彭戰(zhàn)松，張 哲

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004）

0 引言

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種處理實(shí)時(shí)信息的大規(guī)模非線(xiàn)性的模擬電路。 它作為一種動(dòng)力系統(tǒng)，具有與元細(xì)胞自動(dòng)機(jī)類(lèi)似的并行運(yùn)算能力。 而在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性中，穩(wěn)定性是至關(guān)重要的。 近年來(lái)，學(xué)術(shù)界對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸進(jìn)穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性有了廣泛的研究［1～5］。然而，模型誤差、外部擾動(dòng)和參數(shù)波動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致模型不確定性的產(chǎn)生，從而使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變得更加復(fù)雜。 所以，系統(tǒng)模型應(yīng)該具有一定的魯棒性。 在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電子線(xiàn)路實(shí)現(xiàn)中，由于運(yùn)算放大器的切換速度有限， 時(shí)滯的存在是不可避免的。當(dāng)時(shí)滯的最小值大于零時(shí)，時(shí)滯就在一個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)變化，這時(shí)稱(chēng)為區(qū)間時(shí)滯。 針對(duì)區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的一些性質(zhì)，已經(jīng)有了一部分研究成果［6～9］。 而對(duì)具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，指數(shù)穩(wěn)定性的研究還很少。

本文針對(duì)一類(lèi)帶有范數(shù)有界不確定性的時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，給出了時(shí)變時(shí)滯依賴(lài)的魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定性準(zhǔn)則， 并通過(guò)數(shù)值例子仿真，驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

1 時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸進(jìn)穩(wěn)定分析

1.1 時(shí)變時(shí)滯不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的描述

考慮如下時(shí)變時(shí)滯不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

式中： x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］T∈Rn是狀態(tài)向量；C=diag(c1，c2，…，cn),(ci＞0)是對(duì)角正定矩陣；A=(aij)n×n，B=(bij)n×n分 別 代 表 反 饋 和 離 散 連 接 權(quán) 矩陣；f(x(t))=［f1(x1(t))，f2(x2(t))，…，fn(xn(t))］是神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)；J=［J1，J2，…，Jn］是外界常值輸入向量；ΔC(t)，ΔA(t)和ΔB(t)是具有如下形式的不確定性。

其中，Ei,Hi(i=1,2,3)是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣；Fi(t)(i=1,2,3)是時(shí)變不確定矩陣，且滿(mǎn)足

時(shí)變時(shí)滯滿(mǎn)足下列條件：

（Ⅱ）τ1≤τ(t)≤τ2和≤μ,τ1,τ2是非負(fù)數(shù)。

顯然，（Ⅰ）比（Ⅱ）更具通用性。 下面將分別根據(jù)（Ⅰ）和（Ⅱ）討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

假設(shè)神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)fi(·)(i=1,2,3,…,n)有界且滿(mǎn)足如下條件：

式中：l-i, l+i(i=1,2,…,n)是常數(shù)。因l-i, l+i(i=1,2,…,n) 可以是正數(shù)、 負(fù)數(shù)和零， 故神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)比Sigmoid 型激勵(lì)函數(shù)和Lipschitz 型激勵(lì)函數(shù)更弱一些。

由著名的Brouwer’s 固定點(diǎn)理論可知，系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)平衡點(diǎn)。 設(shè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為x*=［x*1，x*2，…，x*n］T，通過(guò)變換z(·)=x(·)-x*，將平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

其中，z(t)=［z1(t)，…，zn(t)］T，g(z(t))=［g1(z1(t))，…，zn(zn(t))］T分別是系統(tǒng)變化的狀態(tài)向量和激勵(lì)函數(shù)，且gi(zi(t))=fi(zi(t)+x*i)-fi(x*i)。

激勵(lì)函數(shù)gi(·)滿(mǎn)足：

故討論系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為討論系統(tǒng)（5）的原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

1.2 時(shí)變時(shí)滯不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)判定

引理1［10］： 設(shè)U,V,W,M 是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣，M 滿(mǎn)足M=MT，若M+UVW+WTVTUT＜0，則所有的VTV≤I。 當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正數(shù)ε 滿(mǎn)足M+ε-1UUT+εWTW＜0。

引理2［11］：（Schur complement） 對(duì)給定的矩陣滿(mǎn)足S11=ST12，S22=ST22，則下列條件等價(jià)：

（1）S＜0；

（2）S22＜0,S11-S12S-122ST12＜0；

（3）S11＜0,S22-ST12S-111S12＜0。

引理3［12］：（S－procedure）設(shè)Ti(i=0,1,…，n)是對(duì)稱(chēng)矩陣，如果存在標(biāo)量τi≥0(i=0,1,…，n)使得

則對(duì)任意的Ti＞0(i=0,1,…，n)，有T0＞0.

