黃秀芳

新課標(biāo)下的高考，文科數(shù)學(xué)考以簡單計(jì)數(shù)為前提的古典概型和幾何概型，理科對(duì)排列組合不要求考小題，只能在隨機(jī)變量分布列的大題中用到排列組合的知識(shí).而排列組合本身是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，這需要學(xué)生具有非常強(qiáng)悍的解析能力.本文總結(jié)多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高中數(shù)學(xué)里的排列組合問題的全面處理方法做研討，以便和同行商榷從而得到最好的應(yīng)對(duì)策略.

一、 排列與組合的概念

1.排列的概念

排列概念：一般來講在a個(gè)元素里面，隨便選用b個(gè)元素，再依據(jù)指定的次序排成一列，這就叫做在a個(gè)元素里面，隨便選用b個(gè)元素組成一列.特別是當(dāng)a=b時(shí)，這就叫做a個(gè)不同元素的全排列.

排列數(shù)概念：在a個(gè)元素中選用b個(gè)元素的一切排列的數(shù)目，這就叫做在a個(gè)元素里面選用b個(gè)元素的排列數(shù).這里采用數(shù)學(xué)的符號(hào)Aba來表示.

2.組合的概念

組合概念：一般來講在a個(gè)元素不相同的元素當(dāng)中，隨便選用b個(gè)元素組合成一組，這叫做a個(gè)不相同的元素中隨便選用b個(gè)元素的組合.

組合數(shù)概念：在a個(gè)元素不相同的元素中選用b個(gè)元素的一切組合的數(shù)目，這叫做在a個(gè)不相同的元素中選用出b個(gè)元素的組合數(shù)，這里使用數(shù)學(xué)的符號(hào)Cba來表示.

二、排列與組合的應(yīng)用

使用排列：對(duì)于無條件限制的簡便排列問題，可以利用公式直接解答；像“用數(shù)字0，1，2可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？”這種有限制條件的排列問題，可以依照限制條件來使用“直接法”或是“間接法”進(jìn)行解答.（2）組合方法的使用：對(duì)于無條件限制的簡便組合使用問題，就使用公式法直接解答；像“從12人中選5人，甲乙丙三人必須當(dāng)選，有多少種選法？”這種有條件限制的組合問題，就可以依照指定的限制條件來使用“直接法”或是“間接法”解答.（3）整體的組合和排列：在整體的組合排列的問題上，主要是組合排列的混雜問題，解題之前要先處理組合的問題，然后才能研討排列的問題.在處理組合排列全面問題時(shí)，要注重以下兩點(diǎn)：第一點(diǎn)限制條件就是排列問題常常出現(xiàn)的出題方式：“不在”和“在”；“不相鄰”和“相鄰”.在處理客觀問題時(shí)必須是要有自己的解答思維和方法：碰到“相鄰”問題的時(shí)候，要經(jīng)常使用捆綁法來解題，把題目當(dāng)中的幾個(gè)元素當(dāng)作一個(gè)元素，這也是處理相鄰問題的最好方法.而“不相鄰”的問題處理最常用的方式就是“插空法”.在處理“不在”和“在”的問題時(shí)，常常會(huì)碰到特別元素或是特別方位，但是常見的都是先對(duì)特別的元素進(jìn)行排列.但是當(dāng)題目里元素的排列次序有限制時(shí)，就必須把次序約束放在一旁，讓排列結(jié)束以后，再依照指定次序來求解得出結(jié)果.第二點(diǎn)限制條件的組合問題常常出現(xiàn)的命題方式：“不含”或“含”；“至多”或是“至少”.在處理實(shí)際題目時(shí)，要學(xué)會(huì)使用“間接法”或是“直接法”.

三、常見問題的應(yīng)對(duì)策略

1.不相鄰的“插空法”

對(duì)于幾種不相鄰元素的排列問題，可以先排其他的元素，再把不相鄰的元素插在排好的元素當(dāng)中.

例如，在校園文藝演出中有4個(gè)是朗誦隊(duì)，2個(gè)是舞蹈隊(duì)，3個(gè)是獨(dú)唱隊(duì)，如果舞蹈隊(duì)都不能靠著，那么這樣的節(jié)目實(shí)行的次序總共有幾種？

分析：一開始先排2個(gè)舞蹈隊(duì)和3個(gè)獨(dú)唱隊(duì)，有A55種排法，再在這些節(jié)目當(dāng)中和兩邊的6個(gè)“空”中選4個(gè)讓舞蹈隊(duì)插進(jìn)去，有A46種排法，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理一共有A55A46=43200種排法.

2.相鄰的“捆綁法”

對(duì)于無數(shù)個(gè)元素要求相鄰的排列，要先讓相鄰的幾個(gè)元素“捆綁”在一起，當(dāng)作是一個(gè)整體的元素和剩下的元素進(jìn)行排列，最后再讓組合元素當(dāng)中的元素進(jìn)行排列.

例如，書桌上擺著3本不相同的英語書，4本不相同的語文書，5本不相同的化學(xué)書，把這些都豎立起來排成一排，如果把相同類的書放在一起，一共有幾種排列方法？

分析：由于相同類的書放在一起，就把3本英語書，4本語文書和5本化學(xué)書都互相捆綁在一起，看作是3個(gè)整體進(jìn)行排列有 A33種，每捆內(nèi)部的排列分別有A44種， A55種，A33種，由分步計(jì)數(shù)原理一共有：A44A55A33A33=103680（種）.

3.巧用“轉(zhuǎn)換法”

對(duì)于一些不常見的問題，使用直接解答的方法一般很艱難，從正面著手處理會(huì)非常艱難，這時(shí)我們就從反面著手，把這種題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最為簡便的問題來處理.

例如，用1到6這六個(gè)數(shù)字，把它們組合成大于200000而且在百位數(shù)是非3的不重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有幾個(gè)？

分析：一看到題目，瞬間沒有思路，但是仔細(xì)地一思考，要大于200000 實(shí)際上就是首位不是1的數(shù)字，因此，我們把問題看成“1”不在首位，“3”不在百位，分析下來，你就會(huì)讀懂了.這和曾經(jīng)做過的“甲學(xué)生不做學(xué)習(xí)委員，乙學(xué)生不當(dāng)班長”這個(gè)題不是很相似嗎？ 從例題那就能轉(zhuǎn)變成這題的做題方法，共有A55+A14A14A44= 504個(gè).

4.分排問題“直排法”

把多個(gè)元素排列成前后的幾種排列問題，假設(shè)沒有什么條件來約束，那么就運(yùn)用全體排成一行的方法來處理.

例如，有個(gè)班級(jí)有50個(gè)學(xué)生在10排位置上坐著，而每排有5個(gè)人，一共有多少種坐法？

分析：如果50位學(xué)生都能在10 排位置上隨便就坐，沒有條件約束，所以我們就把10排當(dāng)作一個(gè)整體來理解，一共有A 種就坐方法.

當(dāng)然，排列組合還有其他的應(yīng)對(duì)方法：如分組分配問題，相同元素的隔板原理，元素交叉問題等.總而言之，排列組合在高中數(shù)學(xué)里不僅運(yùn)用范圍廣泛，而且是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率學(xué)的基礎(chǔ)，由于這部分教學(xué)內(nèi)容的思想方式多變且又靈活，所以排列組合的知識(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和抽象思維能力的較好的材料.