朱大林,唐勝景,郭 杰,熊俊輝
(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京100081)
對(duì)于具有無控起飛段的導(dǎo)彈,實(shí)際飛行中由于受到各種隨機(jī)干擾的影響,其啟控點(diǎn)彈道參數(shù)是隨機(jī)分布的,從而形成相對(duì)于理論啟控點(diǎn)的散布。為了保證導(dǎo)彈受到良好的控制,啟控點(diǎn)散布應(yīng)滿足制導(dǎo)系統(tǒng)開始導(dǎo)引的要求。如對(duì)于激光駕束制導(dǎo)的反坦克導(dǎo)彈,一般要求啟控點(diǎn)要落入規(guī)定的光束截面內(nèi)。導(dǎo)彈啟控點(diǎn)的選擇一般是期望啟控點(diǎn)落入規(guī)定的區(qū)域內(nèi),并期望啟控點(diǎn)波動(dòng)越小越好,這兩點(diǎn)一般可以通過啟控點(diǎn)彈道參數(shù)的期望和方差進(jìn)行描述。為達(dá)到這2個(gè)目標(biāo),通常需要不斷地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和篩選,以確定合適的啟控距離或時(shí)間以及相關(guān)總體參數(shù)(如初速度、發(fā)射角等)。文獻(xiàn)[1-2]采用Monte Carlo法對(duì)反坦克導(dǎo)彈的啟控點(diǎn)散布進(jìn)行了研究,其中文獻(xiàn)[2]通過多次仿真確定了最佳的發(fā)射角;文獻(xiàn)[3]采用協(xié)方差分析描述函數(shù)法建立彈箭外彈道的隨機(jī)優(yōu)化模型,并通過優(yōu)化算法確定了偏角方差最小時(shí)有關(guān)總體參數(shù)的取值。上述方法雖然都可以用于導(dǎo)彈的啟控點(diǎn)選擇,但其不足之處為:統(tǒng)計(jì)分析效率比較低,篩選過程比較費(fèi)機(jī)時(shí);優(yōu)化目標(biāo)中沒有同時(shí)考慮優(yōu)化條件對(duì)散布均值和方差的影響。
針對(duì)上述問題,本文采用穩(wěn)健優(yōu)化的概念和方法處理導(dǎo)彈啟控點(diǎn)的選擇問題,綜合考慮啟控距離(時(shí)間)和總體參數(shù)的取值對(duì)啟控點(diǎn)散布的影響。穩(wěn)健優(yōu)化(Robust Optimization)是產(chǎn)品質(zhì)量工程中保證產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定的一種重要的設(shè)計(jì)方法,其基本思想就是通過優(yōu)化算法在可行域內(nèi)尋找最佳的設(shè)計(jì)方案,力圖使產(chǎn)品的質(zhì)量特性均值盡可能地接近目標(biāo)值,同時(shí)對(duì)干擾因素引起的波動(dòng)盡可能地小[4]。可見,穩(wěn)健優(yōu)化與導(dǎo)彈啟控點(diǎn)選擇的目的是一致的。本文根據(jù)穩(wěn)健優(yōu)化響應(yīng)面建模的思想首先對(duì)導(dǎo)彈擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)建立高斯型徑向基網(wǎng)絡(luò)(Gaussian Radial Basis Network,GRBN),并以GRBN為基礎(chǔ)給出不確定性分析的解析表達(dá)式;然后以某反坦克導(dǎo)彈啟控點(diǎn)選擇的要求為例建立穩(wěn)健優(yōu)化模型,并采用小生境Pareto遺傳算法獲得該模型的Pareto最優(yōu)解集。對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行Monte Carlo模擬打靶驗(yàn)證表明,優(yōu)化結(jié)果比較令人滿意,從而為彈道設(shè)計(jì)、制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)等提供參考和依據(jù)。
影響導(dǎo)彈啟控點(diǎn)散布的因素有很多種,如初始擾動(dòng)、推力偏心、彈體質(zhì)量分布不對(duì)稱、風(fēng)、制造和安裝工藝誤差等。一般認(rèn)為這些因素是隨機(jī)分布的,事先可以根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定其分布類型。為了區(qū)別對(duì)待這些因素,根據(jù)穩(wěn)健優(yōu)化的概念可將其分為兩大類:可控因素和噪聲因素。可控因素就是可以選擇其水平即名義值的因素,也是設(shè)計(jì)變量,通常由設(shè)計(jì)名義值和設(shè)計(jì)容差進(jìn)行描述;噪聲因素就是不可控的因素,通常由其分布類型及數(shù)字特征進(jìn)行描述。因此,導(dǎo)彈啟控點(diǎn)選擇的穩(wěn)健優(yōu)化就是在約束范圍內(nèi)確定可控因素的最佳水平組合。
以某反坦克導(dǎo)彈的啟控點(diǎn)選擇為例,假設(shè)初步考慮的因素有:初速度v0,發(fā)射角θ0,初始滾轉(zhuǎn)角速度ωx0,加速發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)間tb,啟控距離xc,初始彈道偏角ψv0,慣性中心主軸在彈體坐標(biāo)系下的方位角λ和μ以及橫風(fēng)wz。如果其水平可以選擇的因素有初速度v0,發(fā)射角θ0,初始滾轉(zhuǎn)角速度ωx0,加速發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)間tb以及啟控距離xc,則確定的可控因素x和噪聲因素ω分別為x=(v0θ0ωx0tbxc),ω=(ψv0λμ wz)。這些因素的詳細(xì)描述分別如表1和表2所示。
