李魁彬，王安穩(wěn)，施連會，鄧 磊

（海軍工程大學 理學院，武漢430033）

國內外針對射彈超空泡形態(tài)已有許多研究，其計算主要通過由實驗數(shù)據(jù)擬合的經驗公式[1－3]、CFD軟件仿真[4]和基于Logvinovich原理的數(shù)值計算[5－7]3 種 途 徑。 本 文 基 于 Logvinovich 原 理、Riabouchinsky[8]空泡閉合模型和射彈動力學方程，通過適當簡化，推導出射彈運動過程中空泡形態(tài)解析解和空泡參數(shù)的計算公式。計算結果與經驗公式吻合良好，說明本文推導的正確性。

1 方程的建立

1.1 參考坐標系

超空泡射彈高速運動，重力的作用可以忽略，其運動軌跡近似為直線[9]。本文主要研究水平直航的射彈?？臻g上，以射彈初始點為原點O，以射彈空化器為原點o，X、x軸正方向均為運動方向，分別建立如圖1所示的慣性坐標系OXY和彈體坐標系oxy。時間上，以初始時刻為零點，建立絕對時間軸t；以射彈空化器運動處的時刻為零點，建立與絕對時間軸方向相反的相對時間軸tx。

圖1 坐標系和空泡擴展示意圖

1.2 Logvinovich獨立擴展方程

Logvinovich基于勢流理論提出了空泡截面獨立膨脹原理[2，10]，其在絕對坐標系下數(shù)學方程為

式中：ξ＝X（t2），S（ξ，t）為ξ處t時的空泡面積；k1＝4π/A2，A為微弱依賴于空泡數(shù)σ的系數(shù)，通常取經驗常數(shù)2；p∞（ξ）為與ξ處于相同水平面無窮遠處的壓強；pc（t）為空泡內壓強，在自然超空泡中，pc（t）為飽和蒸汽壓pc；p1（t）為外部瞬時擾動壓強；X（t1），X（t）分別為射彈首端運行到空泡閉合處的時間t1、到達空泡開始處的時間t時在X軸上的坐標。

空泡擴展的初始條件為

式中：Rn為射彈空化器半徑；v（t2）為空化器通過截面ξ時的速度；Cx＝Cx0（1＋σ），為阻力系數(shù)，Cx0為σ＝0時的阻力系數(shù)，對于圓盤空化器，Cx0＝0.827。

1.3 超空泡航行體動力學方程

水平直航超空泡射彈的動力學方程為

式中：m為射彈質量，patm為大氣壓，H為射彈在水中的深度，v為射彈速度。

1.4 空泡閉合模型

空泡尾部閉合采用Riabouchinsky模型，當空泡截面積等于空化器面積時空泡閉合。

2 公式簡化及推導

不考慮外部瞬時擾動壓強p1（t），根據(jù)坐標系之間的關系，對于射彈，將式（2）代入，式（1）在彈體坐標系下可化為

式中：Δp＝p（ξ）－pc，p（ξ）＝patm＋ρgH，tx為相對時間軸下的時間。

結合空泡閉合模型得：不考慮瞬時擾動壓強，完整自然超空泡的擴展時間等于空泡閉合處空泡截面從空泡產生到空泡閉合的擴展時間，僅依賴于航行體經過空泡閉合處時的參數(shù)；空泡最大長度由擴展時間和航行體在這段時間的運動決定。完整空泡擴展時間公式為

