朱翠濤，楊 凡

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，武漢 430074)

在認(rèn)知無線電網(wǎng)絡(luò)中，由于頻譜利用率低而導(dǎo)致認(rèn)知用戶接收的寬帶信號在頻域具有稀疏性，因此，人們將壓縮感知技術(shù)用于頻譜檢測，降低對寬帶信號采樣的壓力[1].大部分文獻(xiàn)[2，3]利用壓縮感知技術(shù)，先恢復(fù)信號，再進(jìn)行譜的估計，這樣導(dǎo)致檢測算法的復(fù)雜度增加.文獻(xiàn)[4]提出了稀疏貝葉斯方法直接利用觀測值進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的估計.基于相關(guān)向量機(jī)的稀疏貝葉斯模型不僅能夠估計出授權(quán)基站的位置而且也能測出正在通信授權(quán)用戶的個數(shù).但是，基于相關(guān)向量機(jī)[5]的稀疏貝葉斯模型在計算過程中收斂速度很慢.而且，當(dāng)權(quán)值的先驗分布服從高斯分布時，單個的稀疏參數(shù)可能會在閉合式中估計[6].

針對以上情況，我們提出了基于變分稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)模型的方法.該方法用概率分布估計未知變量.這樣就避免了參數(shù)閉合式估計的情況.而且，對于難以求解的函數(shù)，變分學(xué)習(xí)方法能夠分解為幾個簡單函數(shù)來逼近，降低了計算難度.變分方法在推導(dǎo)圖示模型時還能夠提供一致的推導(dǎo)框架.

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型如圖1所示，設(shè)在Np×Np的區(qū)域內(nèi)，有N個認(rèn)知用戶(簡稱CR用戶)、Mp個授權(quán)用戶(簡稱PU用戶)和一個融合中心.CR用戶出現(xiàn)的位置用笛卡爾坐標(biāo)表示為：

X=(x1,x2,x3，…，xn)Txi=(xix,xiy).

圖1 系統(tǒng)模型

該系統(tǒng)模型中，無線電功率傳播模型為[7]：

(1)

檢測期間，CR用戶接收到的信號表示為：

t=ts+n,

(2)

式(2)中，ts=(t1,t2，…，tN)T,n=(ε1,ε2,…，εn)T表示信號傳輸過程中受到的陰影效應(yīng)，εi表示均值為0，方差σ2為的高斯變量.

根據(jù)壓縮感知理論，ts可以表示成轉(zhuǎn)換矩陣Φ(X)與待測未知信號w的乘積，即ts=Φ(X)w.那么觀測向量可表示為：

t=Φ(X)w+n,

(3)

其中w=[w1,w2,…,wM]，

(4)

方便起見，把矩陣(4)每列簡寫為φj(X)=(φj(x1),(φj(x2),…,(φj(xN))T.根據(jù)前面已經(jīng)給出的無線電功率傳播模型(1)，本文算法采用以下函數(shù)作為之后的貝葉斯推理的基函數(shù)[4]:

(5)

根據(jù)公式(3)、矩陣(4)可推算出觀測向量t中的每個元素ti的表達(dá)式，即數(shù)學(xué)模型如下：

(6)

式(6)是一個線性回歸模型.本文采用變分稀疏貝葉斯算法(簡稱VSBL算法)來求解.VSBL算法并未對邊緣似然函數(shù)對數(shù)函數(shù)直接求解而是通過變分逼近的方法求解出稀疏因子w.

2 變分稀疏貝葉斯及推理

2.1 變分稀疏貝葉斯模型

頻譜檢測重構(gòu)數(shù)學(xué)模型如公式(6)所示.設(shè)CR用戶采樣樣本數(shù)據(jù)是獨(dú)立同分布的數(shù)據(jù)集合X={xi}，t={ti}.假定εi為高斯白噪聲：εi～N(0,τ-1)，那么觀測變量的似然函數(shù)可表示為[5]：

p(ti|xi,w,τ)=N(ti|y(xi,w),τ-1),

其中:

那么似然函數(shù)可以表示為：

如果直接最大化似然函數(shù)來估計w，會導(dǎo)致模型過學(xué)習(xí).為了克服此問題，我們假設(shè)稀疏參數(shù)wm服從均值為0方差為αm的高斯分布，即：

(7)

公式(7)中，αm為超參數(shù)，它決定稀疏因子w的稀疏性.同時為超參數(shù)αm引入一個Gamma分布：

(8)

式(8)中，Γ(αm)是一個Gamma函數(shù).由于εi噪聲協(xié)方差為變量，所以同樣為其引入以下分布:

p(τ)=Γ(τ|c,d).

由于不存在先驗知識，在初始化時，我們設(shè)定am=bm=c=d=10-6.根據(jù)以上假設(shè)，變分稀疏貝葉斯概率模型直觀圖如圖2所示.

圖2 概率模型直觀圖

2.2 變分稀疏貝葉斯推理

若已知模型參數(shù)的先驗概率是p(w,α,τ)，那么后驗概率可表示為:

若用稀疏貝葉斯求解后驗概率，則先將后驗概率分解為：

p(w,α,τ|t)=p(w|t,α,τ)p(α,τ|t),

然后再用積分求解p(w|t,α,τ)，算法實現(xiàn)比較復(fù)雜.本文采用變分稀疏貝葉斯的方法對后驗概率進(jìn)行逼近，即：

p(w,α,τ|t)≈Q(w,α,τ).

