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        在數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力助學(xué)生成才

        2013-12-29 00:00:00羅東華
        成才之路 2013年12期

        摘 要:數(shù)學(xué)與思維密不可分,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,如何培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣,如何充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性,如何發(fā)揮數(shù)學(xué)訓(xùn)練的思維優(yōu)勢(shì),進(jìn)一步提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)和機(jī)械訓(xùn)練的怪圈,是現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最緊迫的問題。教師要在教學(xué)實(shí)踐中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造、類比、邏輯、發(fā)散思維,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

        關(guān)鍵詞:創(chuàng)造性;發(fā)散性;類比;聯(lián)想;變式

        隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn),其倡導(dǎo)的新觀念深刻地影響、引導(dǎo)著教師由重知識(shí)傳授向重學(xué)生思維能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)變,由重教師“教”向重學(xué)生“學(xué)”轉(zhuǎn)變,由重結(jié)果向重過(guò)程轉(zhuǎn)變。學(xué)生的智力發(fā)展主要體現(xiàn)在思維能力的提高上,數(shù)學(xué)的抽象、直覺、想象等用以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的優(yōu)勢(shì),是其他學(xué)科不可以相比和替代的。因此,數(shù)學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí),更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣,培養(yǎng)他們的思維能力。下面,筆者結(jié)合自身多年的畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,談?wù)勛约涸谶@方面的體會(huì)。

        一、創(chuàng)設(shè)情境,培養(yǎng)創(chuàng)造思維

        學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力,是對(duì)學(xué)習(xí)材料的興趣。教師精心創(chuàng)設(shè)的問題情境,有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,使之主動(dòng)參與到教學(xué)活動(dòng)中。為此,教師要在學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性、探究性、適應(yīng)性和開放性上下工夫,留給學(xué)生足夠的活動(dòng)時(shí)間和思維空間,從而激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)和能力。思維通常是由問題的情境產(chǎn)生的,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)問題情境,變傳授數(shù)學(xué)結(jié)論為知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程教學(xué),使學(xué)生始終處于積極的思維之中。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要盡可能地引入一些直觀、形象、生動(dòng)的材料創(chuàng)設(shè)情境,營(yíng)造氛圍。

        例1 在“一元一次方程與實(shí)際問題”中,我是這樣創(chuàng)設(shè)情境的:東莞市兩大購(gòu)物中心天虹和海雅為迎接“五一”,都進(jìn)行促銷活動(dòng),其中天虹是全場(chǎng)物品打六折銷售,海雅百貨是實(shí)行買200送100的活動(dòng),請(qǐng)問在標(biāo)價(jià)一樣的情況下,到哪家購(gòu)物更合算?(此例的情景有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲望)

        例2 推導(dǎo)平方差公式,可以組織學(xué)生由“數(shù)”向“形”探索,在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b)(如圖1),把余下的部分拼成一個(gè)矩形(如圖2),根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等,可以推出公式:a2-b2=(a+b)(a-b)。

        圖1 圖2

        在教師要求記憶的情況下,有些學(xué)生建立以公式本身的圖式表象為內(nèi)容的條件反射:“(a+b)(a-b)”→“a2-b2”。而有些學(xué)生建立以聲音表象為內(nèi)容的條件反射:

        “平方差公式”→“a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方” 。最后進(jìn)行變式訓(xùn)練。例如:

        ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

        ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

        (2x + y) (2x- y) = (2x)2-y2= 4x2-y2

        由式子到式子的學(xué)習(xí)方式,割裂了數(shù)與式的關(guān)系。實(shí)際上,在初中數(shù)學(xué)里,式的本質(zhì)是數(shù),它是為了表示數(shù)而引入字母后的產(chǎn)物。通過(guò)此方式學(xué)習(xí)的學(xué)生并沒有真正建構(gòu)起a和b的可變性觀念,大多數(shù)是由式子到式子,一見到超越變式訓(xùn)練范圍的問題就不知如何是好,尤其是間隔了一段時(shí)間之后,這種學(xué)習(xí)盡管對(duì)一些常規(guī)的技能性問題是有效,但仍然擺脫不了機(jī)械學(xué)習(xí)的影子,時(shí)間長(zhǎng)了,知識(shí)多了,很容易與完全平方公式(a±b)2=(a2±2ab+b2)混淆不清。其實(shí),創(chuàng)造性思維能力的重點(diǎn)不是就解題而解題,而是使學(xué)生在做數(shù)學(xué)題中理解數(shù)學(xué),培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的延拓與創(chuàng)新。

        由上述兩例可見,創(chuàng)設(shè)良好的問題情境是激發(fā)創(chuàng)造思維的有效方法。教師要善于把握學(xué)生的思維特點(diǎn),在教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)或關(guān)鍵處設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生求知的欲望,啟動(dòng)學(xué)生的思維,提高學(xué)生自主探究的能力。

