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        利用VB解決不同坐標(biāo)系的變換問題

        2013-12-12 01:46:40孫瑞舉
        測繪通報(bào) 2013年2期
        關(guān)鍵詞:約化未知量主元

        孫瑞舉

        (山東正元地理信息工程有限責(zé)任公司,山東濟(jì)南250101)

        一、引 言

        坐標(biāo)變換在測繪學(xué)科中應(yīng)用廣泛,自2008年我國啟用2000國家大地坐標(biāo)系后,要求把以往的1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系下的各類測繪成果轉(zhuǎn)換成2000國家大地坐標(biāo)系,這就涉及到坐標(biāo)系的變換問題。

        二、二維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

        點(diǎn)的二維坐標(biāo)可以用向量[x y]T表示,假設(shè)某點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前后的坐標(biāo)分別為[x1y1]T和[x2y2]T,則二維坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為

        式中,m為坐標(biāo)尺度參數(shù),表示坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前后坐標(biāo)系的尺度變化情況;θ為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角,表示轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)系繞前一個(gè)坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度;Δx,Δy為平移參數(shù),表示坐標(biāo)原點(diǎn)的平移量。

        在實(shí)際工作中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)都是未知的,需要根據(jù)一定數(shù)量的具有新舊坐標(biāo)的控制點(diǎn)來求得。為了計(jì)算方便,將式(1)改寫為如下形式

        式中,x0和y0為平移量;a=k·cosθ;b=k·sinθ;k=1+m。

        假設(shè)有n個(gè)控制點(diǎn),其轉(zhuǎn)換前的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)為(x1',y1'),(x2',y2')…(xn',yn'),根據(jù)式(2)可以列出如下方程

        寫成矩陣形式為

        式中,

        式中有4個(gè)未知量,當(dāng)n=2時(shí),有唯一解;當(dāng)n>2時(shí),可以求得最小二乘解

        三、三維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

        三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的情況與二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換類似,也是通過尺度參數(shù)、旋轉(zhuǎn)角參數(shù)和平移參數(shù)來確定,只是旋轉(zhuǎn)角有3個(gè)分別繞x軸旋轉(zhuǎn)、繞y軸旋轉(zhuǎn)和繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角,平移參數(shù)也有3個(gè),三維坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為

        式中,m為坐標(biāo)尺度參數(shù),表示坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前后坐標(biāo)系的尺度變化情況;Δx,Δy,Δz為平移參數(shù),表示坐標(biāo)原點(diǎn)在3個(gè)方向的平移量。

        角度很小時(shí)取

        于是式(7)可以簡化為

        假設(shè)有n個(gè)控制點(diǎn),其轉(zhuǎn)換前的坐標(biāo)分別為(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),…,(xn,yn,zn),轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)為(x'1,y'1,z'1),(x'2,y'2,z'2),…,(x'n,y'n,z'n),根據(jù)式(8)可以列出如下方程

        寫成矩陣形式為

        式中

        式中,k=1+m,a=kεx,b=kεy,c=kεz

        式中有7個(gè)未知量,當(dāng)n=3時(shí),有唯一解;當(dāng)n>3時(shí),可以求得最小二乘解

        四、求解轉(zhuǎn)換參數(shù)

        通過上面的推導(dǎo),已得到通過n個(gè)控制點(diǎn)來求解二維和三維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換參數(shù)公式,即式(5)和式(11)。下面我們討論如何利用VB來求解參數(shù),即線性方程組求解。求解線性方程組是測量程序設(shè)計(jì)中的經(jīng)常遇到的問題,本次討論的求解方法是直接法中的列選主元Guass約化法。求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的編程思路如下:

        1)通過讀取控制點(diǎn)坐標(biāo)得到系數(shù)項(xiàng)矩陣A及常數(shù)項(xiàng)矩陣L,用數(shù)組A()和L()表示。

        2)求得系數(shù)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT,用數(shù)組At()表示。

        3)編寫矩陣相乘的通用程序,得到AT·A的矩陣(用數(shù)組Aaa()表示),及得到AT·L的矩陣(用數(shù)組Atl()表示)。

        4)編寫列選主元Guass約化法求解線性方程組的通用過程,來求得未知量

        5)根據(jù)未知量得到二維或三維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

        五、列選主元Guass約化法求解的數(shù)學(xué)過程

        本程序的難點(diǎn)是列選主元Guass約化法的通用程序的編寫,下面我們討論其求解思路。

        1.Gauss約化法

        對于一般的線性方程組

        式中,

        使用Gauss約化法求解,就是將上述方程組通過n-1步約化,轉(zhuǎn)化為上三角方程組

        再回代,求此方程組的解。

        則方程組得Gauss約化的具體步驟是

        用―lik乘第1行再加到第k行,可以消去,具體公式是

        4)將其直接回代得

        即可以求出線性方程組的解。

        2.列選主元Gauss消去法

        六、列選主元Guass約化法求解的VB序通用過程

        根據(jù)上述數(shù)學(xué)求解線性方程組的過程原理,用VB編寫列選主元Guass約化法求解通用過程如下:

        七、結(jié)束語

        實(shí)際工作中經(jīng)常會(huì)遇到坐標(biāo)系的變換問題,尤其是2000國家大地坐標(biāo)系的使用,如何把以往坐標(biāo)系的成果轉(zhuǎn)換到2000國家大地坐標(biāo)系,涉及的工作量大,格式不一,通過本程序可以靈活解決。

        [1]孔祥元,梅是義.控制測量學(xué)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2003.

        [2]佟彪.VB語言與測量程序設(shè)計(jì)[M].北京:中國電力出版社,2007.

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