對(duì)于反比例函數(shù)y=■（k≠0）的比例系數(shù)k的意義，我們知道，當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大。反比例函數(shù)y=■還有一個(gè)非常重要的幾何意義，即過(guò)反比例函數(shù)y=■（k≠0）的圖像上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，與兩坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積都等于k；過(guò)反比例函數(shù)y=■（k≠0）圖像上任意一點(diǎn)作x軸或y軸的垂線，連接坐標(biāo)原點(diǎn)，與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積都等于■k。反比例函數(shù)k的幾何意義有著極為廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)歸納幾種情形供大家參考。

1.求系數(shù)k

（2012年遼寧省丹東市中考題）如圖1，點(diǎn)A是雙曲線y=■在第二象限分支上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B、C、D分別是點(diǎn)A關(guān)于x軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、y軸的對(duì)稱點(diǎn)。若四邊形ABCD的面積為8，則k的值為（ ）

A.-1 B.1 C.2 D.-2

分析 根據(jù)點(diǎn)B、C、D是關(guān)于點(diǎn)A的相關(guān)對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，四邊形ABCD是矩形，且點(diǎn)O是對(duì)稱中心，故4個(gè)小矩形面積相等且面積為2。反比例函數(shù)y=■過(guò)點(diǎn)A，根據(jù)系數(shù)k的幾何意義可知，k=2，結(jié)合點(diǎn)A所在的象限，即可求出k。

解 因?yàn)辄c(diǎn)B、C、D分別是點(diǎn)A關(guān)于x軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、y軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以四邊形ABCD是矩形，且O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，所以小矩形面積為2。

又因?yàn)镾小矩形=k，所以k=±2。

因?yàn)辄c(diǎn)A在第二象限，所以k=-2。故答案選D。

點(diǎn)評(píng) 此類問(wèn)題的求解除了要知道反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義外，還必須注意雙曲線所在的象限，從而準(zhǔn)確地確定k的符號(hào)。

2.求圖形的面積

（2012年黑龍江省黑河市中考題）如圖2，點(diǎn)A在雙曲線y=■上，點(diǎn)B在雙曲線y=■上，且AB∥x軸，點(diǎn)C、D在x軸上，若四邊形 ABDC為矩形，則它的面積為_________。

分析 依題意，若要求四邊形ABDC的面積，聯(lián)想反比例函數(shù)y=■（k≠0）的比例系數(shù)k的幾何意義，可延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)E，由此可知，四邊形EACO也是矩形，于是四邊形ABDC的面積等于四邊形EBDO的面積減去四邊形EACO的面積，利用比例系數(shù)k的幾何意義即可求解。

解 延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)E，因?yàn)樗倪呅蜛BDC為矩形，所以四邊形EACO也是矩形，又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線y=■上，所以四邊形AEOC的面積為1。

因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線y=■上，且AB∥x軸，所以四邊形BEOD的面積為3，

所以四邊形ABDC的面積等于四邊形EBDO的面積減去四邊形EACO的面積，即S矩形ABCD=3-1=2。

說(shuō)明 本題看似比較復(fù)雜，但通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助線將問(wèn)題稍加轉(zhuǎn)化，利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義就能輕松解答。

3.比較面積大小

（2012年山東省威海市中考題）下列選項(xiàng)中，陰影部分面積最小的是（ ）

■

分析 觀察四個(gè)選擇支陰影部分的圖形特征可知，選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的陰影部分的面積為兩個(gè)三角形面積的和；選項(xiàng)C，若延長(zhǎng)MN交x軸于一點(diǎn)，那么陰影部分的面積為兩個(gè)三角形面積的差；選項(xiàng)D的面積為一個(gè)大三角形的面積。由此可以利用比例系數(shù)k的幾何意義分別求解，進(jìn)而比較大小。

解 因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的解析式為y=■，所以k=2。容易求得選項(xiàng)C的直線MN的解析式為y=-x+3，延長(zhǎng)MN交x軸于一點(diǎn)的坐標(biāo)（3，0），

所以對(duì)于選項(xiàng)A有：SA=k=2；對(duì)于選項(xiàng)B有：SB=k=2；對(duì)于選項(xiàng)C有：SC=■×3×2-■×3×1=■；對(duì)于選項(xiàng)D有：SD=■×-1×4=2。因此，SC的面積最小。故答案選C。

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)、三角形面積的求法、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵。

4.確定圖形周長(zhǎng)的最小值

（2012年貴州省六盤水市中考題）如圖3為反比例函數(shù)y=■在第一象限的圖像，點(diǎn)A為此圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸、AC⊥y軸，垂足分別為B、C，則四邊形OBAC周長(zhǎng)的最小值為（ ）

A.4 B.3

C.2 D.1

分析 由于雙曲線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積等于k，是一個(gè)定值，這樣就可以利用雙曲線上的一點(diǎn)（x，y）滿足xy=k構(gòu)造不等式，求解四邊形OBAC周長(zhǎng)的最小值。

解 由y=■，得xy=1。因?yàn)閤2-2xy+y2≥0，所以x2+2xy+y2≥4xy。

所以（x+y）2≥4，即x+y≥2。所以2（x+y）≥4，故答案選A。

點(diǎn)評(píng) 利用反比例函數(shù)的圖形解答問(wèn)題是中考常考題目，解題時(shí)利用反比例函數(shù)k的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化是解題的基本策略。