求解方程（3）得射彈的位移和速度的解析解：

式中：α＝－ρSnCx0/（2m），β＝2Δp/ρ，v0為射彈初始速度，Sn為空化器面積。

考慮完整空泡擴展時間非常短，高速下壓差影響較小，可忽略。空泡擴展過程中射彈位移和速度的解析解為

通過坐標變換，得到相對時間軸下射彈的速度和彈體坐標系下的橫坐標：

式中：v（t）為t時空化器的速度，v（tx）為t2時空化器速度，t2對應于相對時間軸的tx。

聯(lián)立式（4）和式（8）得射彈速度v（t）時彈體坐標系下空泡形態(tài)橫、縱坐標公式：

式（6）、式（9）和式（10）組成了射彈運動過程中任意時刻超空泡形態(tài)計算公式。

考慮完整空泡擴展過程中Cx變化很小，Cx≈Cx｜t＝0，可得空泡的參數(shù)公式。

考慮空泡在射彈尾部閉合，從超空泡變?yōu)榫植靠张輹r 的 空 泡 數(shù)：σ＝γ/（4e2αl－4eαl），其 中，γ，l為射彈長度。

空化器周圍，eαx－1≈αx，空泡數(shù)對空泡半徑影響很小，可以忽略，式（10）可化為近似“1/3法則”的公式：

3 算例和分析

取參數(shù)Rn＝0.001 m，m＝0.15kg，l＝0.06 m，v0＝1 000m/s，patm＝0.101MPa，pc＝2 350Pa，H＝1m。

分析射彈首尾壓差對速度的影響，如圖2所示。射彈速度越大，深度越小，首尾壓差對速度影響越小；當v≥100 m/s，H≤100 m 時，其影響可以忽略；當射彈速度較小、深度較大時，計算需要考慮壓差的影響。

圖2 射彈速度隨時間的變化

Savchenko[1]根據(jù)試驗提出適用于空泡數(shù)0.012～0.057的空泡無量綱半徑公式：＝3.659＋0.847－2.0）－0.236σ－2.0）2≥2.0。空化器周圍空泡采用“1/3法則”經驗公式：

Logvinovich[2]認為，在小空泡數(shù)下超空泡無量綱直徑和長度滿足如下經驗公式：

式中：κ＝0.9～1，空泡數(shù)適用范圍為0～0.25。

利用所推導的公式，計算了σ＝0.02，v＝102.7m/s時的空泡形態(tài)，分析了空泡無量綱長度lc/Rn與空泡數(shù)的關系，如圖3、圖4所示，結果與經驗公式吻合良好。

圖3 σ＝0.02時的空泡形態(tài)

圖4 空泡無量綱長度隨空泡數(shù)的變化關系

圖5反映了絕對時刻空泡在慣性坐標系中的形態(tài)，便于實時觀察空泡隨射彈運動的變化。

圖5 不同時刻空泡在慣性坐標系下的形態(tài)

如圖6所示，射彈運動過程中完整空泡擴展時間tc非常短，約10－3～10－2s；隨著射彈運動時間的增加，擴展時間是減小的，且逐漸趨于平緩。

圖6 完整空泡擴展時間與射彈運動時間的關系

結合算例計算可得，超空泡轉變?yōu)榫植靠张輹rσ≈0.06，射彈速度v≈60m/s。

將式（11）與“1/3”法則進行比較，如圖7所示，本文公式與經驗公式相比計算結果略小，這可能是由阻力系數(shù)的選取和微小量的忽略引起的。

圖7 式（11）與“1/3”法則比較

4 結論

本文根據(jù)Logvinovich空泡截面獨立膨脹原理、Riabouchinsky空泡閉合模型和射彈動力學方程，利用坐標變換，推導了射彈運動過程中空泡形態(tài)解析解，得到了空泡參數(shù)的計算公式，便于實時描畫射彈超空泡特征；并且利用算例進行了計算分析。結論如下：

①推導公式計算結果與經驗公式吻合良好，空化器周圍的空泡尺寸簡化計算公式所得結果比經驗公式略小。

②不考慮擾動壓強，自然條件下完整空泡的擴展時間僅依賴于航行體經過空泡閉合處時的參數(shù)；超空泡的最大長度取決于完整空泡擴展時間和物體運動狀態(tài)。

③射彈速度越大，深度越小，首尾壓差對速度影響越?。划攙≥100m/s，H≤100m時，影響可以忽略；當射彈速度較小，深度較大時，需要考慮前后壓差的影響。

④完整空泡擴展時間非常短，且隨著射彈運動時間增大而減小，逐漸趨于平緩。

⑤空泡數(shù)為0.06，射彈速度為60m/s左右時，超空泡開始蛻化為局部空泡。

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