表1 可控因素
表2 噪聲因素
確定了影響因素之后,接下來就是對(duì)導(dǎo)彈擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,從而為第3節(jié)的穩(wěn)健優(yōu)化做準(zhǔn)備。導(dǎo)彈擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可參考文獻(xiàn)[5],常用的分析方法有 Monte Carlo法和協(xié)方差分析描述函數(shù)法。Monte Carlo法是啟控點(diǎn)散布分析方法中一種簡單而有效的方法,但為了獲得精確的統(tǒng)計(jì)值,通常需要幾百次甚至上千次的模擬打靶,比較費(fèi)機(jī)時(shí)。協(xié)方差分析描述函數(shù)法是運(yùn)用描述函數(shù)理論將原來的非線性隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)線性化,通過求解導(dǎo)出的關(guān)于狀態(tài)變量均值和協(xié)方差的傳播方程,從而獲得相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)值[6]。這種方法可以明顯提高統(tǒng)計(jì)分析的效率,但目前統(tǒng)計(jì)線性化的理論主要是建立在狀態(tài)變量服從聯(lián)合正態(tài)分布的假設(shè)上,當(dāng)原系統(tǒng)非線性程度比較高或狀態(tài)變量嚴(yán)重偏離正態(tài)分布時(shí),協(xié)方差分析描述函數(shù)法的分析精度會(huì)明顯降低;而且,這種方法求解的微分方程比較多,不利于后續(xù)的穩(wěn)健優(yōu)化?;谏鲜鲇懻?,借鑒穩(wěn)健優(yōu)化響應(yīng)面建模的思想,對(duì)導(dǎo)彈擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)采用GRBN進(jìn)行擬合,并在此基礎(chǔ)上給出不確定性分析的解析表達(dá)式,這種方法可以顯著提高統(tǒng)計(jì)分析的效率。
徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)是一種簡單而有效的建模工具,其中GRBN由于可以寫成便于概率積分的張量積函數(shù)形式[7],因而在文中被選用。GRBN的數(shù)學(xué)模型可寫為
式中,‖·‖為歐氏范數(shù),x=(x1x2…xn),為n維輸入向量;x1,x2…,xm為徑向基網(wǎng)絡(luò)中心點(diǎn);α0為常數(shù)項(xiàng);α=(α1α2…αm),為權(quán)系數(shù)向量,c為正的常實(shí)數(shù)。
GRBN的構(gòu)造就是要確定網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù),其訓(xùn)練過程可參考一般徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法[8-9]。對(duì)于本文的導(dǎo)彈擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),GRBN的構(gòu)造過程為:首先選用合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得以可控因素和噪聲因素為試驗(yàn)點(diǎn)、以啟控點(diǎn)參數(shù)為輸出的樣本;其次,對(duì)樣本進(jìn)行分析,剔除一些離群點(diǎn);最后,隨機(jī)選擇一部分樣本試驗(yàn)點(diǎn)作為GRBN的中心點(diǎn)并通過Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法極小化樣本的誤差平方和,從而確定GRBN的α0,α和c。GRBN的擬合精度可以通過重采樣樣本進(jìn)行檢驗(yàn),常用的檢驗(yàn)準(zhǔn)則有相對(duì)平均絕對(duì)誤差檢驗(yàn)準(zhǔn)則和相對(duì)最大誤差檢驗(yàn)準(zhǔn)則[10]。
GRBN滿足擬合精度要求后,就可以對(duì)其進(jìn)行不確定性分析。將式(1)改寫為
式中:xj為點(diǎn)x的第j個(gè)分量,xij為點(diǎn)xi的第j個(gè)分量。令
則
假設(shè)可控因素、噪聲因素彼此相互獨(dú)立,則根據(jù)文獻(xiàn)[7]的推導(dǎo),式(3)輸出的均值和方差可表示為
對(duì)于形式為式(1)的GRBN,經(jīng)過推導(dǎo)可得到如下結(jié)果:
若因素xj服從均勻分布,即
則
式中:Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。
若因素xj服從正態(tài)分布,即
則
與確定性優(yōu)化模型不同,穩(wěn)健優(yōu)化模型一般是采用概率論的術(shù)語進(jìn)行描述的,比較常用的就是隨機(jī)變量的均值和方差。下面以第1節(jié)提到的反坦克導(dǎo)彈為例,建立啟控點(diǎn)選擇的穩(wěn)健優(yōu)化模型。