下面討論系統(tǒng)（5）的全局魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，時(shí)變時(shí)滯滿(mǎn)足條件（Ⅰ）。

首先，研究下面的標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理1［13］：設(shè)有非線(xiàn)性系統(tǒng)：=A(t)x+O(x,t)對(duì)所有的t，有o(O,t)=0。 如果下列條件成立，則式子=A(t)x+O(x,t)的零解是一致、漸近、穩(wěn)定的。

（2）對(duì)于所有的t，A(t)都是有界的；

在上述定理中，條件（1）與條件（2）對(duì)參數(shù)相同系統(tǒng)是成立的；條件（3）保證了條件Lyapunov 指數(shù)全為負(fù)。這個(gè)定理把通常檢驗(yàn)穩(wěn)定性的方法（Jacobin本征值方法）推廣到任意驅(qū)動(dòng)都能用的Lyapunov 指數(shù)方法。

記L1=diag(l-1l+1,l-2l+2,…,l-nl+n)，L2=diag(l-1+l+1,l-2+l+2,…,l-n+l+n)，對(duì)τ＞0，系統(tǒng)（8）的平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。 如果：

（a）存在正定矩陣P＞0,R＞0,Q1＞0,Q2＞0；

（b）對(duì)角矩陣S=diag(s1,s2,…,sn)≥0，M=diag(m1,m2,…,mn)≥0；

（c）和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Yi(i=1,2,3)，Ti(i=1,2)滿(mǎn)足

其中：Φ11=Q1+Y1+YT1-T1C-CTTT1-2L1S, Φ12=PT1-CTTT2+YT2, Φ22=τR-T2-TT2, Φ33=-(1-μ)Q1-Y3-YT3-2L1M,＊代表矩陣對(duì)稱(chēng)位置元素的轉(zhuǎn)置。

證明：對(duì)系統(tǒng)（8）構(gòu)造如下的Lyapunov 函數(shù)

其中：V1(t)＝zT(t)Pz(t)，。P,R,Q1和Q2是正定矩陣.

沿系統(tǒng)（8）的軌跡求出Lyapunov 函數(shù)V1(t)對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)，可以得到

由Leibniz－Newton 公式

得，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣Yi(i=1,2,3)滿(mǎn)足：

考慮系統(tǒng)中矩陣的關(guān)系， 存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣Yi(i=1,2,3)滿(mǎn)足

由引理3 得，若存在實(shí)數(shù)對(duì)角矩陣，S=diag(s1,s2,…,sn)≥0 和M=diag(m1,m2,…,mn)≥0 滿(mǎn)足

應(yīng)用引理2，由式（9）可得Ξ(t)＜0，從而有V˙1(t)＜0 成立。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論（定理1）可知，系統(tǒng)（8）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2 實(shí)例分析與仿真

2.1 時(shí)變時(shí)滯的超混沌R?ssler 系統(tǒng)的描述

為了研究問(wèn)題的方便， 取時(shí)變時(shí)滯的超混沌R?ssler 系統(tǒng)為研究對(duì)象。

超混沌R?ssler 系統(tǒng)［12］可描述如下：

其中，x,y,z,w 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量， 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=0.25,b=3.0,c=0.05,d=0.5 時(shí)， 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。通過(guò)數(shù)值仿真得到超混沌系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)圖（如圖1 所示）以及超混沌吸引子（如圖2 所示）。

圖1 超混沌R?ssle 系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)圖Fig.1 Lyapunov index of the Hyperchaos R?ssle system

圖2 超混沌R?ssler 系統(tǒng)相圖Fig.2 Phase diagram of Hyperchaos R?ssle system

圖1中，4 條線(xiàn)分別代表系統(tǒng)（15）的Lyapunov 指數(shù)情況。 圖2 為系統(tǒng)（15）的混沌吸引子。

2.2 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

時(shí)變時(shí)滯超混沌R?ssler 系統(tǒng)變換可描述如下：

其中，x,y,z,w 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，τ(t)為時(shí)變向量。 若系統(tǒng)參數(shù)a=0.25,b=3.0,c=0.05,d=0.5，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。 取

圖3 誤差曲線(xiàn)Fig.3 Error curve

從圖3 中的e1,e2,e3,e4,四條誤差線(xiàn)可以看出，時(shí)變時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變化同步，隨著時(shí)間的增加，誤差曲線(xiàn)逐漸趨于零，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文通過(guò)Lyapunov 穩(wěn)定性定理和線(xiàn)性矩陣不等式技術(shù)， 得到一個(gè)新的與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性條件。 并通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證所得定理的有效性。 同時(shí)，該方法也可用于隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的研究。

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