中代數(shù)中的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)雖然安排在初三學(xué)習(xí)，但函數(shù)思想從初一就已經(jīng)開(kāi)始滲透。這就要求教師在教學(xué)上要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地進(jìn)行函數(shù)思想方法的培養(yǎng)。
例如，進(jìn)行代數(shù)第一冊(cè)“求代數(shù)式的值”的教學(xué)時(shí)，通過(guò)強(qiáng)調(diào)解題的條件“當(dāng)？？時(shí)，”滲透函數(shù)的思想方法—— 字母每取一個(gè)值，代數(shù)式就有唯一確定的值。這實(shí)際上是把第三冊(cè)中函數(shù)問(wèn)題的一種前置，既滲透了函數(shù)思想方法，又為函數(shù)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。
又如，用直角三角形邊與邊的比值定義的銳角三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)系中，由角的終邊上一點(diǎn)引出的三個(gè)量x，y，r中任意兩個(gè)量之比定義任意角的三角函數(shù)等，一系列的知識(shí)體系，自始至終貫穿了函數(shù)、映射、對(duì)應(yīng)的思想方法。
再如，通過(guò)討論矩形面積一定時(shí)，長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系；長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬的關(guān)系；寬一定時(shí)，面積與長(zhǎng)的關(guān)系。將靜態(tài)的知識(shí)模式演變?yōu)閯?dòng)態(tài)的討論，這樣實(shí)際上就賦予了函數(shù)的形式，在學(xué)生的頭腦中就形成了以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去領(lǐng)會(huì)知識(shí)，這是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。
當(dāng)然，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法還有很多，如觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、歸納與類(lèi)比以及集合論的思想方法，幾何變換的思想方法等等。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中應(yīng)立足于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃的滲透、介紹和強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，減少盲目性和隨意性，去精心設(shè)計(jì)每一個(gè)單元、每一堂課的教學(xué)目標(biāo)以及問(wèn)題提出、情景創(chuàng)設(shè)等教學(xué)過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)。
只有讓學(xué)生掌握了這把金鑰匙，才能使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：（1）建模思想。（2）化歸思想，如在初中數(shù)學(xué)中，三元一次方程組可以化歸為二元一次方程組，二元一次方程組最終化歸為x=a的形式。
對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面：一方面是建模；另一方面是會(huì)解方程。對(duì)于后者來(lái)說(shuō)，解方程的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，即將新的問(wèn)題化歸為以前可以解決的問(wèn)題，利用以前的算法解決。這種化歸、迭代的思想正是當(dāng)代計(jì)算機(jī)的思想。
方程與函數(shù)思想緊密聯(lián)系、相互滲透，方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用可形成如下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)：方程思想—系數(shù)法、消元法、判別式法—求解析式、判別函數(shù)圖象之間的位置、求函數(shù)圖像交點(diǎn)。
上述數(shù)學(xué)思想不是孤立的，例如：運(yùn)用函數(shù)思想解題時(shí)，往往要借助函數(shù)圖像的直觀性，即同時(shí)又要用到數(shù)形結(jié)合思想。因此，在解題過(guò)程中，必須善于把握運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想的時(shí)機(jī)，對(duì)于一些難度較大，或綜合性較強(qiáng)，或背景較新穎的問(wèn)題，更應(yīng)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去尋求其合理解法，從而避免繁雜運(yùn)算，避免“超時(shí)失分”。
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