康東升，吳 紅，張微微

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

1 問(wèn)題的引入

本文研究下列橢圓方程:

(1)

J(u,v)=

則J∈C1(H×H,R). 我們稱(u0,v0)∈H×H是方程組(1)的解，如果

u0,v0≠0,〈J′(u0,v0),(φ,φ)〉=0,?(φ,φ)∈H×H.

方程組(1)的解(u0,v0)等價(jià)于J的一個(gè)非零臨界點(diǎn).

方程組(1)涉及到下面著名的Hardy不等式[1]:

(2)

其中Uμ(x)是徑向?qū)ΨQ函數(shù)，

Uμ(x)=

Sη,α，β(μ):=

近年來(lái),數(shù)學(xué)工作者對(duì)于帶有Hardy項(xiàng)和臨界Sobolev指數(shù)的奇異橢圓問(wèn)題關(guān)注很多，并且也取得了很多重要成果. 然而，現(xiàn)有的結(jié)果主要涉及到單個(gè)方程，而對(duì)于奇異橢圓方程組的研究還很少. 因此，在本文中我們將研究方程組(1)，證明其非平凡解的存在性.

在本文中我們假設(shè)：

定義二次型

Q(u,v):=(u,v)A(u,v)T=a1u2+2a2uv+a3v2.

如果(H2)成立，則有：

λ1(u2+v2)≤Q(u,v)≤λ2(u2+v2),?(u,v)∈H×H.

本文用到以下符號(hào)：

2*+ηατβ-ηβτβ-2-2*τ2*-2=0,τ>0.

若η=0,τmin=0且f(τmin)=1.

本文的主要結(jié)果如下.

2 非平凡解的存在性

(ii)Sη,α,β(μ)=f(τmin)S(μ)=f(τmin)S(0)=Sη,α,β(0),?μ∈(-∞,0].

設(shè)ei(x)為對(duì)應(yīng)于Λi(μ)的特征函數(shù)，i∈N,k∈N,H(k)表示由對(duì)應(yīng)于特征值Λ1(μ),Λ2(μ),…，Λk(μ)的L2范數(shù)單位化的特征函數(shù)張成的空間，取m∈N足夠大使得B2/m(0)?Ω. 定義：

設(shè)μ<0且ξ∈Ω,取m∈N足夠大使得B2/m(ξ)?Ω{0}. 定義：

(3)

(4)

(5)

證明由于(3)式的證明與(4)式的證明方法相同，所以在此只證明(4)與(5)式.

由(2)式可得：

(6)

所以有：

(7)

另一方面，

?x∈B1/m(0){0}.

由(6)式可以得到:

(8)

由(7)和(8)式可得(4)式.

下證(5)式，由于

?x:|x|≥ε.

?x∈B1/(qm)(0),

?x∈B1/(qm)(0).

(5)式證畢.

同樣地，當(dāng)ξ∈Ω,m∈N充分大，定義：

由引理4的證明過(guò)程，可以得到下面的引理5.證明略去.

引理5 設(shè)m充分大，ε=o(m-1)，則:

對(duì)于ρ>0，定義下面的符號(hào):

(i)存在σ>0,δ>0,ρ>0,使得：

(ii)存在R>ρ,使得：

J(u,v)≥

C‖(u,v)‖2*.

所以當(dāng)ρ和σ充分小時(shí)，(i)成立.

(9)

所以有

對(duì)任意的r≥0,有

由引理4和5，存在R1>0使得:

定義集合

由環(huán)繞定理[8]，我們得到J的一個(gè)(PS)c序列，由引理1，當(dāng)ε充分小時(shí)就有

(10)

定理1的證明設(shè)(H1),(H2)成立且0≤μ<

相反地，假設(shè):

(11)

(12)

在引理5中取ε=m-(N+2)/2，則有:

(13)

(14)

(15)

(16)

由(13)～(16)式和引理2可得：

J(τmum,τmτminum)≤

(17)

注意到

(18)

由(9)，(17)，(18)式可得：

與(12)式矛盾，因此當(dāng)ε充分小時(shí)(10)式成立.由環(huán)繞定理[8]和引理1，方程組(1)有一個(gè)解(u,v)∈H×H. 定理1證畢.

[1] Hardy G,Littlewood J,Polya G. Inequalities[M].Cambridge:Cambridge University Press,1988:239-243.

[2] Egnell H. Elliptic boundary value problems with singular coefficients and critical nonlinearities [J]. Indiana Univ Math,1989,38(1): 235-251.

[3] Talenti G. Best constant in Sobolev inequality [J]. Ann Mat Pura Appl,1976,110(1):353-372.

[4] Terracini S. On positive solutions to a class of equations with a singular coefficient and critical exponent [J].Adv Differential Equations,1996,2(1): 241-264.

[5] Huang Y,Kang D. On the singular elliptic systems involving multiple critical Sobolev exponents [J]. Nonlinear Anal,2011,74(2): 400-412.

[6] Cao D,Han P. Solutions for semilinear elliptic equations with critical exponents and Hardy potential [J]. J Differential Equations,2004,205(2): 521-537.

[7] Ferrero A,Gazzola F. Existence of solutions for singular critical growth semilinear elliptic Equations [J].J Differential Equations,2001,177(1): 494-522.

[8] Rabinowitz P. Minimax methods in critical points theory with applications to differential Equations [M]. Washington: American Mathematical Society,1986:7-50.