(9)

由于變量參數(shù)w,α,τ對于Q分布是相互獨(dú)立的，那么:

Q(w,α,τ)=Qw(w)Qα(α)Qτ(τ).

從文獻(xiàn)[8]可知各個參數(shù)服從以下分布：

Qw=N(w|mw,∑w),

其中：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

公式(15)、(16)中Ψ函數(shù)定義為:

公式(9)的證明如下：

根據(jù)貝葉斯公式，觀測數(shù)據(jù)的邊緣概率表示為公式：

(17)

依據(jù)變分理論，引入一個關(guān)于變量w,α,τ的Q分布.為了保證公式(17)兩邊等式成立，公式(17)可變換為：

(18)

然后對公式(18)兩邊取對數(shù):

(19)

設(shè)定?Q(w,α,τ)dwdαdτ積分等于1.公式(19)可以轉(zhuǎn)化為：

簡記:

ln(p(t))=L(Q(w,α,τ))+KL(Q(w,α,τ)‖p(w,α,τ|t)).

(20)

式(20)中KL(Q(w,α,τ)‖p(w,α,τ|t))≥0，那么對于ln(p(t))來說L(Q(w,α,τ)是下界值.ln(p(t))數(shù)值一定時KL(Q(w,α,τ)‖p(w,α,τ|t))值越小，L(Q(w,α,τ)值越大，函數(shù)越收斂.因此，Q(w,α,τ)與p(w,α,τ|t)越接近越好，即：

p(w,α,τ|t)≈Q(w,α,τ)，

同時用L(Q(w,α,τ))作為算法的收斂條件其公式如下[8]：

L(Q(w,α,τ)=+

++

--

-.

(21)

3 問題求解及算法實現(xiàn)過程

在整個算法實現(xiàn)過程中，由于uj與sj更新速度慢.所以，超參數(shù)α與噪聲方差τ迭代更新一次，uj與sj將更新P次.在處理大量數(shù)據(jù)時，為了減輕計算負(fù)擔(dān)，本文先計算稀疏參數(shù)w，然后根據(jù)設(shè)定的閾值η,當(dāng)稀疏因子wm<η時，刪除wm及其所對應(yīng)的基函數(shù).最后在w,α,τ都給定的前提下，我們用梯度下降法對PU用戶定位[4].即：

(22)

式(22)中k為迭代次數(shù)，Q=-L，δ為學(xué)習(xí)步長.其中：

(23)

(24)

(25)

算法的實現(xiàn)過程如下:

(1)根據(jù)公式(5)初始化M個基函數(shù)，創(chuàng)建基函數(shù)矩陣Φ.

(3)其次由步驟2得到的結(jié)果及根據(jù)公式(10)計算并mw、∑w由公式(21)計算收斂條件L(K)的值.

(6)然后再用梯度下降法對PU用戶進(jìn)行定位.根據(jù)公式(22)更新uj、sj，并且根據(jù)公式(10)估計mw、∑w.再次計算本次迭代之后收斂條件L(K)的數(shù)值.若L(K)

4 試驗結(jié)果及分析

實驗(1)采樣率=0.9時本算法對頻譜功率傳播圖進(jìn)行重構(gòu).采樣率計算公式如下：

Measurement rate=N/Np×Np.

重構(gòu)效果如圖3所示.

圖3 變分稀疏貝葉斯重構(gòu)圖與原圖比較

圖3可看出，采用變分稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法能實現(xiàn)很好的重構(gòu).

實驗(2)分別設(shè)定噪聲功率為10dB、20dB、30dB，比較不同噪聲功率對功率圖重構(gòu)的影響.性能比較圖如圖4所示.

采樣率(N/Np×Np)

噪聲功率越大，對信號干擾越強(qiáng)，重構(gòu)信號時造成的誤差越大.圖4可看出，在相同采樣率下，噪聲功率越大均方誤差越大.

實驗(3)比較VSBL算法與SBL算法對功率傳播圖重構(gòu)時造成的均方誤差，如圖5所示.

采樣率(N/Np×Np)

從圖5可以看出VSBL重構(gòu)均方誤差比SBL的均方誤差要低.

實驗(4)在不同的采樣率下，比較PU用戶真實位置與預(yù)測位置之間測均方誤差.如圖6所示.

采樣率(N/Np×Np)

從圖6可看出，隨著采樣率的提高，PU用戶真實位置與預(yù)測位置之間的均方誤差變小.

5 結(jié)束語

本文提出的基于變分稀疏貝葉斯頻譜感知算法直接利用壓縮測量數(shù)據(jù)對授權(quán)用戶的位置、個數(shù)以及功率傳播圖進(jìn)行估計和定位，克服由于采用壓縮感知帶來的算法復(fù)雜性.且在先驗知識未知的情況下，利用變分稀疏貝葉斯求解稀疏權(quán)值，用簡單函數(shù)因子逼近復(fù)雜函數(shù)的方法降低邊緣似然函數(shù)的計算難度.下一步重點研究分布式合作壓縮頻譜感知算法的一般框架，分析其收斂性質(zhì)與通信負(fù)擔(dān).

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