通常,反坦克導(dǎo)彈的發(fā)射角不太大,初始段彈道比較低。在選擇啟控距離和總體參數(shù)時(shí),一般期望啟控點(diǎn)的方向偏差和散布半徑比較小,并期望啟控點(diǎn)有一定的高度且彈道角落入一定的范圍內(nèi),以防止其掉地或啟控后飛離視場范圍。根據(jù)這些要求,建立的穩(wěn)健優(yōu)化模型為
式中:E(·)表示隨機(jī)變量的期望;μxk為可控因素xk的名義值;yl,yu為高度界限;θl,θu為彈道角界限為可控因素名義值的界限;RCEP為圓概率誤差半徑,可采用如下公式進(jìn)行計(jì)算[11]:
式中:σy,σz分別為啟控點(diǎn)的高度和方向均方差。
需要指出的是,如果希望穩(wěn)健優(yōu)化模型中某個(gè)約束具有一定的穩(wěn)健性,可以通過引入方差進(jìn)行調(diào)整。例如:如果希望高度約束具有一定的穩(wěn)健性,可以將其修改為yl+nlσy≤E(y)≤yu-nuσy,式中:nl,nu稱為σ水平。
求解上面建立的穩(wěn)健優(yōu)化模型,其實(shí)就是求解一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題。多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解策略大致分為兩類,可將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題或者直接求解多目標(biāo)優(yōu)化問題,每種優(yōu)化策略又有不同的優(yōu)化方法。這里采用小生境Pareto遺傳算法直接求解建立的穩(wěn)健優(yōu)化模型。該算法采用Pareto支配關(guān)系進(jìn)行錦標(biāo)賽選擇,并采用小生境技術(shù)實(shí)現(xiàn)群體的多樣性,能較好地獲得穩(wěn)健優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集,從而方便設(shè)計(jì)者根據(jù)自己的偏好進(jìn)行挑選,算法的具體描述可參考文獻(xiàn)[12]。
下面仍以第1節(jié)提到的反坦克導(dǎo)彈啟控點(diǎn)選擇為例,假設(shè)瞄準(zhǔn)線水平,根據(jù)第3節(jié)建立的具體穩(wěn)健優(yōu)化模型為
為了利用式(4)和式(5)進(jìn)行不確定性分析,首先需要對(duì)導(dǎo)彈擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)造GRBN。這里選用拉丁超方試驗(yàn)設(shè)計(jì)選擇500個(gè)試驗(yàn)點(diǎn),通過對(duì)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的仿真獲得啟控點(diǎn)坐標(biāo)y,z和彈道角θ的取值。隨后通過分析樣本剔除一些離群點(diǎn),形成樣本容量為491的樣本。在構(gòu)造以啟控點(diǎn)坐標(biāo)y,z和彈道角θ為輸出的GRBN時(shí)隨機(jī)選擇75%的試驗(yàn)點(diǎn)作為GRBN的中心點(diǎn)。GRBN的擬合精度通過重采樣300個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn),其相對(duì)平均絕對(duì)誤差均小于7%。
GRBN滿足使用要求后,接著采用式(11),優(yōu)化算法設(shè)置5個(gè)子種群,共500個(gè)個(gè)體,種群進(jìn)化100代,最后共獲得181個(gè)Pareto非支配解,形成的Pareto前沿如圖1所示。
圖1 Pareto前沿
為驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的可信性,從上述Pareto非支配解解集中隨機(jī)挑選出一個(gè)解對(duì)原擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行500次Monte Carlo模擬打靶驗(yàn)證。挑選的解為μv0=24.15m/s,μθ0=12.94°,μω0=9.18r/s,μtb=0.10s,μxc=21.93m。
驗(yàn)證結(jié)果如表3所示,通過 Monte Carlo模擬打靶獲得的散布圖如圖2所示。
表3 驗(yàn)證結(jié)果
圖2 散布圖
由表3的驗(yàn)證結(jié)果可以看出,除了E(θ)的數(shù)值相對(duì)有所偏大之外,其余的統(tǒng)計(jì)值基本上比較接近,啟控點(diǎn)高度和彈道傾角的均值均在約束范圍之內(nèi)。從圖2的散布分布來看,這組解達(dá)到了預(yù)期的目的。
本文采用穩(wěn)健優(yōu)化的思想和方法處理導(dǎo)彈啟控點(diǎn)選擇的問題,從仿真驗(yàn)證的結(jié)果來看,這種做法是可行的。文中采用小生境Pareto遺傳算法可以獲得啟控點(diǎn)穩(wěn)健優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集,從而為彈道設(shè)計(jì)者提供更多的參考和選擇。本文仍需改進(jìn)的地方就是在優(yōu)化過程中需要提高GRBN的局部擬合精度從而進(jìn)一步提高穩(wěn)健最優(yōu)解的可信度。
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