        二、合理類比,培養(yǎng)類比思維

        類比是數(shù)學(xué)推理的常見手段,它的實(shí)質(zhì)是根據(jù)兩對(duì)象之間的相似,把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)對(duì)象。類比不僅在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方面有著顯著作用,在解題教學(xué)、考查學(xué)生能力等方面也有顯著效果。一些數(shù)學(xué)問題的解決思路常常是相通的,類比思想可以教會(huì)學(xué)生舉一反三、由此及彼,靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

        例3 在講二次函數(shù)的最大利潤(rùn)問題時(shí),我先講一元二次方程的利潤(rùn)問題:某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,售價(jià)為每件60元,每星期可賣出300件,市場(chǎng)調(diào)查反映:每漲價(jià)1元,每星期少賣出10件;要想每周獲得6090元的利潤(rùn),該商品應(yīng)如何定價(jià)?

        解:設(shè)商品定價(jià)為x元,則單件商品利潤(rùn)為(x-40)元,銷售量為[300-10(x-60)]件,根據(jù)題意得:6090=(x-40)[300-10(x-60)]。

        我接著問學(xué)生,如果把“要想每周獲得6090元的利潤(rùn)”改成“要想每周獲得y元的利潤(rùn)”,那又怎樣列式呢?采用類比思想,同學(xué)們非常容易得出:

        y=(x-40)[300-10(x-60)。

        我接著又問同學(xué)們,如果把“要想每周獲得6 090元的利潤(rùn),該商品應(yīng)如何定價(jià)?”改成“如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大?”同學(xué)們自然而然想到只要把這個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行配方就能解決這個(gè)問題。

        例4 計(jì)算:■+■+……+■。

        分析:原式的結(jié)構(gòu)很容易聯(lián)想到數(shù)值計(jì)算中類似 ■=■-■的“裂項(xiàng)相消法”,結(jié)構(gòu)上的這種相似性是解題思路的源泉所在。

        解:原式=■+■+……+■,=■-■+ ■-■+……+■+■, =■-■,=■。

        綜上兩例可見,運(yùn)用類比能拓寬學(xué)生的視野,啟發(fā)學(xué)生思維;運(yùn)用類比,多方縱橫聯(lián)想,能達(dá)到搭橋開路的作用;運(yùn)用類比,使學(xué)生憑借以往的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)技能和思想方法,對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行分析比較、探索、研究,能發(fā)現(xiàn)其共同特點(diǎn)。抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,順理成章,使學(xué)生有“瓜熟蒂落,水到渠成”之感,又創(chuàng)設(shè)了情境,發(fā)人深思。此外,類比還可以使學(xué)生的思維得到有效開發(fā),提高思維的靈活性,使各部分知識(shí)相互變通,起到觸類旁通的作用。

        三、聯(lián)想遷移,培養(yǎng)邏輯思維

        想象力比知識(shí)更重要,因?yàn)橹R(shí)是有限的,而想象力概括著世界上的一切,推動(dòng)著進(jìn)步,并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉。聯(lián)想是想象力的重要組成部分,培養(yǎng)聯(lián)想能力,是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù),也是培養(yǎng)非邏輯思維的關(guān)鍵所在。

        例5 關(guān)于x的不等式|x-5|+|x-4|

        本題的基本方法是討論去掉絕對(duì)值,得出|x-5|+|x-4|?叟1,因此得出a?叟1。如果聯(lián)想到絕對(duì)值的幾何意義,那么本題|x-5|+|x-4|就可以理解為“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)4和5的距離的和”,而此距離之和有最小值1。類似地,問題“|x-5|-|x-4|”又可以理解為“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)4,5的距離的差”。

        舊知是思維的基礎(chǔ),思維是通向新知的橋梁。由舊知進(jìn)行聯(lián)想和類比,也是尋求正確思維方向的有效途徑。聯(lián)想和類比,就是把兩種相近或相似的知識(shí)或問題進(jìn)行比較,找到彼此的聯(lián)系和區(qū)別,進(jìn)而探究出問題的正確答案。

        四、變式延伸,培養(yǎng)發(fā)散思維

        創(chuàng)造能力=知識(shí)量×發(fā)散思維能力。思維的發(fā)散性,表現(xiàn)在思維過(guò)程中不受一定模式的束縛,從問題個(gè)性中探求共性,多角度、多層次去猜想、延伸、開拓,是一種不定式的思維形式。變式延伸中的“一題多解”“一解多題”“一題多變”是訓(xùn)練發(fā)散思維的有效途徑。

        通過(guò)對(duì)一道題進(jìn)行多方位、多層次、多角度的變式延伸,引導(dǎo)學(xué)生從一道習(xí)題抓住一類問題,從特殊問題抓一般問題,這樣不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,而且能取得舉一反三,達(dá)到訓(xùn)練思維能力的作用。所謂變式延伸就是通過(guò)將原題中的條件、結(jié)論、內(nèi)容、圖形等作適當(dāng)變換,解決一類問題的變化,逐步培養(yǎng)學(xué)生深入反思數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣,善于抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

