孫仁斌

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

對(duì)于含有奇性的半線性拋物型方程的初邊值問題：

本文討論如下含有奇性的退縮拋物型方程初邊值問題：

(1)

本文將對(duì)Ω為N維區(qū)域的情形進(jìn)行討論.

1 解的局部存在性

由于當(dāng)u=0時(shí)，問題(1)中的方程為退縮，經(jīng)典的拋物方程理論并不能直接給出解的存在性．而對(duì)解的存在性的討論，我們也不需要針對(duì)問題的古典解，而只需要問題的弱解，為此先給出問題(1)中方程弱解的定義．

f(u(x,t))φ(x,t)]dxdt.

(2)

則稱u(x,t)為方程的弱解．

如果對(duì)任意T>0，方程的弱解都存在，則稱弱解為整體存在．

關(guān)于退縮拋物型方程弱解的局部存在性，有多種方法可以得到[9,10]，在此給出其中一種方法的主要步驟．

對(duì)k=1,2,…,考慮如下拋物型方程的初邊值問題：

可以證明，如果k1>k2，則T(k1)>T(k2)，且在Ω×(0,T(k2))內(nèi)有uk1(x,t)>uk2(x,t)．

定理1 設(shè)u0(x)>0,u0(x)∈L∞(Ω)，則存在T>0，使問題(1)存在非負(fù)的弱解u(x,t)定義在Ω×(0,T)上．

為了得到后面的整體存在性定理，我們需要利用上、下解及其相關(guān)的結(jié)論．

(4)

則稱u(x,t)為問題(1)的一個(gè)下解，如果將上面的不等式改變方向，就稱u(x,t)為問題(1)的一個(gè)上解．

對(duì)于弱解，與古典解一樣，也有如下的比較原理和存在唯一性定理[12]．

2 解的整體存在性

(5)

(6)

(7)

(8)

定理4 設(shè)正常數(shù)d滿足(8)式，區(qū)域Ω充分小，其直徑滿足(7)式，則問題(1)存在整體解．

3 解在有限時(shí)刻的猝滅性

而對(duì)于退縮拋物型方程古典解的存在性，也有多種方法可以得到[13]，在此省略．為明確起見，我們先給出問題(1)古典解猝滅的定義．

(9)

設(shè)λ1與φ(x)是如下特征值問題的第一特征值與相應(yīng)的特征函數(shù):

(10)

(11)

我們知道，特征值λ1與區(qū)域Ω有關(guān)，Ω越大，λ1越小，根據(jù)上面的分析，可以得到定理5．

(12)

為了證明(12)式的前一不等式，考慮如下初值問題：

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