        例6 求證:順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

        變式1:順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)可以得到什么四邊形?并證明你的結(jié)論。

        變式2:如圖3:四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn),順次連結(jié)E、F、G、H,把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形。連結(jié)AC、BD,容易證明:中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形。如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀,那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變,通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn):

        當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足____時(shí),四邊形EFGH為菱形;

        當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足____時(shí),四邊形EFGH為矩形;

        當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足____時(shí),四邊形EFGH為正方形。

        本例題變式1的訓(xùn)練條件具有開放性,變式2的訓(xùn)練結(jié)論具有歸納性,使學(xué)生對(duì)中點(diǎn)四邊形的關(guān)系更清晰,思維訓(xùn)練更豐富,基本達(dá)到了熟練論證特殊四邊形。教師應(yīng)該讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)例題本身所蘊(yùn)涵的教育價(jià)值,學(xué)會(huì)怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思維,怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考、解題,如何表述自己的解題過(guò)程等。教師只有充分地利用好例題,充分挖掘發(fā)揮例題的潛能,才能達(dá)到優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),開闊學(xué)生的眼界,活躍學(xué)生的思維,提高學(xué)生解題能力的目的。

        數(shù)學(xué)的魅力就在于“變”,有“變”才有“活”,適當(dāng)?shù)淖兪窖由?,可以給學(xué)生提供一座橋,讓學(xué)生在已知的水平和未知的水平之間自然過(guò)渡。這里的最近發(fā)展區(qū)要把握得好,“變式”就能避免讓學(xué)生反復(fù)地練習(xí)同一題型,避免學(xué)生在低水平層次之間反復(fù)的重復(fù),從而使學(xué)生的思維能力得到更寬、更廣、更深的培養(yǎng)。

        綜上所述,對(duì)一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想,或類比、或推廣,可以得到一系列新的題目,甚至得到更一般的結(jié)論。同時(shí),積極開展多種變式題的求解,哪怕是不能解決,也有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的形成,增強(qiáng)學(xué)生面對(duì)新問題的自主探究能力。學(xué)生通過(guò)較少的練習(xí)能獲得較大的收獲,不僅可以減輕學(xué)生負(fù)擔(dān),切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量的目的,還可通過(guò)題目的拓寬,加深變化,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,使學(xué)生在探索命題演變的過(guò)程中極大豐富他們的發(fā)散性思維。

        五、滲透數(shù)學(xué)思想和方法,培養(yǎng)思維的綜合能力

        從目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看,可能受到應(yīng)試教育的影響,課堂教學(xué)更多地以“問題教學(xué)”為主導(dǎo),上課講題目,課后做題目,考試考題目。特別是畢業(yè)班的教學(xué),即使上課講題目時(shí),也是只講解題步驟,不分析思維過(guò)程。對(duì)學(xué)生的要求偏重于知識(shí)結(jié)果、解題技能的掌握,而很多數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)卻遭到忽視。又由于數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)更抽象、更概括,具有隱蔽性,所以學(xué)生較難以從教材中直接獲取,這大大制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展。因此,教師應(yīng)轉(zhuǎn)變觀念,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)予以高度重視,通過(guò)認(rèn)真鉆研教材,挖掘出蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)之中的數(shù)學(xué)思想方法,在教學(xué)中隨機(jī)應(yīng)變,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適宜環(huán)境,讓他們?cè)谡n堂教學(xué)的潛移默化中領(lǐng)會(huì)和掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法,提高自身的數(shù)學(xué)思維能力。

        在數(shù)學(xué)教學(xué)體系中,習(xí)題千變?nèi)f化,要真正鞏固和深化課改成果,使在題海里疲于奔命的學(xué)生真正解脫出來(lái),只有在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法,才能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的思想方法包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等,還有很多基本的數(shù)學(xué)方法如定義法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法等。學(xué)生掌握了這些基本數(shù)學(xué)思想方法,能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶。因此,教師只有將這些思想和方法滲透給學(xué)生,才能提高學(xué)生的綜合能力。訓(xùn)練的具體方法可以結(jié)合數(shù)學(xué)課堂教學(xué),針對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程中展示出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行提問與討論,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟出思想方法和進(jìn)行總結(jié)提煉,也可以有意識(shí)地組織學(xué)生進(jìn)行必要的解題訓(xùn)練,結(jié)合分析、解決問題的思維過(guò)程提煉出數(shù)學(xué)思想方法等。

        總之,數(shù)學(xué)是一種文化,它既是諸多門學(xué)科的基礎(chǔ)與工具,又是一種思想方法。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括,它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。教師唯有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法,才能為他們的自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究創(chuàng)造有利的條件。在教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生是主體,教師要有意識(shí)地在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透,以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生一旦掌握了基本的數(shù)學(xué)思想方法,則可在較高層次上主動(dòng)探求新知,學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力才能得到穩(wěn)步提高,才能為他們的可持續(xù)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),從而成為社會(huì)有用的人才。

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